ผลรวมของตัวแปรสุ่มแกมมาอิสระสองตัว

13

จากบทความของ Wikipedia เกี่ยวกับการกระจาย Gamma :

ถ้าและโดยที่และเป็นตัวแปรสุ่มอิสระแล้วtheta) $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

แต่ฉันไม่เห็นข้อพิสูจน์ใด ๆ ใครช่วยชี้ให้ฉันดูหลักฐานได้

แก้ไข: ขอบคุณ Zen มากและฉันก็พบคำตอบเป็นตัวอย่างในหน้า Wikipedia เกี่ยวกับฟังก์ชั่นพิเศษ

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
แหล่งที่มา

3

ปรีชา:แกมมาการกระจายเกิดขึ้นเป็นผลรวมของแจกแจงเอกอิสระมาจากไหนมันเป็นทันทีในบริบทนี้ว่าจะมีแกมมาการจัดจำหน่ายที่จัดไว้ให้และมีทั้งจำนวนเต็มบวก

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— whuber

15

หลักฐานดังต่อไปนี้: (1) โปรดจำไว้ว่าฟังก์ชั่นลักษณะของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเป็นผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชั่นลักษณะของแต่ละบุคคล; (2) รับฟังก์ชั่นลักษณะของตัวแปรสุ่มแกมม่าที่นี่ ; (3) ทำพีชคณิตแบบง่าย

เพื่อให้ได้สัญชาตญาณนอกเหนือจากการโต้แย้งเกี่ยวกับพีชคณิตนี้ตรวจสอบความเห็นของ whuber

หมายเหตุ: OP ถามถึงวิธีคำนวณฟังก์ชันคุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแกมมา ถ้าดังนั้น (คุณสามารถถือว่าเป็นค่าคงที่ปกติได้ในกรณีนี้) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

ตอนนี้ใช้เคล็ดลับของฮิว: ถ้าดังนั้นซึ่งนั้นเป็นอิสระ . ดังนั้นการใช้คุณสมบัติ (1) เรามี $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

เคล็ดลับ: คุณจะไม่ได้เรียนรู้สิ่งเหล่านี้ที่จ้องมองผลลัพธ์และบทพิสูจน์: อยู่หิวคำนวณทุกสิ่งลองหาหลักฐานของคุณเอง แม้ว่าคุณจะล้มเหลวการชื่นชมคำตอบของคนอื่นจะอยู่ในระดับที่สูงขึ้นมาก และใช่ล้มเหลวก็โอเค: ไม่มีใครดูอยู่! วิธีเดียวในการเรียนรู้คณิตศาสตร์คือการต่อสู้เพื่อแนวคิดและผลลัพธ์แต่ละข้อ

— เซน
แหล่งที่มา

คำแถลงอ้างอิงระบุอย่างชัดเจนว่า "ให้ Xi ทั้งหมดเป็นอิสระ"

— whuber

สิ่งหนึ่งที่ฉันไม่เข้าใจว่าเป็นอย่างไรเรามาถึงฟังก์ชั่นพิเศษหรือไม่?

— Dexter12

ฉันจะเพิ่มลงในคำตอบ ลองดูสิ.

— Zen

บางทีคุณอาจจะรวมถึงการอ้างอิงสำหรับฟังก์ชั่นลักษณะของสำหรับที่ไม่ใช่จำนวนเต็มค่า?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Dilip Sarwate

14

นี่คือคำตอบที่ไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชั่นที่มีลักษณะเฉพาะ แต่เป็นการตอกย้ำแนวคิดบางอย่างที่มีการใช้งานอื่น ๆ ในเชิงสถิติแทน ความหนาแน่นของผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบอิสระคือความหนาแน่นของความหนาแน่น ดังนั้นการเพื่อความสะดวกในการแสดงออกที่เรามีสำหรับ , $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

3

(+1) เหมาะอย่างยิ่งที่จะมีมากกว่าหนึ่งวิธีในการพิสูจน์ทุกสิ่ง บางทีคนที่จะโพสต์คำตอบเมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงX)

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

— Zen

เราสามารถหาความหนาแน่นของในลักษณะใกล้เคียงกันได้หรือไม่? ฉันไม่สามารถทำให้อินทิเกรตง่ายขึ้นในกรณีนั้น

X - Y

$X-Y$

— pikachuchameleon

@pikachuchameleon ดูคำตอบของฉันนี้

— Dilip Sarwate

3

ในระดับการแก้ปัญหามากขึ้น: ถ้าและเป็นจำนวนเต็มการกระจายรังสีคือการกระจาย Erlang, และอื่น ๆและอธิบายเวลาในการรอตามลำดับและเกิดขึ้นในกระบวนการ Poisson มีอัตรา\สองครั้งที่รอและคือ $a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$

อิสระ
รวมเวลารอคอยสำหรับเกิดขึ้นของ $a+b$

และเวลาที่รอสำหรับเกิดขึ้นของนั้นถูกแจกจ่ายแกมม่า ( ) $a+b$ $a+b,\theta$

สิ่งนี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่มันวางเนื้อบางส่วนไว้บนกระดูกของการเชื่อมต่อและสามารถใช้ได้ถ้าคุณต้องการที่จะเอามันออกมาในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

— Svein Olav Nyberg
แหล่งที่มา