ทางเลือกการกระจายเชิงประจักษ์

เงินรางวัล:

เงินรางวัลเต็มจำนวนจะมอบให้กับผู้ที่ให้การอ้างอิงถึงเอกสารเผยแพร่ใด ๆ ที่ใช้หรือกล่าวถึงตัวประมาณ $\tilde{F}$ ด้านล่าง

แรงจูงใจ:

ส่วนนี้อาจไม่สำคัญสำหรับคุณและฉันสงสัยว่ามันจะไม่ช่วยให้คุณได้รับรางวัล แต่เนื่องจากมีคนถามเกี่ยวกับแรงจูงใจนี่คือสิ่งที่ฉันกำลังทำอยู่

ฉันกำลังทำงานกับปัญหาทฤษฎีกราฟเชิงสถิติ มาตรฐานวัตถุหนาแน่นกราฟ จำกัด $W : [0,1]^2 \to [0,1]$ เป็นฟังก์ชันสมมาตรในแง่ที่ว่า $W(u,v) = W(v,u)$ )การสุ่มตัวอย่างกราฟบน $n$ จุดยอดสามารถคิดได้ว่าเป็นการสุ่มตัวอย่าง $n$ ค่าเครื่องแบบในช่วงหน่วย ( $U_i$ สำหรับ $i = 1, \dots, n$ ) แล้วน่าจะเป็นของขอบนั้น $(i,j)$ เป็น $W(U_i, U_j)$ )ให้ถ้อยคำเมทริกซ์ที่เกิดจะเรียกว่า $A$

$W$ $f = W / \iint W$ $\iint W > 0$ $f$ $A$ $f$ $f$ $f$ $\sum A$ $W$

แต่น่าเสียดายที่วิธีการที่ผมพบว่าการแสดงความสอดคล้องเมื่อเราได้ลิ้มลองจากการจัดจำหน่ายที่มีความหนาแน่นฉวิธีสร้างนั้นต้องการให้ฉันสุ่มตารางคะแนน (ตรงข้ามกับการดึงจากต้นฉบับ) ในคำถามนี้ฉันถามถึงปัญหา 1 มิติ (ง่ายกว่า) ของสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราสามารถสุ่มตัวอย่างตัวอย่างเบอร์นูลิสบนกริดแบบนี้แทนที่จะสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงโดยตรง $f$ $A$ $f$

การอ้างอิงสำหรับขีด จำกัด กราฟ:

L. Lovasz และ B. Szegedy ข้อ จำกัด ของลำดับกราฟที่หนาแน่น ( arxiv )

C. Borgs, J. Chayes, L. Lovasz, V. Sos และ K. Vesztergombi ลำดับบรรจบกันของกราฟหนาแน่น i: ความถี่ Subgraph คุณสมบัติการวัดและการทดสอบ ( arxiv )

โน้ต:

พิจารณาการกระจายอย่างต่อเนื่องกับ CDFและ PDFซึ่งมีการสนับสนุนในเชิงบวกต่อช่วง[0,1]สมมติไม่มี pointmass,อนุพันธ์ได้ทุกที่และยังว่าเป็น supremum ของในช่วง[0,1]Letหมายความว่าตัวแปรสุ่มเป็นตัวอย่างจากการกระจายF จะ IID ตัวแปรสุ่มเครื่องแบบ[0,1] $F$ $f$ $[0,1]$ $f$ $F$ $\sup_{z \in [0,1]} f(z) = c < \infty$ $f$ $[0,1]$ $X \sim F$ $X$ $F$ $U_i$ $[0,1]$

ปัญหาการตั้งค่า:

บ่อยครั้งที่เราสามารถปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงและทำงานกับฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ตามปกติเป็น โดยที่เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ โปรดสังเกตว่าการกระจายเชิงประจักษ์นี้เป็นแบบสุ่ม (โดยที่ได้รับการแก้ไข) $X_1, \dots, X_n$ $F$

{\hat{F}}_{n} (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} I {X_{i} \leq t}

$\hat{F}_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\{X_i \leq t\}$

I

$I$

{\hat{F}}_{n} (t)

$\hat{F}_n(t)$

t

$t$

แต่น่าเสียดายที่ผมไม่สามารถที่จะวาดตัวอย่างโดยตรงจากFอย่างไรก็ตามฉันรู้ว่าได้รับการสนับสนุนเชิงบวกเฉพาะในและฉันสามารถสร้างตัวแปรสุ่มโดยที่เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเบอร์นูลลีด้วยความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จ โดยที่และถูกกำหนดไว้ด้านบน ดังนั้น(p_i) วิธีหนึ่งที่ชัดเจนที่ฉันอาจประมาณค่าจากค่าเหล่านี้คือการใช้ อยู่ที่ไหน $F$ $f$ $[0,1]$ $Y_1, \dots, Y_n$ $Y_i$

p_{i} = f ((i - 1 + U_{i}) / n) / c

$p_i = f((i-1+U_i)/n)/c$

c

$c$

U_{i}

$U_i$

Y_{i} \sim Bern (p_{i})

$Y_i \sim \text{Bern}(p_i)$

F

$F$

Y_{i}

$Y_i$

{\tilde{F}}_{n} (t) = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \sum_{i = 1}^{⌈ t n ⌉} Y_{i}

$\tilde{F}_n(t) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n Y_i} \sum_{i=1}^{\lceil tn \rceil} Y_i$

⌈ \cdot ⌉

$\lceil \cdot \rceil$ เป็นฟังก์ชันเพดาน (นั่นคือแค่ปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด) และวาดใหม่ถ้า (เพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์และทำให้จักรวาลล่มสลาย) . โปรดทราบว่าเป็นตัวแปรสุ่มเนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่ม

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} = 0

$\sum_{i=1}^n Y_i = 0$

\tilde{F} (t)

$\tilde{F}(t)$

Y_{i}

$Y_i$

คำถาม:

จาก (สิ่งที่ฉันคิดว่าควรเป็น) ง่ายที่สุดถึงยากที่สุด

ไม่มีใครรู้ว่า (หรือชื่ออื่น ๆ ที่คล้ายกัน) มีชื่อหรือไม่? คุณสามารถให้การอ้างอิงที่ฉันสามารถดูคุณสมบัติบางอย่างได้หรือไม่? $\tilde{F}_n$
ในฐานะที่เป็นเป็นประมาณการที่สอดคล้องกันของ (และคุณสามารถพิสูจน์ได้)? $n \to \infty$ $\tilde{F}_n(t)$ $F(t)$
การกระจายที่ จำกัด ของเป็นคืออะไร? $\tilde{F}_n(t)$ $n \to \infty$
เป็นการดีที่ฉันต้องการผูกต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันของ - เช่นแต่ฉันไม่รู้ว่าความจริงคืออะไร ย่อมาจากBig O ในความน่าจะเป็น $n$ $O_P(\log(n) /\sqrt{n})$ $O_P$

sup_{C \subset [0, 1]} \int_{C} | {\tilde{F}}_{n} (t) - F (t) | d t

$\sup_{C \subset [0,1]} \int_C |\tilde{F}_n(t) - F(t)| \, dt$

แนวคิดและข้อสังเกตบางประการ:

นี่ดูเหมือนการสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธการยอมรับกับการแบ่งชั้นตามกริด โปรดทราบว่าไม่ใช่เพราะเราไม่ได้ดึงตัวอย่างอื่นหากเราปฏิเสธข้อเสนอ
ฉันค่อนข้างแน่ใจว่านี้มีอคติแล้ว ฉันคิดว่าทางเลือก ไม่มีอคติ แต่มีคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์<1 $\tilde{F}_n$
${\tilde{F^{*}}}_{n} (t) = \frac{c}{n} \sum_{i = 1}^{⌈ t n ⌉} Y_{i}$ $\tilde{F^*}_n(t) = \frac{c}{n} \sum_{i=1}^{\lceil tn \rceil} Y_i$ $\mathbb{P}\left(\tilde{F^*}(1) = 1\right) < 1$
ฉันสนใจในการใช้เป็นplug-in ที่ประมาณการ ฉันไม่คิดว่านี่เป็นข้อมูลที่มีประโยชน์ แต่บางทีคุณอาจรู้เหตุผลว่าทำไมมันถึงเป็นเช่นนั้น $\tilde{F}_n$

ตัวอย่างใน R

นี่คือบางส่วนรหัส R ถ้าคุณต้องการที่จะเปรียบเทียบการกระจายเชิงประจักษ์กับ\ขออภัยการเยื้องบางอย่างผิดปกติ ... ฉันไม่เห็นวิธีการแก้ไข $\tilde{F}_n$

# sample from a beta distribution with parameters a and b
a <- 4 # make this > 1 to get the mode right
b <- 1.1 # make this > 1 to get the mode right
qD <- function(x){qbeta(x, a, b)} # inverse
dD <- function(x){dbeta(x, a, b)} # density
pD <- function(x){pbeta(x, a, b)} # cdf
mD <- dbeta((a-1)/(a+b-2), a, b) # maximum value sup_z f(z)


# draw samples for the empirical distribution and \tilde{F}
draw <- function(n){ # n is the number of observations
  u <- sort(runif(n)) 
  x <- qD(u) # samples for empirical dist
  z <- 0 # keep track of how many y_i == 1
  # take bernoulli samples at the points s
  s <- seq(0,1-1/n,length=n) + runif(n,0,1/n) 
  p <- dD(s) # density at s
  while(z == 0){ # make sure we get at least one y_i == 1
    y <- rbinom(rep(1,n), 1, p/mD) # y_i that we sampled
    z <- sum(y)
  }
  result <- list(x=x, y=y, z=z)
  return(result)
}

sim <- function(simdat, n, w){
  # F hat -- empirical dist at w
  fh <- mean(simdat$x < w) 
  # F tilde
  ft <- sum(simdat$y[1:ceiling(n*w)])/simdat$z
  # Uncomment this if we want an unbiased estimate.
  # This can take on values > 1 which is undesirable for a cdf.
  ### ft <- sum(simdat$y[1:ceiling(n*w)]) * (mD / n)
  return(c(fh, ft))
}


set.seed(1) # for reproducibility

n <- 50 # number observations
w <- 0.5555 # some value to test this at (called t above)
reps <- 1000 # look at this many values of Fhat(w) and Ftilde(w)
# simulate this data
samps <- replicate(reps, sim(draw(n), n, w))

# compare the true value to the empirical means
pD(w) # the truth 
apply(samps, 1, mean) # sample mean of (Fhat(w), Ftilde(w))
apply(samps, 1, var)  # sample variance of (Fhat(w), Ftilde(w))
apply((samps - pD(w))^2, 1, mean) # variance around truth


# now lets look at what a single realization might look like
dat <- draw(n)
plot(NA, xlim=0:1, ylim=0:1, xlab="t", ylab="empirical cdf",
     main="comparing ECDF (red), Ftilde (blue), true CDF (black)")
s <- seq(0,1,length=1000)
lines(s, pD(s), lwd=3) # truth in black
abline(h=0:1)
lines(c(0,rep(dat$x,each=2),Inf),
     rep(seq(0,1,length=n+1),each=2),
     col="red")
lines(c(0,rep(which(dat$y==1)/n, each=2),1),
      rep(seq(0,1,length=dat$z+1),each=2),
      col="blue")

เอาท์พุทจากข้อมูลข้างต้น

การแก้ไข:

แก้ไข 1 -

ฉันแก้ไขสิ่งนี้เพื่อแก้ไขความคิดเห็นของ @ whuber

แก้ไข 2 -

ฉันเพิ่มรหัส R และทำความสะอาดอีกเล็กน้อย ฉันเปลี่ยนสัญกรณ์เล็กน้อยเพื่อให้อ่านได้ แต่โดยพื้นฐานแล้วมันก็เหมือนกัน ฉันวางแผนที่จะรับรางวัลนี้ทันทีที่ฉันได้รับอนุญาตดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณต้องการคำชี้แจงเพิ่มเติม

แก้ไข 3 -

ฉันคิดว่าฉันพูดถึงคำพูดของ @ cardinal ฉันแก้ไขความผิดพลาดในการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ฉันกำลังเพิ่มรางวัล

แก้ไข 4 -

เพิ่มส่วน "แรงจูงใจ" สำหรับ @cardinal

— user1448319
แหล่งที่มา

คำถามของคุณเริ่มคลุมเครือเมื่อคุณอ้างถึงวัตถุที่ไม่ได้กำหนดและใช้สัญกรณ์ที่แปลกประหลาด ยกตัวอย่างเช่นปรากฏ แต่เนิ่นๆ แต่ไม่มีการเชื่อมต่อที่ชัดเจนกับและมันเป็นเพียงการอ่านมากขึ้นเท่านั้นที่เราเรียนรู้ว่าคุณคิดว่ามันเป็น "ไม่ใช่การกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง" - แต่มันเป็นวัตถุชนิดใด ที่สำคัญ "หมายถึงอะไร" "มักจะหมายถึงsupremumแต่บางทีมันอาจจะเกี่ยวข้องกับการสนับสนุนที่สำคัญของการแจกแจงเพราะทุกอย่างในคำถามขึ้นอยู่กับความหมายเหล่านี้ฉันไม่เข้าใจ ของคำถาม

f

$f$

F

$F$

sup_{z} f (z)

$\sup_z f(z)$

sup

$\sup$

— whuber

ขอบคุณ @whuber สำหรับความคิดเห็นของคุณ โปรดแจ้งให้เราทราบหากคำถามที่แก้ไขนั้นยังคงทำให้เกิดความสับสน

— user1448319

Aha! นั่นเป็นข้อบ่งชี้แรกที่ฉันได้เห็นว่าไม่ได้รับการแก้ไขและคุณมีความสนใจในเส้นกำกับ หากเป็นเรื่องจริงที่คุณมีความยืดหยุ่นในการเลือกนั่นจะไม่เปิดโอกาสมากมายเช่นการปรับตัวของจุดตัวอย่าง (แทนที่จะ จำกัด เฉพาะกริดคงที่ )? นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดคุณกำลังทำสมมติฐานอันเป็นเช่นว่าอย่างต่อเนื่อง (เท่าเป็นอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอน ) มีอะไรอีกที่คุณคิดได้เกี่ยวกับการแจกแจงพื้นฐานที่สามารถช่วยในการวิเคราะห์นี้

n

$n$

n

$n$

{i / n}

$\{i/n\}$

f

$f$

F

$F$

F

$F$

— whuber

คำถาม / ข้อสังเกตอื่น ๆ สองสามข้อ: ดูเหมือนว่าโดยปริยายตามวิธีที่คุณเสนอเพื่อสร้างว่าคุณกำลังพิจารณาอาร์เรย์สามเหลี่ยมจริง ,เพื่อการวิเคราะห์คอนเวอร์เจนซ์ จากวิธีที่คุณสร้างดูเหมือนว่าคุณควรจะสามารถสุ่มตัวอย่างตัวแปรสุ่มของ Bernoulli ด้วยความน่าจะเป็นเงื่อนไขของความสำเร็จโดยที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอ มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? (บริบทเพิ่มเติมเล็กน้อยสำหรับคำถามของคุณน่าจะแก้ไขคำถามเหล่านี้ได้จำนวนมาก) ไชโย

p_{i}

$p_i$

Y_{i, n}

$Y_{i,n}$

i = 1, \dots, n

$i=1,\ldots,n$

p_{i}

$p_i$

f (U) / c

$f(U)/c$

U

$U$

— พระคาร์ดินัล

คำถามนี้ได้รับการปรับปรุงมากฉันไม่ได้จำจนกว่าฉันจะรู้ว่าฉันเห็นความคิดเห็นก่อน ตอนนี้มันเป็นคำถามที่น่าสนใจและเป็นที่นิยมมากขึ้น

— Glen_b -Reinstate Monica

คำตอบ:

ในขณะที่การอ้างอิงนี้

แก้ไข: เพิ่มการอ้างอิงถึงสถิติที่คล้ายคลึงกันมาก"การประเมินแบบไม่อิง พารามิเตอร์จากการสังเกตที่ไม่สมบูรณ์" EL Kaplan และ Paul Meier, วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน, ฉบับที่ 53 หมายเลข 282 (มิ.ย. 1958) หน้า 457-481

ไม่ใช่ตัวประมาณคล้าย ECDF ของคุณในฉันเชื่อว่ามันเทียบเท่ากับตัวประมาณ Kaplan-Meier (หรือตัวประมาณค่า จำกัด ผลิตภัณฑ์) ที่ใช้ในการวิเคราะห์การเอาตัวรอดแม้ว่าจะใช้กับช่วงเวลาinfty) $[0,1]$ $[0,\infty)$

การประมาณค่าไบแอสจะเป็นไปได้เมื่อคุณมีการประเมินที่สมเหตุสมผลของการกระจายผ่านเคอร์เนลที่ปรับให้เรียบถ้ามันมีพฤติกรรมที่ดีพอ (ดูเช่นการแปลง Khmaladzeบน Wikipedia)

ในกรณีที่สองตัวแปรในปัญหาของคุณกราฟประมาณจากแม้จะมีข้อ จำกัด สมมาตรเล็กน้อยดูเหมือนคล้ายกับวิธีการใน Jean-เดวิด Fermanian ดาร์ Radulovic และมอร์เทน Wegkamp (2004) ที่บรรจบกันที่อ่อนแอของการเชื่อมเชิงประจักษ์ กระบวนการ , Bernoulliฉบับ หมายเลข 10 5, 847–860 ตามที่ @ cardinal ระบุว่า "วิธีการหลายตัวแปรเดลต้า" $f = W / \iint W$ $A$

— James Prichard
แหล่งที่มา

คำตอบนี้ตอบคำถาม 2 และ 3 ด้านบน ฉันยังต้องการการอ้างอิงจริงๆ(จากคำถาม 1)

นี้ยังไม่ได้นำเข้าบัญชีเมื่อ0 $\sum Y_i = 0$

พิจารณาจากนั้น โดยที่ตัวห้อยหมายถึงอนุพันธ์ จำ C ปล่อย ดังนั้นโปรดทราบว่า และ(t) นอกจากนี้ $g(A,B) = A/(A+B)$

\begin{aligned} g_{A} (A, B) & = (A + B)^{- 1} + A (A + B)^{- 2} \\ g_{B} (A, B) & = - A (A + B)^{- 2} \\ g_{A A} (A, B) & = 2 B (A + B)^{- 3} \\ g_{A B} (A, B) & = (A - B) (A + B)^{- 3} \\ g_{B B} (B, B) & = 2 A (A + B)^{- 3} \end{aligned}

$\begin{align} g_A(A,B) &= (A+B)^{-1} + A(A+B)^{-2}\\ g_B(A,B) &= -A(A+B)^{-2}\\ g_{AA}(A,B) &= 2B(A+B)^{-3}\\ g_{AB}(A,B) &= (A-B)(A+B)^{-3}\\ g_{BB}(B,B) &= 2A(A+B)^{-3} \end{align}$

p_{i} = f ((i - 1 + U_{i}) / n) / c

$p_i = f((i-1+U_i)/n)/c$

\begin{aligned} R = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{⌈ n t ⌉} Y_{i}, & μ_{R} = E (R) = \int_{0}^{t} p (u) d u = c^{- 1} F (t) \\ S = \frac{1}{n} \sum_{⌈ n t ⌉ + 1}^{n} Y_{i}, & μ_{S} = E (S) = \int_{t}^{1} p (u) d u = c^{- 1} (1 - F (t)) \end{aligned}

$\begin{align} R = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{\lceil nt \rceil} Y_i, \quad& \mu_R = \mathbb{E}(R) = \int_0^t p(u) \, d u = c^{-1}F(t)\\ S = \frac{1}{n}\sum_{\lceil nt \rceil +1}^n Y_i, \quad& \mu_S = \mathbb{E}(S) = \int_t^1 p(u) \, d u = c^{-1}(1-F(t)) \end{align}$

μ_{R} + μ_{S} = c^{- 1} F (t) + c^{- 1} (1 - F (t)) = c^{- 1}

$\mu_R + \mu_S = c^{-1}F(t) + c^{-1}(1-F(t)) = c^{-1}$

g (μ_{R}, μ_{S}) = F (t)

$g(\mu_R, \mu_S) = F(t)$

\begin{aligned} Var (R) & = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{⌈ n t ⌉} Var (Y_{i}) = \frac{1}{n} \int_{0}^{t} f (u) / c (1 - f (u) / c) d u = \frac{1}{n c^{2}} \int_{0}^{t} f (u) (c - f (u)) d u \\ Var (S) & = \frac{1}{n c^{2}} \int_{t}^{1} f (u) (c - f (u)) d u \end{aligned}

$\begin{align} \text{ Var}(R) &= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{\lceil nt \rceil} \text{ Var}(Y_i) = \frac{1}{n} \int_0^t f(u)/c(1-f(u)/c) \, d u = \frac{1}{nc^2} \int_0^t f(u)(c-f(u)) \, d u\\ \text{ Var}(S) &= \frac{1}{nc^2} \int_t^1 f(u)(c-f(u)) \, d u \end{align}$ โปรดทราบว่า โดยอิสระของ s

Cov (R, S) = 0

$\text{ Cov}(R,S) = 0$

Y_{i}

$Y_i$

ตอนนี้เราใช้การขยายเทย์เลอร์เพื่อรับ

\begin{aligned} E ({\tilde{F}}_{n} (t)) = E (\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \sum_{i = 1}^{⌈ t n ⌉} Y_{i}) = E (\frac{n R}{n R + n S}) = E (\frac{R}{R + S}) = E (g (R, S)) \\ = g (μ_{R}, μ_{S}) + \frac{1}{2} E ((R - μ_{R})^{2}) g_{R R} (μ_{R}, μ_{S}) \\ + E ((R - μ_{R}) (S - μ_{S})) g_{R S} (μ_{R}, μ_{S}) + \frac{1}{2} E ((S - μ_{S})^{2}) g_{S S} (μ_{R}, μ_{S}) + \dots \\ = F (t) + \frac{1}{2} E ((R - μ_{R})^{2}) 2 μ_{S} (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} \\ + E ((R - μ_{R}) (S - μ_{S})) (μ_{R} - μ_{S}) (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} \\ + \frac{1}{2} E ((S - μ_{S})^{2}) 2 μ_{R} (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} + \dots \\ = F (t) + (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} (E ((R - μ_{R})^{2}) μ_{S} + E ((R - μ_{R}) (S - μ_{S})) (μ_{R} - μ_{S}) \\ + E ((S - μ_{S})^{2}) μ_{R}) + \dots \\ = F (t) + c^{3} (Var (R) c (1 - F (t)) \\ + Cov (R, S) (c F (t) - c (1 - F (t))) + Var (S) c F (t)) + \dots \\ = F (t) + c^{4} ((\frac{1}{n} \int_{0}^{t} f (u) (c - f (u)) d u) (1 - F (t)) \\ + (\frac{1}{n} \int_{t}^{1} f (u) (c - f (u)) d u) F (t)) + \dots \\ = F (t) + {\tilde{V}}_{F (t)} / n + \dots \\ = F (t) + O (n^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mathbb{E}\left(\tilde{F}_n(t)\right) =\mathbb{E}\left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n Y_i} \sum_{i=1}^{\lceil tn \rceil} Y_i \right) =\mathbb{E}\left(\frac{nR}{nR+nS}\right) =\mathbb{E}\left(\frac{R}{R+S}\right) =\mathbb{E}\left(g(R,S)\right)\\ &=g(\mu_R,\mu_S) + \frac{1}{2}\mathbb{E}((R - \mu_R)^2)g_{RR}(\mu_R, \mu_S) \nonumber\\ &\quad + \mathbb{E}((R - \mu_R)(S-\mu_S))g_{RS}(\mu_R, \mu_S) + \frac{1}{2}\mathbb{E}((S - \mu_S)^2)g_{SS}(\mu_R, \mu_S) + \dots \\ &= F(t) + \frac{1}{2}\mathbb{E}((R - \mu_R)^2)2\mu_S(\mu_R+\mu_S)^{-3} \nonumber\\ &\quad + \mathbb{E}((R - \mu_R)(S-\mu_S))(\mu_R-\mu_S)(\mu_R+\mu_S)^{-3} \nonumber\\ &\quad + \frac{1}{2}\mathbb{E}((S - \mu_S)^2) 2\mu_R(\mu_R+\mu_S)^{-3} + \dots\\ &= F(t) + (\mu_R+\mu_S)^{-3} \bigg( \mathbb{E}((R - \mu_R)^2)\mu_S + \mathbb{E}((R - \mu_R)(S-\mu_S))(\mu_R-\mu_S) \nonumber\\ &\quad + \mathbb{E}((S - \mu_S)^2) \mu_R \bigg) + \dots \\ &= F(t) + c^3 \left( \text{ Var}(R)c(1-F(t)) \right. \nonumber\\ &\quad + \left.\text{ Cov}(R,S)(cF(t) - c(1-F(t))) + \text{ Var}(S) cF(t) \right) + \dots \\ &= F(t) + c^4 \left( \left(\frac{1}{n} \int_0^t f(u)(c-f(u)) \, d u\right) (1-F(t)) \right. \nonumber\\ &\quad \left. + \left(\frac{1}{n} \int_t^1 f(u)(c-f(u)) \, d u \right) F(t) \right) + \dots\\ &= F(t) + \tilde{V}_{F(t)}/n + \dots\\ &= F(t) + {\cal O}(n^{-1}) \end{align}$ โดยที่ โดยเฉพาะเราได้รับ

\begin{aligned} {\tilde{V}}_{F (t)} & = c^{2} (\int_{0}^{t} f (u) (c - f (u)) d u) (1 - F (t)) + c^{2} (\int_{t}^{1} f (u) (c - f (u)) d u) F (t) \\ < c^{2} (\int_{0}^{t} c f (u) d u) (1 - F (t)) + c^{2} (\int_{t}^{1} c f (u) d u) F (t) \\ < c^{3} 2 F (t) (1 - F (t)) \end{aligned}

$\begin{align} \tilde{V}_{F(t)} &= c^2\left(\int_0^t f(u)(c-f(u)) \, d u\right) (1-F(t)) + c^2\left(\int_t^1 f(u)(c-f(u)) \, d u \right) F(t)\\ &< c^2\left( \int_0^t cf(u) \, d u\right)(1 - F(t)) + c^2\left( \int_t^1 cf(u) \, d u\right)F(t)\\ &< c^3 2F(t)(1-F(t)) \end{align}$

\begin{aligned} \sqrt{n} ({\tilde{F}}_{n} (t) - F (t)) \overset{d}{\to} N (0, V_{F (t)}) \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{n}\left(\tilde{F}_n(t) - F(t)\right) \overset{d}{\to} N(0,V_{F(t)}) \end{align}$

โปรดแสดงความคิดเห็นหากคุณเห็นบางสิ่งผิดปกติ

การแก้ไข:

แก้ไข 1 -

คงพิมพ์ผิดใน(t)} ขอบคุณ @cardinal สำหรับคำแนะนำของคุณในความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถาม 4 $V_{F(t)}$

แก้ไข 2 -

แก้ไขความผิดพลาดมากมาย: ฉันมีที่ฉันควรมีในหลายแห่ง ฉันยังคงต้องไปยังที่อยู่ @ ตอบสนองพระคาร์ดินัลเกี่ยวกับ0 $c^{-1}$ $c$ $\sum Y_i = 0$

— user1448319
แหล่งที่มา

เรียน @ ผู้ใช้: นี่คือเส้นทางที่ถูกต้อง; นี่คือคำแนะนำบางอย่าง ( 1 ) ค่าเฉลี่ยของไม่มีอยู่อย่างน้อยก็จนกว่าคุณจะระบุสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อดังนั้นการพูดอย่างวิเคราะห์ในคำตอบนั้นไม่ถูกต้อง การกำหนดพฤติกรรมที่ศูนย์จะทำลายโครงสร้างความเป็นอิสระ แต่ไม่ได้หายไปทั้งหมด ( 2 ) เป็นหลักสิ่งที่คุณกำลังทำคือการใช้วิธีการหลายตัวแปรเดลต้า โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องมีค่าเฉลี่ยของดังนั้นมันจะสะอาดขึ้น (และถูกต้องมากขึ้น) ถ้าคุณไปเส้นทางนี้

{\tilde{F}}_{n} (t)

$\tilde F_n(t)$

\sum_{i} Y_{i} = 0

$\sum_i Y_i = 0$

{\tilde{F}}_{n} (t)

$\tilde F_n(t)$

— พระคาร์ดินัล

( 3 ) รายการ 4 ในรายการของคุณได้รับการจัดการดังนี้ โปรดทราบว่าเทอมแรกทางด้านขวาคือจึงเห็นได้ชัดว่า1/2}) คุณกำลังเหลือเพียงที่จะจัดการกับระยะกลาง แต่ที่ต้องมาทนทุกข์พร้อมที่จะให้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟตามด้วยเซ่นและยังเป็น1/2})

sup_{C \subset [0, 1]} \int_{C} | \tilde{F} - F | \leq sup_{[0, 1]} | \tilde{F} - {\tilde{F}}^{⋆} | + \int_{0}^{1} | {\tilde{F}}^{⋆} - E {\tilde{F}}^{⋆} | + O (n^{- 1}) .

$\sup_{C\subset [0,1]} \int_C |\tilde F - F| \leq \sup_{[0,1]} |\tilde F - \tilde F^{\star}| + \int_0^1 |\tilde F^\star - \mathbb E \tilde F^\star| + O(n^{-1})\>.$

{\sum_{i} Y_{i} > 0}

$\{\sum_i Y_i > 0\}$

\leq | 1 - c n^{- 1} \sum_{i} Y_{i} |

$\leq |1 - c n^{-1}\sum_i Y_i|$

O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\mathcal O_p(n^{-1/2})$

O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\mathcal O_p(n^{-1/2})$

— พระคาร์ดินัล

เรียน @user: มันจะเป็นประโยชน์ที่จะเห็นบางรายละเอียดมากขึ้นในการพูดของคุณเกี่ยวกับไม่จำเป็นต้องพิจารณากรณีที่0 สิ่งที่คุณอธิบายคือการสุ่มตัวอย่างแบบมีเงื่อนไข เงื่อนไขในมีความไม่เป็นอิสระ (หรืออิสระตามเงื่อนไข) ดังนั้น (โดยปริยาย) การวิเคราะห์ในคำตอบไม่ได้ถือ มันอาจจะเป็นประโยชน์ที่จะดูที่กรณีที่เห็นนี้ (เพียงวาดตาราง)

\sum_{i} Y_{i} = 0

$\sum_i Y_i = 0$

Y_{i}

$Y_i$

{\sum_{i} Y_{i} > 0}

$\{\sum_i Y_i > 0\}$

n = 2

$n=2$

2 \times 2

$2 \times 2$

— พระคาร์ดินัล

นอกเหนือไปจากนี้อาจคุ้มค่าที่จะสังเกตว่าดังนั้นนิยามนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้น

sup_{C} \int_{C} | \tilde{F} - F | = \int_{0}^{1} | \tilde{F} - F |

$\sup_C \int_C |\tilde F - F| = \int_0^1 |\tilde F - F|$

— พระคาร์ดินัล