ทำไมตัวประมาณต้องเป็นอิสระจากพารามิเตอร์

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจาก "สถิติทางคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยพร้อมแอปพลิเคชัน" โดย Devore et al อะไรปริศนาฉันก็คือประมาณไม่สามารถช่วยขึ้นอยู่กับตั้งแต่ตัวอย่างขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ $\theta$

estimation

— QED
แหล่งที่มา

คุณมีสิทธิ์ที่ตัวประมาณที่เหมาะสมใด ๆ จะเป็นฟังก์ชัน (ไม่คงที่) ของข้อมูล (ยกเว้นในบางกรณีที่เป็นกรณีพิเศษทางพยาธิวิทยาเนื้อหาเช่นตัวอย่างของฉันที่นี่ ) ดังนั้นมันถูกต้องที่จะบอกว่าตัวประมาณที่เหมาะสมนั้นขึ้นอยู่กับผ่านการพึ่งพาข้อมูล แต่ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าทั้งหมดนั้นมีความหมายตามประโยค $\theta$

แสดงให้เห็นว่าย่อมเป็นประมาณการ - ว่ามันเป็นหน้าที่ของที่ 's ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

คือสูตรสำหรับตัวประมาณไม่สามารถมีพารามิเตอร์ได้ นี่คือที่จะไม่รวมสิ่งที่ต้องการซึ่งจะเป็นประมาณการที่สมบูรณ์แบบ (แม้ว่าคุณจะไม่มีข้อมูล !!) แต่คุณจะต้องเป็นกายสิทธิ์เพื่อคำนวณมัน :-) $\hat{\theta} = \theta$

ตามที่ระบุไว้ในทางที่คุณวางตั้งแต่เป็นสถิติที่เพียงพอการกระจายของสถิติใด ๆ เช่น , เงื่อนไขในจะไม่ขึ้นอยู่กับθดังนั้นไม่สามารถพึ่งพาจึงมั่นใจได้ว่ามันจะมีคุณสมบัติที่เป็นปัญหา $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

— มาโคร
แหล่งที่มา

+1 คำถามนี้เผยให้เห็นความคลุมเครือที่น่าสนใจในภาษาของตำราเรียน (ที่ได้รับความนิยมและเป็นที่นิยม): "พึ่งพา

" อาจหมายถึงสิ่งต่าง ๆอย่างน้อยสามอย่าง! (1)

ไม่ปรากฏอย่างชัดเจนในสูตร (2) แม้ว่า

อาจปรากฏในสูตรสูตรคือไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่จะθ

(3)

ถูกมองว่าเป็นตัวแปรสุ่ม (อาจจะคงที่) และ "พึ่งพา" อาจมีจุดมุ่งหมายในแง่ของการพึ่งพาตัวแปรสุ่ม น่าเสียดายที่การพยายามอธิบาย ("การกระจาย ... ไม่เกี่ยวข้องกับ

") นั้นคลุมเครือเกินกว่าจะช่วยได้มาก

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— whuber

สวัสดี @whuber - ฉันไม่ค่อยแน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรกับ (2) ฉันพยายามคิดถึงตัวประมาณที่มีคุณสมบัตินั้น คุณหมายความว่าวิธีการคำนวณตัวประมาณจะเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึง

หรือไม่? นั่นดูเหมือนจะเท่ากับ

ไม่ปรากฏในสูตร มิฉะนั้นคุณต้องมีพลังจิตอีกครั้งในการคำนวณตัวประมาณใช่ไหม หากคุณหมายถึงค่าคงที่ในแง่ที่ว่าค่าตัวเลขของตัวประมาณยังคงเหมือนเดิมโดยไม่คำนึงถึงค่า

นั่นมันไม่ฟังเหมือนตัวประมาณที่ดีมาก :-) คุณช่วยอธิบายได้ไหม?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— มาโคร

มันแตกต่างกันเล็กน้อย แต่มันเป็นเรื่องจริง เป็นตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ หลังจากสังเกต

ประสบความสำเร็จในการทดลอง

iid Binomial ด้วยพารามิเตอร์

เห็นได้ชัดว่า

ปรากฏในตัวประมาณ (ที่ยอมรับได้) "

," แต่มันก็ยังคงเป็นที่ถูกต้องเพราะมันไม่ได้แตกต่างกับθ

เพิ่มเติมอย่างละเอียด (และยังคงนิด ๆ ) ในปัญหาการสุ่มตัวอย่าง IID ปกติประมาณการ

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

ไม่เพียง แต่เกี่ยวข้องกับ

แต่ที่จริงแตกต่างกันไปกับมัน - ยังมีโอกาสที่จะไม่ได้คงเป็นศูนย์และ

เป็นสิ่งที่ดีที่พวกเขามา

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

— whuber

ฉันเดาว่าฉันยังคิดถึงจุดของคุณอยู่ ในการประมาณการครั้งแรกที่

ดังนั้น

จริงยกเลิกออกในการแสดงออกและดูเหมือนว่าดีกว่าที่จะเพียงแค่เขียนเป็น

)

ฉันคิดว่าฉันมันหายไปจุดของคุณกับคนที่สอง ฉันไม่เห็น

ในนั้นและดูเหมือนว่า

เนื่องจากความน่าจะเป็น

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

เป็นจำนวนเต็มเป็นศูนย์

กับความน่าจะเป็น

ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับθ

ฉันอาจจะหนาแน่น ถ้ามันยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็นบางทีเราสามารถทำได้ในบางครั้งการแชท

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

— มาโคร

ขออภัยเกี่ยวกับ typo: นั่นประมาณสองควรจะได้รับ

ความแตกต่างในกรณีแรกคือระหว่างสูตรและค่าของมัน (BTW, สมการ

ของคุณ

ด้วย

ไม่ถูกต้องเพราะมันล้มเหลวสำหรับ

ซึ่งสูตรของฉันไม่ได้กำหนด)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

— whuber