ความแปรปรวนของผลผลิตของตัวแปรสุ่มหลายตัว

เรารู้คำตอบสำหรับตัวแปรอิสระสองตัว:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

อย่างไรก็ตามหากเราใช้ผลิตภัณฑ์มากกว่าสองตัวแปรคำตอบจะเป็นอะไรในแง่ของความแปรปรวนและค่าที่คาดหวังของตัวแปรแต่ละตัว ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— Damla
แหล่งที่มา

เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่มและ (สมมติว่าทั้งหมดเป็นอิสระ) มันเป็นอิสระจากคำตอบจึงได้รับ inductively: ไม่มีอะไรใหม่ที่จำเป็น เทคนิคนี้ไม่แตกต่างจากการชี้ให้เห็นว่าเนื่องจากคุณสามารถเพิ่มตัวเลขสองตัวด้วยเครื่องคิดเลขคุณจึงสามารถเพิ่มตัวเลขด้วยเครื่องคิดเลขเดียวกันได้ด้วยการเพิ่มซ้ำ

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

คุณสามารถเขียนหลักฐานการแสดงสมการของคุณได้หรือไม่? ผมอยากที่จะหาสิ่งที่เกิดขึ้นกับระยะซึ่งควรให้คำบางคำที่เกี่ยวข้องกับY)

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ฉันสงสัยว่าคำถามนี้โดยปริยายถือว่าและเป็นอิสระ สูตรของ OP นั้นถูกต้องเมื่อใดก็ตามที่ทั้งไม่ได้ถูกทำให้สัมพันธ์กันและนั้นจะไม่ถูกทำให้สัมพันธ์กัน ดูคำตอบของฉันคำถามที่เกี่ยวข้องที่นี่

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— มาโคร

@Macro ฉันตระหนักดีถึงประเด็นที่คุณยกระดับ สิ่งที่ฉันพยายามทำให้ OP เข้าใจและ / หรือหาตัวเองคือตัวแปรสุ่มอิสระเช่นเดียวกับทำให้ง่ายขึ้นทำให้ง่ายขึ้นซึ่ง ฉันคิดว่าเป็นวิธีที่ตรงกว่าที่จะได้ผลลัพธ์มากกว่าวิธีการอุปนัยที่คนบอกว่า

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ดี ฉันแนะนำให้คุณโพสต์ข้อความนั้นเป็นคำตอบเพื่อให้ฉันสามารถโหวตได้!

— มาโคร

ฉันจะสมมติว่าตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระซึ่งเงื่อนไข OP ไม่ได้รวมอยู่ในคำสั่งปัญหา ด้วยสมมติฐานนี้เรามี หากคูณคำแรกของผลิตภัณฑ์ข้างต้นหนึ่งใน ข้อตกลงในการขยายตัวจะยกเลิกเงื่อนไขผลิตภัณฑ์ที่สองข้างต้นดังนั้นสำหรับกรณี $X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$ เรามีผลลัพธ์ที่ระบุโดย OP @Macro ชี้ให้เห็นว่าสำหรับเราไม่จำเป็นต้องถือว่า และเป็นอิสระ: เงื่อนไขที่อ่อนแอกว่าที่และไม่ได้ถูกแยกส่วนและและ นั้นไม่เพียงพอเช่นกัน แต่สำหรับการขาดความสัมพันธ์นั้นไม่เพียงพอ ความเป็นอิสระเพียงพอ แต่ไม่จำเป็น สิ่งที่จำเป็นต้องมีคือการพิจารณาถึงความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ที่แสดงไว้ด้านบนลงในผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังซึ่งรับประกันความเป็นอิสระ

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก! ฉันซาบซึ้งจริงๆ ใช่คำถามนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบอิสระ

— damla

เป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งเดียวกันสำหรับตัวแปรตาม ฉันพยายามคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับความแปรปรวนถ้า ? เราสามารถหาสูตรความแปรปรวนในรูปของความแปรปรวนและค่าที่คาดหวังของ X ได้หรือไม่?

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

— damla

ฉันโพสต์คำถามในหน้าใหม่ ขอบคุณมาก! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

Dilip, จะมีการวางนัยให้กับตัวแปรจำนวนใด ๆที่ไม่อิสระหรือไม่? (นี่เป็นคำถามที่แตกต่างจากคำถามที่ถามโดย damla ในคำถามใหม่ซึ่งเกี่ยวกับความแปรปรวนของอำนาจตามอำเภอใจของตัวแปรเดียว)

n

$n$

— อเล็กซิส

@Alexis เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันไม่มีตัวแปรทั่วไปสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ใช้สำหรับตัวแปรสุ่มตัว

3

$3$

— Dilip Sarwate