ความแปรปรวนของผลผลิตของตัวแปรสุ่มหลายตัว


44

เรารู้คำตอบสำหรับตัวแปรอิสระสองตัว:

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

อย่างไรก็ตามหากเราใช้ผลิตภัณฑ์มากกว่าสองตัวแปรคำตอบจะเป็นอะไรในแง่ของความแปรปรวนและค่าที่คาดหวังของตัวแปรแต่ละตัวVar(X1X2Xn)


5
เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่มและ (สมมติว่าทั้งหมดเป็นอิสระ) มันเป็นอิสระจากคำตอบจึงได้รับ inductively: ไม่มีอะไรใหม่ที่จำเป็น เทคนิคนี้ไม่แตกต่างจากการชี้ให้เห็นว่าเนื่องจากคุณสามารถเพิ่มตัวเลขสองตัวด้วยเครื่องคิดเลขคุณจึงสามารถเพิ่มตัวเลขด้วยเครื่องคิดเลขเดียวกันได้ด้วยการเพิ่มซ้ำ X1X2Xn1XiXnn
whuber

3
คุณสามารถเขียนหลักฐานการแสดงสมการของคุณได้หรือไม่? ผมอยากที่จะหาสิ่งที่เกิดขึ้นกับระยะซึ่งควรให้คำบางคำที่เกี่ยวข้องกับY) (E[XY])2cov(X,Y)
Dilip Sarwate

5
@DilipSarwate ฉันสงสัยว่าคำถามนี้โดยปริยายถือว่าและเป็นอิสระ สูตรของ OP นั้นถูกต้องเมื่อใดก็ตามที่ทั้งไม่ได้ถูกทำให้สัมพันธ์กันและนั้นจะไม่ถูกทำให้สัมพันธ์กัน ดูคำตอบของฉันคำถามที่เกี่ยวข้องที่นี่ XYX,YX2,Y2
มาโคร

5
@Macro ฉันตระหนักดีถึงประเด็นที่คุณยกระดับ สิ่งที่ฉันพยายามทำให้ OP เข้าใจและ / หรือหาตัวเองคือตัวแปรสุ่มอิสระเช่นเดียวกับทำให้ง่ายขึ้นทำให้ง่ายขึ้นซึ่ง ฉันคิดว่าเป็นวิธีที่ตรงกว่าที่จะได้ผลลัพธ์มากกว่าวิธีการอุปนัยที่คนบอกว่า E[X2Y2]
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
Dilip Sarwate

@DilipSarwate ดี ฉันแนะนำให้คุณโพสต์ข้อความนั้นเป็นคำตอบเพื่อให้ฉันสามารถโหวตได้!
มาโคร

คำตอบ:


38

ฉันจะสมมติว่าตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระซึ่งเงื่อนไข OP ไม่ได้รวมอยู่ในคำสั่งปัญหา ด้วยสมมติฐานนี้เรามี หากคูณคำแรกของผลิตภัณฑ์ข้างต้นหนึ่งใน ข้อตกลงในการขยายตัวจะยกเลิกเงื่อนไขผลิตภัณฑ์ที่สองข้างต้นดังนั้นสำหรับกรณีX1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2เรามีผลลัพธ์ที่ระบุโดย OP @Macro ชี้ให้เห็นว่าสำหรับเราไม่จำเป็นต้องถือว่า และเป็นอิสระ: เงื่อนไขที่อ่อนแอกว่าที่และไม่ได้ถูกแยกส่วนและและ นั้นไม่เพียงพอเช่นกัน แต่สำหรับการขาดความสัมพันธ์นั้นไม่เพียงพอ ความเป็นอิสระเพียงพอ แต่ไม่จำเป็น สิ่งที่จำเป็นต้องมีคือการพิจารณาถึงความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ที่แสดงไว้ด้านบนลงในผลิตภัณฑ์ของความคาดหวังซึ่งรับประกันความเป็นอิสระn=2X1X2X1X2X12X22n3

ขอบคุณมาก! ฉันซาบซึ้งจริงๆ ใช่คำถามนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบอิสระ
damla

เป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งเดียวกันสำหรับตัวแปรตาม ฉันพยายามคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับความแปรปรวนถ้า ? เราสามารถหาสูตรความแปรปรวนในรูปของความแปรปรวนและค่าที่คาดหวังของ X ได้หรือไม่?
X1=X2==Xn=X
damla

ฉันโพสต์คำถามในหน้าใหม่ ขอบคุณมาก! stats.stackexchange.com/questions/53380/…
damla

Dilip, จะมีการวางนัยให้กับตัวแปรจำนวนใด ๆที่ไม่อิสระหรือไม่? (นี่เป็นคำถามที่แตกต่างจากคำถามที่ถามโดย damla ในคำถามใหม่ซึ่งเกี่ยวกับความแปรปรวนของอำนาจตามอำเภอใจของตัวแปรเดียว)n
อเล็กซิส

@Alexis เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันไม่มีตัวแปรทั่วไปสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ใช้สำหรับตัวแปรสุ่มตัว 3
Dilip Sarwate
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.