นักเรียนเป็นส่วนผสมของ Gaussian

ใช้เสื้อนักเรียนกับการกระจายองศาอิสระพารามิเตอร์ที่ตั้งและขนาดพารามิเตอร์มีความหนาแน่นลิตร$k > 0$$l$$s$

$$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$$

ทำอย่างไรจึงจะแสดงให้เห็นว่านักเรียน -distribution สามารถเขียนเป็นส่วนผสมของการแจกแจงแบบเกาส์โดยให้ ,และรวมความหนาแน่นของข้อต่อเพื่อให้ได้ความหนาแน่นของส่วนขอบ ? อะไรคือพารามิเตอร์ของผลลัพธ์ -distribution ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นของ ?X ∼ N ( μ , σ 2 ) τ = 1 / σ 2 ∼ Γ ( α , β ) f ( x , τ | μ ) f ( x | μ ) t μ , α , $t$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$f(x,\tau|\mu)$$f(x|\mu)$$t$$\mu,\alpha,\beta$

ฉันหลงทางแคลคูลัสโดยการรวมความหนาแน่นของข้อต่อตามเงื่อนไขกับการแจกแจงแกมม่า

PDF ของการแจกแจงแบบปกติคือ

$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$

แต่ในแง่ของมันคือ$\tau = 1/\sigma^2$

$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$

PDF ของการแจกแจงแกมมาคือ

$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$

ดังนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจึงง่ายขึ้นเล็กน้อยกับพีชคณิตง่าย

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$

ส่วนด้านในของมันเห็นได้ชัดว่ามีรูปแบบทำให้หลายเป็นฟังก์ชันแกมมาเมื่อบูรณาการในช่วงเต็มτ = 0จะτ = ∞ อินทิกรัลนั้นจึงเกิดขึ้นทันที (ที่ได้จากการรู้ว่าอินทิกรัลของการแจกแจงแกมม่านั้นเป็นเอกภาพ) ทำให้มีการกระจายตัวเล็กน้อย$\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$$\tau=0$$\tau=\infty$

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$

การพยายามจับคู่รูปแบบที่มีให้สำหรับการแจกแจงแบบแสดงว่ามีข้อผิดพลาดในคำถาม:การแจกแจงแบบ PDF สำหรับนักเรียนทีเป็นสัดส่วนจริง$t$

$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$

(พลังของคือ2ไม่ใช่1 ) การจับคู่คำศัพท์บ่งบอกว่าk = 2 α , l = μ , และs = 1 / $(x-l)/s$$2$$1$$k = 2 \alpha$$l=\mu$บีตา$s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

---

ขอให้สังเกตว่าไม่จำเป็นต้องมีแคลคูลัสสำหรับการสืบทอดนี้:ทุกอย่างเป็นเรื่องของการค้นหาสูตรของไฟล์ PDF ปกติและแกมมาดำเนินการเชิงพีชคณิตเล็กน้อยที่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์และอำนาจและรูปแบบการจับคู่ในนิพจน์เชิงพีชคณิต

$t$$k$$Y$$Y$$X$$t(k)$$X$$\sqrt Y$$\Phi$$Y$$IG(k/2,k/2)$$\Phi$

$0$

$$\sqrt{1/\tau} X =Y$$ $\tau$$Y$$\tau$$\tau$$\sqrt{1/\tau} X$ $$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$$ $$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$$ $$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$$ $k=2\alpha$$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$$\mu$$l$