จะค้นหาระยะทางที่คาดหวังระหว่างจุดที่กระจายอย่างสม่ำเสมอสองจุดอย่างไร

หากฉันต้องกำหนดพิกัดและโดยที่ $(X_{1},Y_{1})$ $(X_{2},Y_{2})$

X_{1}, X_{2} \sim Unif (0, 30) and Y_{1}, Y_{2} \sim Unif (0, 40) .

$X_{1},X_{2} \sim \text{Unif}(0,30)\text{ and }Y_{1},Y_{2} \sim \text{Unif}(0,40).$

ฉันจะหาค่าที่คาดหวังของระยะทางระหว่างพวกเขาได้อย่างไร

ฉันคิดว่าเนื่องจากระยะทางคำนวณโดยค่าที่คาดหวัง เพิ่งจะเป็น ? $\sqrt{(X_{1}-X_{2})^{2} + (Y_{1}-Y_{2})^{2}})$ $(1/30 + 1/30)^2 + (1/40+1/40)^2$

expected-value uniform distance

— Mathlete
แหล่งที่มา

รหัส LaTeX ของคุณแสดงผลไม่ถูกต้อง ฉันหวังว่าการแก้ไขของฉันคือสิ่งที่คุณตั้งใจไว้

— Peter Flom

เกือบแล้ว แต่มันก็ช่วยพาฉันไปที่นั่นในตอนท้ายขอบคุณมาก

— Mathlete

คำถามที่เทียบเท่าในเว็บไซต์คณิตศาสตร์: ระยะทางเฉลี่ยระหว่างจุดสุ่มในสี่เหลี่ยมผืนผ้า คำถามที่เกี่ยวข้อง: ความน่าจะเป็นที่จุดสุ่มสม่ำเสมอในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีระยะทางยุคลิดน้อยกว่าเกณฑ์ที่กำหนด ( แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่เคยได้รอบเพื่อการขึ้น @whuber คำแนะนำของเขามีผมจะพยายามหาเวลาที่จะทำ..)

— พระคาร์ดินัล

ขอบคุณสำหรับลิงก์เหล่านั้น @cardinal แม้ว่ารุ่นคณิตศาสตร์จะไม่อธิบายคำตอบ - เพียงแค่แสดงมัน - มันมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาหนึ่งซึ่งมีค่าการตรวจสอบ

— whuber

คำตอบ:

##problem
x <- runif(1000000,0,30)
y <- runif(1000000,0,40)
Uniform <- as.data.frame(cbind(x,y))
n <- nrow(Uniform)
catch <- rep(NA,n)
for (i in 2:n) {
      catch[i] <-((x[i+1]-x[i])^2 + (y[i+1]-y[i])^2)^.5
}
mean(catch, na.rm=TRUE)
18.35855

ถ้าฉันเข้าใจสิ่งที่คุณต้องการอย่างถูกต้องอาจช่วยได้ คุณกำลังพยายามหาระยะทางระหว่างจุดสุ่มที่มีค่า X ที่สร้างจาก unif (0,30) และค่า Y ถูกสร้างจาก unif (0,40) ฉันเพิ่งสร้าง RV หนึ่งล้านตัวจากแต่ละตัวไปยังการแจกแจงแล้วผูก x กับ y เพื่อสร้างจุดสำหรับแต่ละอัน จากนั้นฉันคำนวณระยะทางระหว่างจุดที่ 2 ถึง 1 จนถึงระยะทางระหว่างจุด 1,000,000 ถึง 999,999 ระยะทางเฉลี่ยคือ 18.35855 แจ้งให้เราทราบหากนี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการ

— Eric Peterson
แหล่งที่มา

ใช้เสรีภาพในการแก้ไขสำหรับการจัดรูปแบบ

— อยากรู้อยากเห็น _cat

คุณเข้ามาใกล้พอสมควร - โดยบังเอิญ คำตอบที่แท้จริงคือ = 18.345919รหัสของคุณมีปัญหาสองประการ: (1) การวนซ้ำไม่เป็นอิสระต่อกัน และ (2) เพื่อให้ได้ความแม่นยำที่สมเหตุสมผลจึงควรเขียนโค้ดให้เร็วขึ้น ทำไมไม่ทำแบบจำลองโดยตรงในขณะที่ ที่คุณจะได้รับประมาณสี่ตัวเลขที่สำคัญ (ในเวลาที่น้อยกว่า) ที่คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการคำนวณผิดพลาดมาตรฐาน

\frac{1}{108} (871 + 960 \log (2) + 405 \log (3))

$\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3))$

18.345919 \dots

$18.345919\ldots$ n <- 10^7; distance <- sqrt((runif(n,0,30)-runif(n,0,30))^2 + (runif(n,0,40)-runif(n,0,40))^2)sd(distance) / sqrt(n)

— whuber

@whuber: คุณสามารถอธิบาย # 1 ของคุณได้หรือไม่ เช่นพูด (กรณี -I) ฉันดึงตัวเลขสุ่มคู่จากการแจกแจงใด ๆ และความแตกต่างจากการคำนวณและหาค่าเฉลี่ย เมื่อเทียบกับ (Case-II) ฉันยังคงวาดหมายเลขหนึ่งครั้งและยังคงคำนวณความแตกต่างในการทำงานเกี่ยวกับการจับหมายเลขล่าสุดแล้วเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยที่รายงานโดย Case-I และ Case-II จะแตกต่างกันอย่างเป็นระบบหรือไม่

— อยากรู้อยากเห็น _cat

@curious_cat ไม่ค่าเฉลี่ยจะใกล้เคียงกัน แต่การคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานจะแตกต่างกัน เราต้องการการคำนวณเพื่อประเมินว่าค่าเฉลี่ยน่าจะใกล้เคียงกับมูลค่าที่แท้จริงมากเพียงใด แทนที่จะคำนวณการคำนวณ SE ที่ซับซ้อนมากขึ้นมันง่ายกว่าเพียงแค่สร้างจุดคู่ที่เป็นอิสระจากกันอย่างสมบูรณ์ตามที่ระบุไว้ในคำถาม (มีหลายวิธีที่การจำลองสามารถผิดพลาดได้ - ฉันรู้จากประสบการณ์! - เป็นการฉลาดที่จะทำให้การจำลองเลียนแบบความจริงให้ใกล้เคียงที่สุด)

— whuber

@whuber: ขอบคุณสำหรับการชี้แจง ดังนั้นถ้าคลาร์กรันโค้ดของเขานานกว่านี้เขาอาจได้ตำแหน่งทศนิยมมากขึ้นใช่มั้ย

— อยากรู้อยากเห็น _cat

เป็นธรรมดาจากการดูคำถามทางเรขาคณิตว่าระยะทางที่คาดหวังระหว่างจุดอิสระสองจุดที่เหมือนกันและเป็นแบบสุ่มภายในเซตนูนนั้นจะมีเส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่าครึ่งหนึ่งเล็กน้อย (ควรจะน้อยกว่าเพราะมันค่อนข้างหายากสำหรับจุดสองจุดที่จะอยู่ในพื้นที่ที่รุนแรงเช่นมุมและบ่อยครั้งที่พวกเขาจะอยู่ใกล้กับศูนย์กลางที่พวกเขาอยู่ใกล้) เนื่องจากเส้นผ่าศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้คือโดยสิ่งนี้ ด้วยเหตุผลเพียงอย่างเดียวเราคาดว่าคำตอบจะน้อยกว่าเล็กน้อย $50$ $25$

คำตอบที่แน่นอนได้มาจากคำนิยามของความคาดหวังเป็นค่าน้ำหนักความน่าจะเป็นของระยะทาง โดยทั่วไปพิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านและ ; เราจะขยายมันให้มีขนาดที่ถูกต้องหลังจากนั้น (โดยการตั้งค่าและทวีคูณความคาดหวัง ) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้โดยใช้พิกัดความหนาแน่นเครื่องแบบน่าจะเป็นDY ระยะทางเฉลี่ยภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้จะถูกกำหนดโดย $1$ $\lambda$ $\lambda = 40/30$ $30$ $(x,y)$ $\frac{1}{\lambda}dx dy$

\int_{0}^{λ} \int_{0}^{1} \int_{0}^{λ} \int_{0}^{1} \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} \frac{1}{λ} d x_{1} d y_{1} \frac{1}{λ} d x_{2} d y_{2} .

$\int_0^\lambda\int_0^1\int_0^\lambda\int_0^1 \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \frac{1}{\lambda}dx_1 dy_1 \frac{1}{\lambda} dx_2 dy_2.$

การใช้วิธีการบูรณาการเบื้องต้นนี้เป็นสิ่งที่ตรงไปตรงมา ฉันใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ( Mathematica ) เพื่อรับคำตอบ

[2 + 2 λ^{5} - 2 \sqrt{1 + λ^{2}} + 6 λ^{2} \sqrt{1 + λ^{2}} - 2 λ^{4} \sqrt{1 + λ^{2}} + 5 λ ArcSinh (λ) + 5 λ^{4} \log (\frac{1 + \sqrt{1 + λ^{2}}}{λ})] / (30 λ^{2}) .

$[2+2 \lambda ^5-2 \sqrt{1+\lambda ^2}+6 \lambda ^2 \sqrt{1+\lambda ^2}-2 \lambda ^4 \sqrt{1+\lambda ^2} +5 \lambda \text{ArcSinh}(\lambda)+5 \lambda ^4 \log\left(\frac{1+\sqrt{1+\lambda ^2}}{\lambda }\right)]/(30\lambda^2).$

การปรากฏตัวของในหลาย ๆ เงื่อนไขเหล่านี้ไม่น่าแปลกใจ: มันคือเส้นผ่านศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ระยะทางสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ภายใน) การปรากฏตัวของลอการิทึม (ซึ่งรวมถึงอาร์กซิงห์) นั้นไม่น่าแปลกใจหากคุณเคยตรวจสอบระยะทางเฉลี่ยภายในตัวเลขระนาบแบบง่าย ๆ : มันจะปรากฏขึ้นเสมอ (คำใบ้ของสิ่งนี้จะปรากฏในส่วนของฟังก์ชันเซแคนท์) อนึ่งการมีอยู่ในส่วนไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับปัญหาเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมด้านและ : เป็นค่าคงที่สากล) $\sqrt{1+\lambda^2}$ $30$ $30$ $40$

ด้วยและปรับขึ้นจากปัจจัยของประเมินนี้เพื่อ18.345919 $\lambda=4/3$ $30$ $\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3)) \approx 18.345919\ldots$

วิธีหนึ่งที่จะเข้าใจสถานการณ์อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นคือการพล็อตระยะทางเฉลี่ยญาติเส้นผ่าศูนย์กลางของสำหรับค่าที่แตกต่างกัน\สำหรับค่าสุดขีด (ใกล้หรือมากกว่า ) สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะกลายเป็นมิติเดียวและการรวมกลุ่มระดับประถมศึกษามากขึ้นบ่งชี้ว่าระยะทางเฉลี่ยควรลดลงหนึ่งในสามของเส้นผ่าศูนย์กลาง นอกจากนี้เนื่องจากรูปทรงสี่เหลี่ยมกับและเหมือนกันมันเป็นธรรมชาติที่จะพล็อตผลในลอการิทึมขนาดของที่มันจะต้องเป็นแบบสมมาตรเกี่ยวกับ (ตาราง) นี่มันคือ: $\sqrt{1+\lambda^2}$ $\lambda$ $0$ $1$ $\lambda$ $1/\lambda$ $\lambda$ $\lambda=1$

พล็อต

ด้วยสิ่งนี้เราเรียนรู้กฎของหัวแม่มือ : ระยะทางเฉลี่ยในสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ระหว่างและ (ประมาณ)ของเส้นผ่านศูนย์กลางของมันด้วยค่าที่ใหญ่กว่าที่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมมุมฉากและค่าที่เล็กลงซึ่งเกี่ยวข้องกับผอมยาว (เส้นตรง) ) สี่เหลี่ยมผืนผ้า จุดกึ่งกลางระหว่างขั้วเหล่านี้จะประสบความสำเร็จประมาณสำหรับรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนของ 1 ด้วยกฎนี้คุณสามารถมองไปที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าและประมาณระยะทางเฉลี่ยของมันเป็นตัวเลขสองตัวที่สำคัญ $1/3 \approx 0.33$ $0.37$ $3:1$

— whuber
แหล่งที่มา

ควรเป็น "ทแยงมุม" แทนที่จะเป็น "เส้นผ่าศูนย์กลาง" หรือไม่? ขออภัยถ้าฉันกำลัง nitpicking

— อยากรู้อยากเห็น _cat

@curious_cat ตามคำนิยามเส้นผ่านศูนย์กลางของชุดของจุด (ในพื้นที่ตัวชี้วัดใด ๆ ) คือระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดสองจุดใด ๆ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ามันคือ (ชัด) ความยาวของเส้นทแยงมุม

— whuber

ขอบคุณ! ฉันไม่ได้ตระหนักว่า ฉันใช้แนวคิดไร้เดียงสาของเส้นผ่านศูนย์กลาง

— อยากรู้อยากเห็น _cat

ในฐานะที่เป็นกัน: สำหรับทุกสี่เหลี่ยมของพื้นที่ที่กำหนดจะลดระยะห่างเฉลี่ยสำหรับสี่เหลี่ยม?

— อยากรู้อยากเห็น _cat

ด้วยจิตวิญญาณของสิ่งนี้ฉันหวังว่าคุณจะได้เริ่มต้นคำตอบนี้ด้วย "มันเป็นเครื่องบิน ... " (+1)

— cardinal