ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มสองน้ำหนัก

ปล่อย:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม$A =\sigma_{1}=5$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม$B=\sigma_{2}=4$

ดังนั้นความแปรปรวนของ A + B คือ:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

ที่ไหน:

$p_{1,2}$คือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัว

$w_{1}$คือน้ำหนักของตัวแปรสุ่ม A

$w_{2}$คือน้ำหนักของตัวแปรสุ่ม B

$w_{1}+w_{2}=1$

รูปด้านล่างแสดงความแปรปรวนของ A และ B เมื่อน้ำหนักของ A เปลี่ยนจาก 0 เป็น 1 สำหรับความสัมพันธ์ -1 (สีเหลือง), 0 (สีฟ้า) และ 1 (สีแดง)

สูตรส่งผลให้เป็นเส้นตรง (สีแดง) อย่างไรเมื่อสหสัมพันธ์เป็น 1 เท่าที่ฉันสามารถบอกได้เมื่อสูตรจะลดความซับซ้อนลงเป็น:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

ฉันจะแสดงสิ่งนั้นในรูปของอย่างไร$y=mx+c$

ขอบคุณ.

ใช้คำนวณ$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

นี้แสดงให้เห็นว่าเมื่อกราฟความแปรปรวนเมื่อเทียบกับที่ (แสดงข้างในภาพประกอบ) เป็นรูปโค้งศูนย์กลางที่sigma_1) ไม่มีส่วนของพาราโบลาใด ๆ ที่เป็นเส้นตรง ด้วยและศูนย์กลางอยู่ที่ : วิธีที่ด้านล่างของกราฟที่สเกลที่วาด ดังนั้นคุณกำลังดูพาราโบลาชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งจะปรากฏเป็นเส้นตรง$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

เมื่อ , ความแปรปรวนเป็นฟังก์ชั่นเชิงเส้นของw_1ในกรณีนี้พล็อตจะเป็นส่วนของเส้นแนวตั้งอย่างสมบูรณ์$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

BTW คุณรู้คำตอบนี้แล้วโดยไม่มีการคำนวณเพราะหลักการพื้นฐานบอกเป็นนัยถึงพล็อตความแปรปรวนไม่สามารถเป็นเส้นตรงได้เว้นแต่จะเป็นแนวตั้ง ไม่มีข้อห้ามทางคณิตศาสตร์หรือสถิติในการ จำกัดให้อยู่ระหว่างและ : ค่าใด ๆของกำหนดตัวแปรสุ่มใหม่ (การรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม A และ B) ดังนั้นจึงต้องมีค่าที่ไม่เป็นลบ สำหรับความแปรปรวน ดังนั้นเส้นโค้งเหล่านี้ทั้งหมด (แม้เมื่อขยายไปถึงช่วงแนวตั้งแบบเต็มของ ) จะต้องอยู่ทางด้านขวาของแกนตั้ง ที่ติตบรรทัดทั้งหมดยกเว้นบรรทัดแนวตั้ง$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

พล็อตของความแปรปรวนสำหรับ :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

มันไม่เชิงเส้น สูตรบอกว่าไม่ใช่เชิงเส้น เชื่อสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ของคุณ!

มันจะปรากฏเฉพาะเชิงเส้นในกราฟเพราะขนาดที่มีและ 4 ลองด้วยตัวคุณเอง: คำนวณความลาดชันในบางแห่งและคุณจะเห็นว่ามันแตกต่างกัน คุณสามารถพูดเกินจริงโดยเลือกพูดσ 2 = 4 σ 1 = $\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

นี่คือรหัส R บางส่วน:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

หากคุณต้องการตรวจสอบความลาดชัน:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1