เป็นไปได้ไหมที่จะหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบรวม?

สมมติว่าฉันมี 2 ชุด:

ชุด A : จำนวนรายการ , , $n= 10$ $\mu = 2.4$ $\sigma = 0.8$

ชุด B : จำนวนรายการ , , $n= 5$ $\mu = 2$ $\sigma = 1.2$

ฉันสามารถหาค่าเฉลี่ยรวม ( ) ได้อย่างง่ายดาย แต่ฉันควรจะหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบรวมได้อย่างไร $\mu$

standard-deviation

— kype
แหล่งที่มา

en.wikipedia.org/wiki/Pooled_variance#Pooled_standard_deviation

— Chris

คำตอบ:

ดังนั้นหากคุณต้องการให้ตัวอย่างสองตัวอย่างนี้รวมกันเป็นหนึ่งเดียวคุณจะได้:

$s_1 = \sqrt{\frac{1}{n_1}\Sigma_{i = 1}^{n_1} (x_i - \bar{y}_1)^2}$

$s_2 = \sqrt{\frac{1}{n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_2} (y_i - \bar{y}_2)^2}$

โดยที่และเป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่างและและเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง $\bar{y}_1$ $\bar{y}_2$ $s_1$ $s_2$

ในการเพิ่มพวกเขาคุณมี:

$s = \sqrt{\frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} (z_i - \bar{y})^2}$

ซึ่งไม่ตรงไปตรงมาเนื่องจากค่าเฉลี่ยใหม่แตกต่างจากและ : $\bar{y}$ $\bar{y}_1$ $\bar{y}_2$

$\bar{y} = \frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} z_i = \frac{n_1 \bar{y}_1 + n_2 \bar{y}_2}{n_1 + n_2}$

สูตรสุดท้ายคือ:

$s = \sqrt{\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }}$

สำหรับเวอร์ชันBessel-modifieded (" denominator") ที่ใช้กันทั่วไปของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานผลลัพธ์ของค่าเฉลี่ยนั้นเหมือน แต่ก่อน $n-1$

$s = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2 + n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1+n_2 - 1} }$

คุณสามารถอ่านข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่นี่: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

— sashkello
แหล่งที่มา

หาก OP ใช้ Bessel ที่แก้ไข (เดนนิเทเตอร์สำหรับความแปรปรวน) ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง (เกือบทุกคนที่ถามที่นี่จะทำ) คำตอบนี้จะไม่ให้สิ่งที่พวกเขาต้องการ

n - 1

$n-1$

— Glen_b -Reinstate Monica

ในกรณีนี้ส่วนนี้จะหลอกลวง (แก้ไขเพื่อลิงก์ไปยังเวอร์ชันวิกิพีเดียเก่าตั้งแต่ถูกลบออกจากเวอร์ชันใหม่)

— Glen_b

@Glen_b จับได้ดี คุณสามารถแก้ไขสิ่งนี้เป็นคำตอบเพื่อให้มีประโยชน์มากกว่านี้ได้หรือไม่?

— sashkello

ฉันไปที่วิกิพีเดียเพื่อค้นหาหลักฐาน แต่น่าเสียดายที่สูตรนี้ไม่มีอยู่อีกต่อไป สนใจที่จะทำอย่างละเอียด (หลักฐาน) หรือปรับปรุง Wikipedia? :)

— Rauni Lillemets

@RauniLillemets ดูen.wikipedia.org/wiki/Pooled_variance#Pooled_standard_deviation

— Chris

เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ขยายไปถึงกลุ่ม : $K$

s = \sqrt{\frac{Σ_{k = 1}^{K} (n_{k} - 1) s_{k}^{2} + n_{k} ({\bar{Y}}_{k} - \bar{Y})^{2}}{(Σ_{k = 1}^{K} n_{k}) - 1}}

$s = \sqrt{ \frac{\sum_{k=1}^K (n_k-1)s_k^2 + n_k(\bar{y}_k-\bar{y})^2} {(\sum_{k=1}^K n_k) -1} }$

— Ravi Varadhan
แหล่งที่มา

นี่เป็นมาตรฐานโดยย่อ คุณช่วยพูดอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีได้มาและทำไมนี่คือคำตอบที่ถูกต้อง?

— Sycorax พูดว่า Reinstate Monica

ฉันมีปัญหาเดียวกัน: การมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าเฉลี่ยและขนาดของเซตย่อยหลาย ๆ ค่าที่มีจุดตัดเปล่าคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการรวมกลุ่มของเซตย่อยเหล่านั้น

ฉันชอบคำตอบของsashkelloและGlen_b ♦แต่ฉันต้องการหาข้อพิสูจน์ ฉันทำแบบนี้และฉันจะทิ้งไว้ที่นี่ในกรณีที่มีใครช่วย

ดังนั้นเป้าหมายคือเพื่อดูว่าจริง ๆ :

s = {(\frac{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2} + n_{1} ({\bar{Y}}_{1} - \bar{Y})^{2} + n_{2} ({\bar{Y}}_{2} - \bar{Y})^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2}

$s = \left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2}$

เป็นขั้นเป็นตอน:

{(\frac{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2} + n_{1} ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2} + n_{2} ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i} - \bar{y_{1}})^{2} + \sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i} - \bar{y_{2}})^{2} + n_{1} ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2} + n_{2} ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} ((x_{i} - \bar{y_{1}})^{2} + ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2}) + \sum_{i = 1}^{n_{2}} ((y_{i} - \bar{y_{2}})^{2} + ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2})}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} + 2 {\bar{y_{1}}}^{2} - 2 x_{i} \bar{y_{1}} - 2 \bar{y_{1}} \bar{y})}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} + 2 {\bar{y_{2}}}^{2} - 2 y_{i} \bar{y_{2}} - 2 \bar{y_{2}} \bar{y})}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}}) + 2 n_{1} {\bar{y_{1}}}^{2} - 2 \bar{y_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} x_{i}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{2}} \frac{y_{j}}{n_{2}}) + 2 n_{2} {\bar{y_{2}}}^{2} - 2 \bar{y_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} y_{i}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}}) + 2 n_{1} {\bar{y_{1}}}^{2} - 2 \bar{y_{1}} n_{1} \bar{y_{1}}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{2}} \frac{y_{j}}{n_{2}}) + 2 n_{2} {\bar{y_{2}}}^{2} - 2 \bar{y_{2}} n_{2} \bar{y_{2}}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}})}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{2}} \frac{y_{j}}{n_{2}})}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2}

$\left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_i - \bar{y_1})^2 + \sum_{i=1}^{n_2}(y_i - \bar{y_2})^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left((x_i - \bar{y_1})^2 + (\bar{y}_1-\bar{y})^2\right) + \sum_{i=1}^{n_2}\left((y_i - \bar{y_2})^2 + (\bar{y}_2-\bar{y})^2\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_1}^2 -2x_i\bar{y_1} -2\bar{y_1}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_2}^2 -2y_i\bar{y_2} -2\bar{y_2}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_i}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_i}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}n_1\bar{y_1}}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}n_2\bar{y_2}}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2}$

ทีนี้เคล็ดลับก็คือการตระหนักว่าเราสามารถจัดลำดับเงินก้อนใหม่ได้: เนื่องจากแต่ละ คำที่ปรากฏครั้งเราสามารถ เขียนตัวเศษเป็น

- 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}}

$-2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}$

n_{1}

$n_1$

\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} x_{i}),

$\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}x_i\right),$

และด้วยเหตุนี้การดำเนินการกับห่วงโซ่ความเท่าเทียมกัน:

= {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} {(x_{i} - \bar{y})}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1} + n_{2}} {(z_{i} - \bar{y})}^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = s ◻

$= \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1 + n_2}\left(z_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = s \qquad \square$

สิ่งนี้ถูกกล่าวว่าอาจเป็นวิธีที่ง่ายกว่าในการทำสิ่งนี้

สามารถขยายสูตรเป็นชุดย่อยตามที่ระบุไว้ก่อนหน้า การพิสูจน์จะเป็นการอุปนัยจำนวนชุด กรณีฐานได้รับการพิสูจน์แล้วและสำหรับขั้นตอนการปฐมนิเทศคุณควรใช้โซ่ความเสมอภาคที่คล้ายกันกับหลัง $k$

— iipr
แหล่งที่มา

ฉันไม่เห็นความชัดเจนของคำถาม ชุดข้อมูลสองชุดสันนิษฐานว่ามาจากการแจกแจงแบบเดียวกันหรือไม่? OP มีการสังเกตการณ์จริงที่มีอยู่หรือเพียงแค่ประมาณการตัวอย่างค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือไม่

— Michael R. Chernick

ใช่พวกเขาถูกสันนิษฐานว่ามาจากการกระจายตัวแบบเดียวกัน การสังเกตไม่พร้อมใช้งานเพียงค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดย่อย

— iipr

ถ้าอย่างนั้นทำไมต้องใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับการสังเกตการณ์ของแต่ละคน?

— Michael R. Chernick

บางทีคำตอบของฉันอาจไม่ชัดเจน ฉันเพียงแค่โพสต์หลักฐานทางคณิตศาสตร์ของสูตรข้างต้นที่อนุญาตให้คำนวณsจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าเฉลี่ยและขนาดของสองชุดย่อย ในสูตรไม่มีการอ้างอิงถึงการสังเกตของแต่ละบุคคล ในการพิสูจน์มี แต่มันเป็นเพียงการพิสูจน์และจากมุมมองของฉันถูกต้อง

— iipr