สมมติฐาน NULL สำหรับการโต้ตอบในการวิเคราะห์ความแปรปรวนสองทางคืออะไร?

20

สมมติว่าเรามีสองปัจจัย (A และ B) แต่ละคนมีสองระดับ (A1, A2 และ B1, B2) และตัวแปรตอบสนอง (y)

เมื่อทำการ ANOVA สองทางของประเภท:

y~A+B+A*B

เรากำลังทดสอบสมมติฐานว่างสามประการ:

ไม่มีความแตกต่างในวิธีการของปัจจัย A
ปัจจัยในระดับ B ไม่มีความแตกต่างกัน
ไม่มีการโต้ตอบระหว่างปัจจัย A และ B

เมื่อเขียนลงไปข้อสมมติฐานสองข้อแรกนั้นง่ายต่อการกำหนด (สำหรับ 1 มันคือ $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$ )

แต่ควรกำหนดสมมติฐาน 3 อย่างไร?

แก้ไข : และจะกำหนดสูตรอย่างไรสำหรับกรณีที่มีมากกว่าสองระดับ

ขอบคุณ

hypothesis-testing anova

— Tal Galili
แหล่งที่มา

3

ฉันไม่มีชื่อเสียงที่จะอนุญาตให้ฉันแก้ไข แต่ฉันคิดว่าคุณต้องการ

H_{0} = μ_{A 1} = μ_{A 2}

$H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}$ (หรือ

μ_{A_{1}}

$\mu_{A_1}$ หากคุณต้องการตัวห้อยสองเท่า) [oops มันมี tex-ified โดยอัตโนมัติว่า : H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}หรือ\mu_{A_1}]

— เบ็นโบลเคอร์

1

Oups ไม่เห็นว่าคุณกำลังใช้อักษรตัวใหญ่เพื่อแสดงชื่อปัจจัยและระดับของพวกเขา - แก้ไขมัน (ตามเครื่องหมาย @Ben)

— chl

18

ฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องแยกสมมติฐานและการทดสอบที่สอดคล้องกันอย่างชัดเจน สำหรับสิ่งต่อไปนี้ฉันถือว่าการออกแบบCRF- มีความสมดุลระหว่างวัตถุ(ขนาดเซลล์เท่ากันเครื่องหมายของ Kirk: การออกแบบแฟคทอเรียลแบบสุ่มทั้งหมด) $pq$

สังเกตในการรักษาของปัจจัยและการรักษาปัจจัยกับ , $Y_{ijk}$ $i$ $j$ $A$ $k$ $B$ $1 \leq i \leq n$ และ Qแบบจำลองคือ $1 \leq j \leq p$ $1 \leq k \leq q$ $Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

การออกแบบ: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

คือค่าที่คาดหวังในเซลล์ ,เป็นข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการวัดของบุคคลที่ในเซลล์นั้น เครื่องหมายบ่งชี้ว่าดัชนีได้รับการแก้ไขสำหรับบุคคลใดก็ตามที่เนื่องจากบุคคลนั้นถูกสังเกตในเงื่อนไขเดียวเท่านั้น คำจำกัดความบางประการสำหรับเอฟเฟกต์: $\mu_{jk}$ $jk$ $\epsilon_{i(jk)}$ $i$ $()$ $jk$ $i$

(ค่าคาดหวังโดยเฉลี่ยสำหรับการรักษาของปัจจัย) $\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ $j$ $A$

(ค่าคาดหวังโดยเฉลี่ยสำหรับการรักษาของปัจจัย) $\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ $k$ $B$

(ผลของการรักษาของปัจจัย , ) $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ $j$ $A$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(ผลของการรักษาของปัจจัย , ) $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ $k$ $B$ $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(ผลการทำงานร่วมกันสำหรับการรวมกันของการรักษาของปัจจัยกับการรักษาปัจจัย , $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

(ผลกระทบหลักที่มีเงื่อนไขสำหรับการรักษาของปัจจัยภายในการรักษาคงที่ปัจจัย , $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$ , $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

$H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
(all individual interaction terms are $0$ , such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$ . This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)
$H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
(all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$ . This is essentially Dason's answer.)
$H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
(all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$ .)
$H_{0_{I}}$ : In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$ -axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

— caracal
แหล่งที่มา

1

A really impressive answer Caracal - thank you.

— Tal Galili

9

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$

— Dason
แหล่งที่มา

1

Thanks Dason, that helped. Also, after reading your reply, it suddenly became clear to me that I am not fully sure how this generalizes in case we are having more factors. Could you advise? Thanks again. Tal

— Tal Galili

2

You can test multiple contrasts simultaneously. So for example if A had three levels and B had 2 we could use the two contrasts: C1 = (A1B1 - A2B1) - (A2B1 - A2B2) and C2 = (A2B1 - A2B2) - (A3B1 - A3B2) and use a 2 degree of freedom test to simultaneously test if C1 = C2 = 0. It's also interesting to note that C2 could equally have been (A1B1 - A1B2) - (A3B1 - A3B2) and we would come up with the same thing.

— Dason

Hi @Dason: you seem to have multiple accounts. Could you please complete the form at stats.stackexchange.com/contact and request that they be merged? That will simplify your use of this site (and give you the combined net reputation of both accounts).

— whuber