คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงตัวอย่างอัตโนมัติ

ฉันกำลังอ่านหนังสือการวิเคราะห์อนุกรมเวลาและสูตรสำหรับการคำนวณค่าตัวอย่างอัตโนมัติถูกกำหนดในหนังสือเป็น:

\hat{γ} (ชั่วโมง) = n^{- 1} Σ_{เสื้อ = 1}^{n - ชั่วโมง} (x_{เสื้อ + ชั่วโมง} - \bar{x}) (x_{เสื้อ} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

กับ $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ สำหรับ $\;h = 0,1, ..., n-1$ . $\bar{x}$ คือค่าเฉลี่ย

ใครสามารถอธิบายได้โดยสัญชาตญาณว่าทำไมเราหารผลรวมด้วย $n$ และไม่ได้โดย $n-h$ ? หนังสือเล่มนี้อธิบายว่าเป็นเพราะสูตรข้างต้นเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบแน่นอนและหารด้วย $n$ เป็นที่ต้องการ แต่ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน บางคนสามารถพิสูจน์สิ่งนี้หรือแสดงตัวอย่างหรือบางสิ่งได้

สำหรับฉันสิ่งที่ใช้งานง่ายในตอนแรกจะแบ่งโดย $n-h$ . นี่เป็นตัวประมาณค่าแบบเอนเอียงหรือเอนเอียงของ autocovariance หรือไม่?

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
แหล่งที่มา

หากอนุกรมเวลาของคุณถูกต้อง

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$ กับคนอื่น ๆ ทั้งหมด

x_{i}

$x_i$ ,

i < 1

$i < 1$ หรือ

i > n

$i >n$ ไม่ทราบจำนวนรวมต้องหยุดที่

t = n - h

$t=n-h$ เมื่อไหร่

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$ เกิดขึ้นในผลรวม: คำต่อไป (สำหรับ

t = n - h + 1

$t=n-h+1$ ) ที่จะรวมอยู่ในผลรวมจะมี

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$ ในนั้นและ

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของตัวอย่าง

— Dilip Sarwate

@Dilip ฉันไม่คิดว่าเป็นปัญหา: คำถามเกี่ยวข้องกับการหารด้วย

n

$n$ หรือ

n - h

$n-h$ ในความหมายของ

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$ .

— whuber

$\widehat{\gamma}$ จะใช้ในการสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม: ได้รับ "ครั้ง" $t_1, t_2, \ldots, t_k$ มันประมาณว่าความแปรปรวนร่วมของเวกเตอร์สุ่ม $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ (ที่ได้จากสนามสุ่มในเวลานั้น) คือเมทริกซ์ $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$ . สำหรับปัญหาหลายอย่างเช่นการทำนายมันเป็นสิ่งสำคัญที่การฝึกอบรมเช่นนั้นจะไม่มีความหมาย ในฐานะที่เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนสมมุติสมมุติว่าพวกเขาไม่สามารถมีค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบใด ๆ ดังนั้นพวกเขาจะต้องเป็นบวกแน่นอน

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดซึ่งความแตกต่างระหว่างสองสูตร

\hat{γ} (ชั่วโมง) = n^{- 1} Σ_{เสื้อ = 1}^{n - ชั่วโมง} (x_{เสื้อ + ชั่วโมง} - \bar{x}) (x_{เสื้อ} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

และ

{\hat{γ}}_{0} (ชั่วโมง) = (n - ชั่วโมง)^{- 1} Σ_{เสื้อ = 1}^{n - ชั่วโมง} (x_{เสื้อ + ชั่วโมง} - \bar{x}) (x_{เสื้อ} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

ปรากฏขึ้นเมื่อ $x$ มีความยาว $2$ ; พูด, $x = (0,1)$ . สำหรับ $t_1=t$ และ $t_2 = t+1$ มันง่ายในการคำนวณ

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

ซึ่งเป็นเอกพจน์ในขณะที่

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

ซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะ $3/8$ และ $1/8$ มันเป็นบวกแน่นอน

ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันเกิดขึ้นสำหรับ $x = (0,1,0,1)$ ที่ไหน $\widehat{\gamma}$ เป็นบวกแน่นอน แต่ $\widehat{\gamma}_0$ - เมื่อนำไปใช้กับเวลา $t_i = (1,2,3,4)$ พูด - แย่ลงในเมทริกซ์ของอันดับ $1$ (รายการนั้นสลับกันระหว่าง $1/4$ และ $-1/4$ )

(มีรูปแบบที่นี่: ปัญหาเกิดขึ้นสำหรับใด ๆ $x$ ของแบบฟอร์ม $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$ .)

ในแอปพลิเคชั่นส่วนใหญ่จะเป็นชุดการสังเกต $x_t$ นานมากที่สุด $h$ ที่น่าสนใจ - ซึ่งน้อยกว่ามาก $n$ --ความแตกต่างระหว่าง $n^{-1}$ และ $(n-h)^{-1}$ ไม่มีผลใด ๆ ดังนั้นในทางปฏิบัติความแตกต่างไม่ใช่เรื่องใหญ่และในทางทฤษฎีความต้องการในเชิงบวกและความแตกต่างอย่างยิ่งจะแทนที่ความปรารถนาที่เป็นไปได้ใด ๆ สำหรับการประเมินที่เป็นกลาง

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่ามันสำคัญที่จะต้องทราบว่าตัวประมาณค่าทั้งสองเป็นตัวประมาณแบบเอนเอียงแม้ว่าคุณจะหารด้วย nh

— Ran

@ รันแม้ว่าคุณจะถูกต้องว่าตัวประมาณเหล่านี้มีอคติ แต่ฉันไม่เห็นด้วยว่านี่เป็นปัญหาสำคัญ: ดังที่ได้กล่าวไว้ในย่อหน้าที่แล้วอคติเล็กน้อยเป็นเรื่องกังวลน้อยที่สุดของใคร ตัวประมาณที่เป็นกลางใช้

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$ แทบแตกต่างจาก

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$ หรือ

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$ .

— whuber

คำตอบที่ดีมาก +1 บางทีมันอาจมีประโยชน์ในการเพิ่มจุดที่

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$ ในขณะที่

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$ , ดังนั้นเมื่อ

h

$h$ อยู่ใกล้กับ

n

$n$ ตัวประมาณ

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$ สามารถเอาแน่เอานอนไม่ได้ในขณะที่

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$ จะมีความผันผวนของการสุ่มตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ อย่างสม่ำเสมอ

\forall h

$\forall h$ . ดูเช่น Priestly (1981) "การวิเคราะห์สเปกตรัมและอนุกรมเวลา" p324 สำหรับการสนทนาโดยละเอียดของประเด็นนี้

— Colin T Bowers