ทฤษฎีบทเกาส์ - มาร์คอฟ: BLUE และ OLS

ฉันกำลังอ่านทฤษฎีบท Guass-Markov ในวิกิพีเดียและฉันหวังว่าจะมีคนช่วยฉันหาประเด็นหลักของทฤษฎีบทนี้

เราคิดรูปแบบเชิงเส้นในรูปแบบเมทริกซ์จะได้รับโดย: และเรากำลังมองหาสีฟ้า\

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

ตามสิ่งนี้ฉันจะติดป้าย "ส่วนที่เหลือ" และ ข้อผิดพลาด " (คือตรงกันข้ามกับการใช้งานในหน้า Gauss-Markov)$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

OLS (หุ้นสามัญอย่างน้อยสี่เหลี่ยม) ประมาณการอาจจะมาเป็น argmin ของ 2$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

ตอนนี้ให้แทนโอเปอเรเตอร์ความคาดหวัง เพื่อความเข้าใจของฉันสิ่งที่ทฤษฎีเกาส์ - มาร์คอฟบอกเราคือว่าถ้าและแล้วอาร์มินทั้งหมด เชิงเส้นประมาณค่าเป็นกลางของจะได้รับจากการแสดงออกเช่นเดียวกับที่ เครื่องมือประมาณค่า OLS$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Ie

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

ความเข้าใจของฉันถูกต้องหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้นคุณจะบอกว่ามันสมควรได้รับการเน้นที่โดดเด่นมากขึ้นในบทความ?

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามของคุณถูกต้องหรือไม่ แต่หากคุณต้องการพิสูจน์ว่า OLS สำหรับนั้นเป็นสีน้ำเงิน (ตัวประมาณค่าที่ไม่มีเส้นตรงที่ดีที่สุด) คุณต้องพิสูจน์สองสิ่งต่อไปนี้: อันดับแรกไม่มีอคติและที่สองที่มีขนาดเล็กที่สุดในบรรดาตัวประมาณที่ไม่มีอคติเชิงเส้นทั้งหมด$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

พิสูจน์ได้ว่าตัวประมาณค่า OLS ไม่มีอคติสามารถดูได้ที่นี่http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

และพิสูจน์ได้ว่ามีขนาดเล็กที่สุดในบรรดาตัวประมาณค่าแบบไม่เชิงเส้นทั้งหมดสามารถดูได้ที่นี่http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

ดูเหมือนลางสังหรณ์ของฉันถูกต้องแน่นอนได้รับการยืนยันเช่นในหน้า 375 ของหนังสือเล่มนี้ เบื้องต้นเศรษฐ ข้อความที่ตัดตอนมาที่เกี่ยวข้อง: