วิธีการเปรียบเทียบการอยู่รอดเฉลี่ยระหว่างกลุ่ม?

12

ฉันกำลังดูความอยู่รอดของคนไข้โดยใช้ Kaplan-Meier ในรัฐต่าง ๆ สำหรับโรคมะเร็ง มีความแตกต่างค่อนข้างมากระหว่างรัฐ ฉันจะเปรียบเทียบความอยู่รอดของค่ามัธยฐานระหว่างรัฐทั้งหมดและตัดสินว่ารัฐใดมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากค่าเฉลี่ยการอยู่รอดเฉลี่ยทั่วประเทศ?

multiple-comparisons survival

— Misha
แหล่งที่มา

คุณช่วยกรุณาบอกบางอย่างเกี่ยวกับขนาดตัวอย่างกรอบเวลาการอยู่รอด% ฯลฯ เพื่อให้เราได้แนวคิดการออกแบบการเรียนที่ดีขึ้นของคุณหรือไม่

— chl

มีการตรวจสอบค่าในข้อมูล - นอกเหนือจากค่าที่ใหญ่ที่สุด?

— ronaf

มีค่าการเซ็นเซอร์ที่แน่นอนในข้อมูลและประชากรทั้งหมดประมาณ 1500, การอยู่รอดโดยรวมเฉลี่ยอยู่ที่ 18 เดือน (ช่วง 300-600 วัน) ... กรอบเวลาคือรอบระยะเวลา 2000-2007

— Misha

6

สิ่งหนึ่งที่ต้องเก็บไว้ในใจกับเส้นโค้งการอยู่รอดของ Kaplan-Meier ก็คือว่ามันเป็นพื้นพรรณนาและไม่เชิงอนุมาน มันเป็นเพียงฟังก์ชั่นของข้อมูลที่มีรูปแบบที่ยืดหยุ่นอย่างไม่น่าเชื่อที่อยู่ด้านหลัง นี่คือจุดแข็งเพราะสิ่งนี้หมายความว่าแทบจะไม่มีข้อสันนิษฐานใด ๆ ที่อาจแตกหัก แต่จุดอ่อนเพราะมันยากที่จะพูดคุยและมันเหมาะกับ "เสียง" และ "สัญญาณ" หากคุณต้องการทำการอนุมานคุณจะต้องแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักที่คุณอยากรู้

ตอนนี้วิธีหนึ่งในการเปรียบเทียบเวลาเฉลี่ยของการเอาตัวรอดคือการทำสมมติฐานต่อไปนี้:

ฉันมีการประมาณการของเวลาการอยู่รอดเฉลี่ยสำหรับแต่ละรัฐกำหนดโดยเส้นโค้ง Kaplan Meier $t_{i}$ $i$
ฉันคาดว่าเวลาเฉลี่ยของการอยู่รอดที่แท้จริงจะเท่ากับค่าประมาณนี้ $T_{i}$ $E(T_{i}|t_{i})=t_{i}$
ฉันมั่นใจ 100% ว่าเวลาการอยู่รอดที่แท้จริงเป็นค่าบวก $Pr(T_{i}>0)=1$

ทีนี้วิธีที่ "อนุรักษ์นิยมที่สุด" ในการใช้สมมติฐานเหล่านี้คือหลักการของเอนโทรปีสูงสุดดังนั้นคุณจะได้รับ:

p (T_{i} | t_{i}) = K e x p (- λ T_{i})

$p(T_{i}|t_{i})= K exp(-\lambda T_{i})$

ที่ไหนและได้รับการแต่งตั้งดังกล่าวว่ารูปแบบไฟล์ PDF ให้เป็นมาตรฐานและความคุ้มค่าที่คาดว่าจะเป็น{i} ตอนนี้เรามี: $K$ $\lambda$ $t_{i}$

1 = \int_{0}^{\infty} p (T_{i} | t_{i}) d T_{i} = K \int_{0}^{\infty} e x p (- λ T_{i}) d T_{i}

$1=\int_{0}^{\infty}p(T_{i}|t_{i})dT_{i} =K \int_{0}^{\infty}exp(-\lambda T_{i})dT_{i}$

= K {[- \frac{e x p (- λ T_{i})}{λ}]}_{T_{i} = 0}^{T_{i} = \infty} = \frac{K}{λ} ⟹ K = λ

$=K \left[-\frac{exp(-\lambda T_{i})}{\lambda}\right]_{T_{i}=0}^{T_{i}=\infty}=\frac{K}{\lambda}\implies K=\lambda$ และตอนนี้เรามี

E (T_{i}) = \frac{1}{λ} ⟹ λ = t_{i}^{- 1}

$E(T_{i})=\frac{1}{\lambda}\implies \lambda=t_{i}^{-1}$

คุณมีชุดของการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละรัฐ

p (T_{i} | t_{i}) = \frac{1}{t_{i}} e x p (- \frac{T_{i}}{t_{i}}) (i = 1, \dots, N)

$p(T_{i}|t_{i})= \frac{1}{t_{i}} exp\left(-\frac{T_{i}}{t_{i}}\right)\;\;\;\;\;(i=1,\dots,N)$

ซึ่งให้การกระจายความน่าจะเป็นร่วมของ:

p (T_{1}, T_{2}, \dots, T_{N} | t_{1}, t_{2}, \dots, t_{N}) = \prod_{i = 1}^{N} \frac{1}{t_{i}} e x p (- \frac{T_{i}}{t_{i}})

$p(T_{1},T_{2},\dots,T_{N}|t_{1},t_{2},\dots,t_{N})= \prod_{i=1}^{N}\frac{1}{t_{i}} exp\left(-\frac{T_{i}}{t_{i}}\right)$

ตอนนี้ดูเหมือนว่าคุณต้องการทดสอบสมมติฐานโดยที่เป็นเวลาเฉลี่ยของการรอดชีวิตเฉลี่ย สมมติฐานทางเลือกที่รุนแรงในการทดสอบคือ "ทุกรัฐเป็นเกล็ดหิมะที่มีเอกลักษณ์และสวยงาม"เพราะนี่คือ ทางเลือกที่เป็นไปได้มากที่สุดและแสดงถึงข้อมูลที่หายไปในการย้ายไปสู่สมมติฐานที่ง่ายกว่า (การทดสอบ "minimax") การวัดหลักฐานเทียบกับสมมติฐานที่ง่ายกว่านั้นกำหนดโดยอัตราต่อรอง: $H_{0}:T_{1}=T_{2}=\dots=T_{N}=\overline{t}$ $\overline{t}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{i}$ $H_{A}:T_{1}=t_{1},\dots,T_{N}=t_{N}$

O (H_{A} | H_{0}) = \frac{p (T_{1} = t_{1}, T_{2} = t_{2}, \dots, T_{N} = t_{N} | t_{1}, t_{2}, \dots, t_{N})}{p (T_{1} = \bar{t}, T_{2} = \bar{t}, \dots, T_{N} = \bar{t} | t_{1}, t_{2}, \dots, t_{N})}

$O(H_{A}|H_{0})=\frac{p(T_{1}=t_{1},T_{2}=t_{2},\dots,T_{N}=t_{N}|t_{1},t_{2},\dots,t_{N})}{ p(T_{1}=\overline{t},T_{2}=\overline{t},\dots,T_{N}=\overline{t}|t_{1},t_{2},\dots,t_{N})}$

= \frac{[\prod_{i = 1}^{N} \frac{1}{t_{i}}] e x p (- \sum_{i = 1}^{N} \frac{t_{i}}{t_{i}})}{[\prod_{i = 1}^{N} \frac{1}{t_{i}}] e x p (- \sum_{i = 1}^{N} \frac{\bar{t}}{t_{i}})} = e x p (N [\frac{\bar{t}}{t_{h a r m}} - 1])

$=\frac{ \left[\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{t_{i}}\right] exp\left(-\sum_{i=1}^{N}\frac{t_{i}}{t_{i}}\right) }{ \left[\prod_{i=1}^{N}\frac{1}{t_{i}}\right] exp\left(-\sum_{i=1}^{N}\frac{\overline{t}}{t_{i}}\right) } =exp\left(N\left[\frac{\overline{t}}{t_{harm}}-1\right]\right)$

ที่ไหน

t_{h a r m} = {[\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} t_{i}^{- 1}]}^{- 1} \leq \bar{t}

$t_{harm}=\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{i}^{-1}\right]^{-1}\leq \overline{t}$

คือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก โปรดทราบว่าอัตราต่อรองจะเหมาะอย่างสมบูรณ์แบบเสมอ แต่ไม่มากถ้าเวลาอยู่รอดเฉลี่ยอยู่ใกล้พอสมควร นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณสามารถระบุหลักฐานของการทดสอบสมมติฐานนี้โดยเฉพาะ:

สมมติฐานที่ 1-3 ให้อัตราต่อรองสูงสุดของ เทียบกับค่ามัธยฐานการมีชีวิตอยู่รอดที่เท่าเทียมกันในทุกรัฐ $O(H_{A}|H_{0}):1$

รวมสิ่งนี้เข้ากับกฏการตัดสินใจ, ฟังก์ชั่นการสูญเสีย, ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ ฯลฯ ซึ่งบอกว่ามันมีประโยชน์อย่างไรที่จะยอมรับสมมติฐานที่ง่ายกว่าและคุณจะได้ข้อสรุป!

ไม่มีการ จำกัด จำนวนของสมมติฐานที่คุณสามารถทดสอบได้และให้อัตราต่อรองที่คล้ายกัน เพียงแค่เปลี่ยนเพื่อระบุชุดที่เป็นไปได้ "ค่าจริง" ที่เป็นไปได้ คุณสามารถทำ "การทดสอบนัยสำคัญ" โดยเลือกสมมติฐานดังนี้: $H_{0}$

H_{S, i} : T_{i} = t_{i}, T_{j} = T = {\bar{t}}_{(i)} = \frac{1}{N - 1} \sum_{j \neq i} t_{j}

$H_{S,i}:T_{i}=t_{i},T_{j}=T=\overline{t}_{(i)}=\frac{1}{N-1}\sum_{j\neq i}t_{j}$

ดังนั้นสมมติฐานนี้จึงเป็นคำพูด "รัฐมีอัตราการรอดชีวิตเฉลี่ยที่แตกต่างกัน แต่รัฐอื่น ๆ ทั้งหมดเหมือนกัน" จากนั้นทำการคำนวณอัตราต่อรองที่ฉันทำไว้อีกครั้ง แม้ว่าคุณควรระมัดระวังเกี่ยวกับสมมติฐานทางเลือกคืออะไร สำหรับข้อใดข้อหนึ่งด้านล่างนี้ "สมเหตุสมผล" ในแง่ที่ว่าพวกเขาอาจเป็นคำถามที่คุณสนใจที่จะตอบ (และโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะมีคำตอบที่แตกต่างกัน) $i$

ฉันที่กำหนดไว้ข้างต้น - วิธีการที่เลวร้ายมากจะเมื่อเทียบกับแบบที่สมบูรณ์แบบ? $H_{A}$ $H_{S,i}$
ฉันกำหนดไว้ด้านบน - วิธีที่ดีมากที่จะเมื่อเทียบกับแบบเฉลี่ย? $H_{0}$ $H_{S,i}$
ต่างกัน- รัฐ "แตกต่างกันมาก" เมื่อเทียบกับ state ? $H_{S,k}$ $k$ $i$

ทีนี้สิ่งหนึ่งที่มองข้ามนี่คือความสัมพันธ์ระหว่างรัฐ - โครงสร้างนี้สันนิษฐานว่าการรู้อัตราการรอดชีวิตเฉลี่ยในรัฐหนึ่งจะไม่บอกอะไรคุณเกี่ยวกับอัตราการรอดชีวิตเฉลี่ยในอีกรัฐหนึ่ง แม้ว่าสิ่งนี้อาจดูเหมือน "ไม่ดี" แต่ก็ไม่ยากที่จะปรับปรุงและการคำนวณข้างต้นเป็นผลลัพธ์เริ่มต้นที่ดีซึ่งง่ายต่อการคำนวณ

การเพิ่มการเชื่อมต่อระหว่างรัฐจะเปลี่ยนโมเดลความน่าจะเป็นและคุณจะเห็น "การรวม" บางอย่างของเวลาการอยู่รอดเฉลี่ย วิธีหนึ่งที่จะรวมความสัมพันธ์เข้ากับการวิเคราะห์คือการแยกเวลาการเอาชีวิตรอดที่แท้จริงออกเป็นสองส่วนคือ "ส่วนทั่วไป" หรือ "แนวโน้ม" และ "ส่วนบุคคล":

T_{i} = T + U_{i}

$T_{i}=T+U_{i}$

จากนั้น จำกัด แต่ละส่วนให้มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์เหนือหน่วยทั้งหมดและความแปรปรวนที่ไม่รู้จักที่จะรวมเข้าด้วยกันโดยใช้ก่อนอธิบายความรู้ที่คุณมีของความแปรปรวนของแต่ละบุคคลก่อนที่จะสังเกตข้อมูล (หรือ jeffreys ก่อนถ้าคุณ ไม่ต้องรู้อะไรเลยและครึ่งนึงถ้า jeffreys ทำให้เกิดปัญหา) $U_{i}$ $\sigma$

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

(+1) น่าสนใจมาก โพสต์ของคุณทำให้ฉันใส่ความคิดเห็นในคำตอบของฉันด้วย

— GaBorgulya

บางทีฉันอาจจะพลาด แต่กำหนดไว้ที่ไหน?

M_{1}

$M_1$

— พระคาร์ดินัล

@cardinal ขอโทษด้วย - มันเป็นคำผิด จะถูกลบออก

— ความน่าจะเป็นทาง

ไม่จำเป็นต้องขอโทษ แค่ไม่แน่ใจว่าฉันได้ข้ามมันไปแล้วหรือไม่

— พระคาร์ดินัล

4

คิดว่าฉันเพิ่งเพิ่มหัวข้อนี้ที่คุณอาจสนใจในการถดถอยเชิงปริมาณด้วยการเซ็นเซอร์ Bottai & Zhang 2010เสนอ "Laplace ถดถอย" ที่สามารถทำเพียงแค่งานนี้คุณสามารถหารูปแบบไฟล์ PDF เกี่ยวกับเรื่องนี้ที่นี่ มีแพ็กเกจสำหรับ Stata สำหรับสิ่งนี้ แต่ยังไม่ได้รับการแปลเป็น R แม้ว่าแพ็คเกจ quantreg ใน R มีฟังก์ชั่นสำหรับการตรวจสอบการถดถอยแบบควอไทล์ crqซึ่งอาจเป็นตัวเลือก

ฉันคิดว่าวิธีการนี้น่าสนใจมากและอาจจะง่ายกว่าสำหรับผู้ป่วยที่มีอัตราส่วนอันตราย เช่นทราบว่า 50% ของยาเสพติดอยู่รอด 2 เดือนมากกว่ายาที่ไม่ใช้ยาและผลข้างเคียงทำให้คุณต้องอยู่ที่โรงพยาบาล 1-2 เดือนอาจทำให้การเลือกการรักษาง่ายขึ้นมาก

— แม็กซ์กอร์ดอน
แหล่งที่มา

ฉันไม่รู้ "Laplace Regression" แต่เกี่ยวกับย่อหน้าที่ 2 ของคุณฉันสงสัยว่าฉันเข้าใจถูกต้องหรือไม่ โดยปกติแล้วในการวิเคราะห์การเอาชีวิตรอด (คิดในแง่ของเวลาที่ล้มเหลวเร่ง) เราจะพูดบางอย่างเช่น 'เปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 สำหรับกลุ่มยาเสพติดมา 2 เดือนหลังจากนั้น 50% สำหรับกลุ่มควบคุม นั่นคือสิ่งที่คุณหมายถึงหรือเอาท์พุทของ LR จ่ายการตีความที่แตกต่างกัน?

— gung - Reinstate Monica

@gung: ฉันคิดว่าคุณถูกต้องในการตีความของคุณ - เปลี่ยนข้อความได้ดีขึ้น? ฉันไม่ได้ใช้แบบจำลองการถดถอยด้วยตัวเองแม้ว่าฉันจะได้พบพวกเขาในหลักสูตรเมื่อเร็ว ๆ นี้ Tt เป็นทางเลือกที่น่าสนใจสำหรับโมเดล Cox ทั่วไปที่ฉันใช้บ่อยมาก แม้ว่าฉันอาจต้องใช้เวลาย่อยความคิดที่ฉันรู้สึกว่ามันอาจจะง่ายขึ้นสำหรับฉันที่จะอธิบายให้ผู้ป่วยของฉันเพราะฉันมักจะใช้เส้นโค้ง KM เมื่ออธิบายกับผู้ป่วยของฉัน ฝ่ายทรัพยากรบุคคลต้องการให้คุณเข้าใจความแตกต่างระหว่างความเสี่ยงและความเสี่ยงที่แน่นอน - แนวคิดที่อาจต้องใช้เวลาในการอธิบาย ...

— Max Gordon

econ.uiuc.edu/~roger/research/crq/note.pdf

— Misha

ขอบคุณ @Misha สำหรับลิงค์ ผู้เขียนมีการตอบกลับที่นี่: onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/bimj.201100103/abstract

— Max Gordon

3

ก่อนอื่นฉันจะเห็นภาพข้อมูล: คำนวณช่วงความเชื่อมั่นและข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับผู้รอดชีวิตเฉลี่ยในแต่ละรัฐและแสดง CIs บนผืนป่าป่าไม้ค่ามัธยฐานและ SE ของพวกเขาโดยใช้ช่องทาง

“ ค่าเฉลี่ยมัธยฐานการมีชีวิตอยู่ทั่วประเทศ” เป็นปริมาณที่ประเมินจากข้อมูลจึงมีความไม่แน่นอนดังนั้นคุณไม่สามารถใช้มันเป็นค่าอ้างอิงที่คมชัดในระหว่างการทดสอบที่สำคัญ ปัญหาอื่น ๆ เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของวิธีการทั้งหมดคือเมื่อคุณเปรียบเทียบค่ามัธยฐานของรัฐกับมันคุณกำลังเปรียบเทียบค่ามัธยฐานกับปริมาณที่รวมปริมาณนั้นเป็นส่วนประกอบอยู่แล้ว ดังนั้นจึงเป็นการง่ายกว่าที่จะเปรียบเทียบแต่ละรัฐกับรัฐอื่น ๆทั้งหมดรวมกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยการทดสอบการจัดอันดับบันทึก (หรือทางเลือก) สำหรับแต่ละรัฐ
(แก้ไขหลังจากอ่านคำตอบของความน่าจะเป็นเชิงตรรกะ: การทดสอบระดับล็อกจะเปรียบเทียบการเอาตัวรอดในกลุ่มสองกลุ่ม (หรือมากกว่า) แต่ก็ไม่ได้เป็นค่ามัธยฐานที่เปรียบเทียบโดยเด็ดขาดหากคุณแน่ใจว่าเป็นค่ามัธยฐานที่คุณต้องการเปรียบเทียบ คุณอาจพึ่งพาสมการของเขาหรือใช้การสุ่มใหม่ที่นี่เช่นกัน)

คุณระบุคำถามของคุณ [เปรียบเทียบหลายรายการ] ดังนั้นฉันจึงคิดว่าคุณต้องการที่จะปรับ (เพิ่ม) ค่า p ของคุณด้วยวิธีที่ถ้าคุณเห็นค่า p ที่ปรับอย่างน้อยหนึ่งค่าน้อยกว่า 5% คุณสามารถสรุปได้ว่า ไม่เท่ากัน” ที่ระดับนัยสำคัญ 5% คุณอาจใช้วิธีทั่วไปและอนุรักษ์นิยมมากเกินไปเช่น Bonferroni แต่รูปแบบการแก้ไขที่ดีที่สุดจะนำความสัมพันธ์ของค่า p มาพิจารณาด้วย ฉันคิดว่าคุณไม่ต้องการที่จะสร้างความรู้เบื้องต้นในรูปแบบการแก้ไขดังนั้นฉันจะหารือเกี่ยวกับรูปแบบที่การปรับจะถูกคูณค่า p แต่ละค่าด้วยค่าคงตัว C เดียวกัน

เนื่องจากฉันไม่รู้ว่าจะได้รับสูตรอย่างไรเพื่อให้ได้ตัวคูณ C ที่ดีที่สุดฉันจะใช้การสุ่มใหม่ ภายใต้สมมติฐานว่างว่าลักษณะการเอาชีวิตรอดนั้นเหมือนกันในทุกรัฐดังนั้นคุณสามารถเปลี่ยนสถานะฉลากของกรณีมะเร็งและคำนวณค่ามัธยฐาน หลังจากได้รับเวกเตอร์ resampled จำนวนมากของค่าสถานะ p ฉันจะหาตัวเลขตัวคูณ C ด้านล่างซึ่งน้อยกว่า 95% ของเวกเตอร์รวมถึงไม่มีค่า p ที่สำคัญและสูงกว่าซึ่งมากกว่า 95% ในขณะที่ช่วงดูกว้างฉันจะเพิ่มจำนวนชิ้นตัวอย่างซ้ำตามลำดับความสำคัญ

— GaBorgulya
แหล่งที่มา

คำแนะนำที่ดีเกี่ยวกับการแสดงข้อมูล (+1)

— ความน่าจะเป็นทาง

@probabilityislogic ขอบคุณ! ฉันยินดีต้อนรับการวิจารณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าสร้างสรรค์

— GaBorgulya

คำวิจารณ์เดียวที่ฉันมีคือการใช้ค่า p แต่นี่เป็น "ชิปบนไหล่ของฉัน" มากกว่าคำตอบของคุณ - ดูเหมือนว่าคุณจะใช้ค่า p แล้วสิ่งที่คุณแนะนำนั้นดี ฉันไม่คิดว่าการใช้ค่า p เป็นสิ่งที่ดี ดูที่นี่สำหรับการแลกเปลี่ยนกับ @eduardo ในความคิดเห็นเกี่ยวกับค่า p

— ความน่าจะเป็นทาง