หาก A และ B สัมพันธ์กับ C เหตุใด A และ B จึงไม่สัมพันธ์กัน?

ฉันรู้ด้วยสังเกตุว่าเป็นอย่างนั้น ฉันเพิ่งพัฒนาแบบจำลองที่ใช้กับปริศนานี้ ฉันยังสงสัยด้วยว่าไม่จำเป็นต้องตอบใช่หรือไม่ใช่ ฉันหมายความว่าถ้าทั้ง A และ B มีความสัมพันธ์กับ C นี่อาจมีความหมายบางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่าง A และ B แต่ความหมายนี้อาจอ่อนแอ มันอาจเป็นเพียงทิศทางของการเข้าสู่ระบบและไม่มีอะไรอื่น

นี่คือสิ่งที่ฉันหมายถึง ... สมมุติว่า A และ B ทั้งสองมีความสัมพันธ์กับ C 0.5 โดยที่ความสัมพันธ์ระหว่าง A และ B อาจเป็น 1.0 ฉันคิดว่ามันอาจจะ 0.5 หรือต่ำกว่า แต่ฉันคิดว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ที่จะเป็นลบ คุณเห็นด้วยไหม

นอกจากนี้ยังมีนัยถ้าคุณกำลังพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สันหรือแทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สเปียร์แมน (อันดับ)? การสังเกตเชิงประจักษ์ล่าสุดของฉันเกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สเปียร์แมน

เนื่องจากสหสัมพันธ์เป็นสมบัติทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงหลายตัวแปรความเข้าใจบางอย่างสามารถมีได้อย่างหมดจดผ่านการคำนวณโดยไม่คำนึงถึงการกำเนิดทางสถิติของการแจกแจงเหล่านั้น

สำหรับความสัมพันธ์เพียร์สันพิจารณาตัวแปร multinormal , , Zสิ่งเหล่านี้มีประโยชน์ในการทำงานกับเพราะเมทริกซ์แน่นอนที่ไม่เป็นลบใด ๆ ที่จริงแล้วคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการแจกแจงแบบพหุคูณ ถ้าเรายึดเมทริกซ์ด้วยบนเส้นทแยงมุมค่าความแปรปรวนร่วมนอกของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะเป็นสหสัมพันธ์ของพวกมัน เขียนความสัมพันธ์ของและเป็น , ความสัมพันธ์ของและเป็นและความสัมพันธ์ของและเป็นY Z 1 X Y ρ Y Z τ X Z $X$$Y$$Z$$1$$X$$Y$$\rho$$Y$$Z$$\tau$$X$$Z$$\sigma$เราคำนวณสิ่งนั้น

• $1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$ (เพราะนี่คือตัวกำหนดของเมทริกซ์สหสัมพันธ์และไม่สามารถลบได้)

• เมื่อนี้หมายความว่า1 พูดอีกอย่างคือ: เมื่อทั้งและมีขนาดใหญ่และจะต้องมีความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ρ 2 + τ 2 ≤ 1 ρ τ X $\sigma = 0$$\rho^2 + \tau^2 \le 1$$\rho$$\tau$$X$$Z$

• ถ้าว่าเป็นค่าที่ไม่เป็นลบของ (ระหว่างถึงแน่นอน) เป็นไปได้σ 0 $\rho^2 = \tau^2 = 1/2$$\sigma$$0$$1$

• เมื่ออนุญาตให้ลบค่าของได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อ ,สามารถเป็นที่ใดก็ได้ระหว่างและ1σ ρ = τ = 1 / 2 σ - 1 / 2 $\rho^2 + \tau^2 \lt 1$$\sigma$$\rho = \tau = 1/2$$\sigma$$-1/2$$1$

การพิจารณาเหล่านี้บ่งบอกว่ามีข้อ จำกัด บางอย่างเกี่ยวกับสหสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน ข้อ จำกัด (ซึ่งขึ้นอยู่กับความไม่แน่นอนเชิงลบของเมทริกซ์สหสัมพันธ์, ไม่ใช่การแจกแจงที่แท้จริงของตัวแปร) สามารถทำให้รัดกุมขึ้นอยู่กับสมมติฐานเกี่ยวกับการแจกแจง univariate ตัวอย่างเช่นเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็น (และพิสูจน์) ว่าเมื่อการแจกแจงของและไม่ได้อยู่ในครอบครัวระดับตำแหน่งเดียวกันความสัมพันธ์ของพวกเขาจะต้องน้อยกว่าในขนาดอย่างเคร่งครัด (หลักฐาน: ความสัมพันธ์ของหมายถึงและสัมพันธ์กันเป็นเส้นตรง)Y 1 ± 1 X $X$$Y$$1$$\pm 1$$X$$Y$

เท่าที่Spearman สัมพันธ์ยศไปพิจารณาสามข้อสังเกต trivariate ,และของZ) ความสัมพันธ์อันดับร่วมกันของพวกเขาเป็น ,และ-1/2ดังนั้นแม้แต่เครื่องหมายของสหสัมพันธ์อันดับของและก็สามารถย้อนกลับของสัญญาณของสหสัมพันธ์ของและและและได้( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 2 , 3 ) ( X , Y , Z ) 1 / 2 1 / 2 - 1 /$(1,1,2)$$(2,3,1)$$(3,2,3)$$(X, Y, Z)$$1/2$$1/2$$-1/2$Z X Y X $Y$$Z$$X$$Y$$X$$Z$

ตอนนี้ฉันกำลังออกทริปตกปลา มีความสัมพันธ์ระหว่างช่วงเวลาของวันที่ฉันจับปลากับปริมาณของปลาที่ฉันจับได้ นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของเหยื่อที่ฉันใช้และปริมาณปลาที่ฉันจับ ไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างขนาดของเหยื่อและเวลาของวัน

ความสัมพันธ์คือโคไซน์ของมุมระหว่างสองเวกเตอร์ ในสถานการณ์ที่อธิบายไว้ (A, B, C) เป็นการสังเกตสามครั้งทำ n ครั้งแต่ละการสังเกตเป็นจำนวนจริง ความสัมพันธ์ระหว่าง A และ B คือโคไซน์ของมุมระหว่างและตามที่วัดในปริภูมิแบบยุคลิดแบบยู - มิติ ดังนั้นสถานการณ์ของเราลดลงเมื่อพิจารณาเวกเตอร์ 3 ตัว ,และในปริภูมิมิติ เรามีเวกเตอร์ 3 คู่ดังนั้น 3 มุม หากมุมทั้งสองมีขนาดเล็ก (สหสัมพันธ์สูง) มุมที่สามก็จะเล็กเช่นกัน แต่การที่จะบอกว่า "มีความสัมพันธ์" นั้นไม่มีข้อ จำกัด มากนัก: หมายความว่ามุมอยู่ระหว่าง 0 ถึง$V_A=A-E(A)$$V_B=B-E(B)$$V_A$$V_B$$V_C$$\pi/2$. โดยทั่วไปสิ่งนี้ไม่ให้ข้อ จำกัด ใด ๆ ในมุมที่สาม วางไว้ในอีกทางหนึ่งเริ่มด้วยมุมใด ๆ ที่น้อยกว่าระหว่างและ (ความสัมพันธ์ใด ๆ ยกเว้น -1) ให้แบ่งครึ่งมุมระหว่างและV_Bจากนั้น C จะสัมพันธ์กับทั้ง A และ B$\pi$$V_A$$V_B$$V_C$$V_A$$V_B$

เป็นส่วนเสริมของคำตอบของ whuber: สูตรที่นำเสนอ

$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$0

สามารถเปลี่ยนเป็นความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ (Olkin, 1981):

$\sigma\tau - \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)} \le \rho \le \sigma\tau + \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)}$

การแสดงกราฟิกของขีด จำกัด บนและล่างของดูเหมือนว่า:$\rho$

Olkin, I. (1981) ข้อ จำกัด ช่วงสำหรับเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของโมเมนต์ผลิตภัณฑ์ Psychometrika, 46, 469-472 ดอย: 10.1007 / BF02293804

ฉันคิดว่าดีกว่าที่จะถามว่า "ทำไมพวกเขาควรมีความสัมพันธ์กัน" หรืออาจจะ "ทำไมจึงควรมีความสัมพันธ์เฉพาะใด ๆ ?"

รหัส R ต่อไปนี้แสดงกรณีที่ x1 และ x2 มีความสัมพันธ์กับ Y แต่มีความสัมพันธ์ 0 ซึ่งกันและกัน

x1 <- rnorm(100)
x2  <- rnorm(100)
y <- 3*x1 + 2*x2 + rnorm(100, 0, .3)

cor(x1,y)
cor(x2,y)
cor(x1,x2)

ความสัมพันธ์กับ Y สามารถทำให้แข็งแกร่งขึ้นได้โดยการลด. 3 เป็น. 1 หรืออะไรก็ตาม

ฉันจะปล่อยให้การสาธิตทางสถิติแก่ผู้ที่เหมาะสมกว่าสำหรับฉัน ... แต่โดยสังหรณ์กล่าวว่าเหตุการณ์ A สร้างกระบวนการ X ที่มีส่วนช่วยในการสร้างเหตุการณ์ C จากนั้น A จะสัมพันธ์กับ C (ผ่าน X) B ในทางกลับกันสร้าง Y ซึ่งมีรูปร่าง C ดังนั้น A จึงสัมพันธ์กับ C, B สัมพันธ์กับ C แต่ A และ B ไม่มีความสัมพันธ์กัน

สำหรับผู้ที่ต้องการสัญชาตญาณความสัมพันธ์สามารถถูกมองว่าเป็นโคไซน์ของบางมุม ลองพิจารณาเวกเตอร์สามตัวในแบบ 3 มิติสมมุติว่า A, B และ C ซึ่งแต่ละตัวมีความสัมพันธ์กัน คำถามคือการกำหนดช่วงของมุมที่เป็นไปได้ระหว่าง A และ C เมื่อทราบมุมระหว่าง A และ B รวมถึงมุมระหว่าง B และ C เพื่อให้คุณสามารถเล่นกับเครื่องมือออนไลน์โดยไม่ต้องติดตั้งซอฟต์แวร์ใด ๆ เพียงไปที่หน้าhttp://www.montefiore.ulg.ac.be/~pierard/chained_correlations.php

ให้ยกตัวอย่างหนึ่ง:

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}

B={x1,x2,x3,0,0,0,0,0,0}

C={0,0,0,x4,x5,x6,0,0,0}

สำหรับ x, A และ B จะมีความสัมพันธ์อย่างมีนัยสำคัญในทำนองเดียวกัน A และ C จะมีความสัมพันธ์อย่างมีนัยสำคัญ แต่ความสัมพันธ์ของ B และ C จะไม่สำคัญ

ดังนั้นจึงไม่จำเป็นว่าถ้า A และ B มีความสัมพันธ์และ A และ C นั้นสัมพันธ์กันดังนั้น B และ C ก็สัมพันธ์กันเช่นกัน

หมายเหตุ: เพื่อความเข้าใจอย่างลึกซึ้งโปรดคิดตัวอย่างนี้ในข้อมูลขนาดใหญ่