Neg Binomial และ Jeffreys 'ก่อนหน้า

ฉันพยายามรับ Jeffreys ก่อนเพื่อการกระจายแบบทวินามลบ ฉันไม่สามารถดูว่าฉันผิดไปไหนดังนั้นถ้ามีคนช่วยชี้ให้เห็นว่าจะได้รับการชื่นชม

เอาล่ะเพื่อให้สถานการณ์อย่างนี้ผมจะเปรียบเทียบการกระจายก่อนที่ได้รับใช้ทวินามและทวินามลบที่ (ในทั้งสองกรณี) มีการทดลองและประสบความสำเร็จ ฉันได้คำตอบที่ถูกสำหรับเคสทวินาม แต่ไม่ใช่สำหรับลบทวินาม $n$ $m$

ลองโทรฟรีย์ก่อนtheta) จากนั้น $\pi_J(\theta)$

π_{J} (θ) α [ผม (θ)]^{1 / 2} .

$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$

ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอ (ปฏิบัติตามที่เรากำลังเผชิญกับตระกูลเอ็กซ์โปเนนเชียล)

ผม (θ) = - E (\frac{\partial^{2} เข้าสู่ระบบ L (θ | x)}{\partial θ^{2}})

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$ โดยที่ลบทวินามคือ

ด้านบน expression (จำนวนความสำเร็จทั้งหมด

ได้รับการแก้ไขแล้ว

ไม่ใช่) การกระจายตัว - ฉันคิดว่า - คือ

n

$n$

x

$x$

m

$m$

n

$n$

พี (ม. | θ) α θ^{ม.} (1 - θ)^{n - ม.}

$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$ เนื่องจาก

θ

$\theta$ ถูกกำหนดให้เป็นความน่าจะเป็นของความสำเร็จและ

m

$m$ คือจำนวนความสำเร็จ นี่ก็เป็นโอกาสเช่นกันเนื่องจาก

m

$m$ เป็นสเกลาร์และไม่ใช่เวกเตอร์ ดังนั้น

L (θ | n) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m} \log L (θ | n) = m \log θ + (n - m) \log (1 - θ) \frac{\partial \log L (θ | n)}{\partial θ} = \frac{m}{θ} - \frac{n - ม.}{1 - θ} \frac{\partial^{2} เข้าสู่ระบบ L (θ | n)}{\partial θ^{2}} = - \frac{ม.}{θ^{2}} - \frac{n - ม.}{(1 - θ)^{2}}

$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$ ดังนั้นข้อมูล Fisher คือ

ผม (θ) = - E (\frac{\partial^{2} เข้าสู่ระบบ L (θ | n)}{\partial θ^{2}}) = \frac{ม.}{θ^{2}} + \frac{E (n) - ม.}{(1 - θ)^{2}} = \frac{ม.}{θ^{2}} + \frac{\frac{ม. θ}{1 - θ} - ม.}{(1 - θ)^{2}} = \frac{ม. (1 - θ)^{2} + \frac{ม. θ^{3}}{(1 - θ)} - ม. θ^{2}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{ม. (1 - 2 θ) + \frac{ม. θ^{3}}{(1 - θ)}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{ม. (1 - 2 θ) (1 - θ) + ม. θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} = \frac{ม. (1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3})}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} α \frac{1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}}

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ได้ให้คำตอบที่ถูกต้องกับฉัน คำตอบที่ถูกต้องคือ

π_{J} (θ) α \frac{1}{θ (1 - θ)^{1 / 2}}

$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$ ซึ่งหมายความว่าข้อมูลที่ฉันได้รับควรเป็น

ผม (θ) = \frac{1}{θ^{2} (1 - θ)}

$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$ เนื่องจากก่อนหน้านี้ควรเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของข้อมูล

ทุกคนสามารถพบข้อผิดพลาดใด ๆ ฉันจะไม่แปลกใจถ้าฉันทำบางสิ่งบางอย่างด้วยการตั้งค่าการกระจาย (ความสำเร็จเทียบกับความล้มเหลวกับความน่าจะเป็นของพวกเขา ฯลฯ )

ผมใช้ค่าที่คาดหวังจากวิกิพีเดียและฉันรู้ว่าคำตอบที่ถูกต้องจากที่นี่ (หน้า 3)

— hejseb
แหล่งที่มา

ปัญหาเกิดขึ้นเนื่องจากการแจกแจงทวินามแบบลบสามารถกำหนดได้แตกต่างกัน เป็นผลให้ความคาดหวังแตกต่างกันสำหรับสูตรที่แตกต่าง วิธีที่คุณระบุการแจกแจงทวินามลบ, ความคาดหวังของคือ (เช่นดูที่นี่ในหน้า 3) ข้อมูลฟิชเชอร์จะลดความซับซ้อนของ $n$ $E(n) = m/\theta$

ผม (θ) = ม. (\frac{1}{θ^{2} (1 - θ)})

$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$

ดังนั้นก่อนหน้าของ Jeffreys คือ

π_{J} (θ) = | ผม (θ) |^{1 / 2} α θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1 / 2}

$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$

ตามที่คุณบันทึกไว้แล้ว

— COOLSerdash
แหล่งที่มา

ยอดเยี่ยม! นั่นเป็นประโยชน์อย่างมากและเป็นข้อมูลอ้างอิงที่ยอดเยี่ยมเนื่องจากผ่านปัญหาที่ฉันต้องดิ้นรน ขอบคุณ!

— hejseb

ฉันได้พบวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้สูตรอื่นให้ดูที่นี่ ดีใจที่ฉันสามารถช่วย ไม่เป็นไร

— COOLSerdash