พิจารณาโมเดลเชิงเส้นอย่างง่าย:

$$\pmb{y}=X'\pmb{\beta}+\epsilon$$

ที่$\epsilon_i\sim\mathrm{i.i.d.}\;\mathcal{N}(0,\sigma^2)$และ $X\in\mathbb{R}^{n\times p}$ ,$p\geq2$และ$X$มีคอลัมน์ของค่าคงที่

คำถามของฉันคือให้$\mathrm{E}(X'X)$ , $\beta$และ$\sigma$มีสูตรสำหรับขอบเขตบนที่ไม่น่ารำคาญบน$\mathrm{E}(R^2)$ *? (สมมติว่าแบบจำลองนั้นประมาณโดย OLS)

* ฉันสันนิษฐานว่าเขียนสิ่งนี้เพื่อรับ$E(R^2)$นั้นเป็นไปไม่ได้

EDIT1

การใช้โซลูชันที่ได้รับจากStéphane Laurent (ดูด้านล่าง) เราจะได้ขอบเขตที่ไม่สำคัญบน$E(R^2)$) การจำลองเชิงตัวเลข (ด้านล่าง) แสดงว่าขอบเขตนี้แน่นจริง ๆ แล้ว

Stéphane Laurent ได้รับสิ่งต่อไปนี้: $R^2\sim\mathrm{B}(p-1,n-p,\lambda)$ โดยที่$\mathrm{B}(p-1,n-p,\lambda)$คือการแจกแจงเบต้าที่ไม่ได้อยู่ตรงกลางพร้อมพารามิเตอร์ non-centrality $\lambda$ด้วย

$$\lambda=\frac{||X'\beta-\mathrm{E}(X)'\beta1_n||^2}{\sigma^2}$$

ดังนั้น

$$\mathrm{E}(R^2)=\mathrm{E}\left(\frac{\chi^2_{p-1}(\lambda)}{\chi^2_{p-1}(\lambda)+\chi^2_{n-p}}\right)\geq\frac{\mathrm{E}\left(\chi^2_{p-1}(\lambda)\right)}{\mathrm{E}\left(\chi^2_{p-1}(\lambda)\right)+\mathrm{E}\left(\chi^2_{n-p}\right)}$$

โดยที่เป็น non-central χ 2 ที่มีพารามิเตอร์λและk degree of freedom ดังนั้นขอบเขตบนที่ไม่สำคัญสำหรับE ( R 2 )คือ$\chi^2_{k}(\lambda)$$\chi^2$$\lambda$$k$$\mathrm{E}(R^2)$

$$\frac{\lambda+p-1}{\lambda+n-1}$$

มันแน่นมาก (แน่นกว่าที่ฉันคาดไว้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้):

ตัวอย่างเช่นการใช้:

rho<-0.75
p<-10
n<-25*p
Su<-matrix(rho,p-1,p-1)
diag(Su)<-1
su<-1
set.seed(123)
bet<-runif(p)

ค่าเฉลี่ยของมากกว่า 1000 แบบจำลองเป็น ทฤษฎีที่ถูกผูกไว้บนข้างต้นจะช่วยให้ ผูกพันดูเหมือนว่าจะมีความแม่นยำพอ ๆ กันในหลายค่าR 2 น่าประหลาดใจอย่างแท้จริง!$R^2$0.9608190.9609081$R^2$

EDIT2:

หลังจากการวิจัยต่อไปก็ปรากฏว่าคุณภาพของการประมาณขอบเขตบนกับจะได้รับดีขึ้นเป็นλ + พีเพิ่มขึ้น (และทุกคนเท่ากันλเพิ่มขึ้นกับn )$E(R^2)$$\lambda+p$$\lambda$$n$

Any linear model can be written $\boxed{Y=\mu+\sigma G}$ where $G$ has the standard normal distribution on $\mathbb{R}^n$ and $\mu$ is assumed to belong to a linear subspace $W$ of $\mathbb{R}^n$. In your case $W=\text{Im}(X)$.

Let $[1] \subset W$ be the one-dimensional linear subspace generated by the vector $(1,1,\ldots,1)$. Taking $U=[1]$ below, the $R^2$ is highly related to the classical Fisher statistic

$$F = \frac{{\Vert P_Z Y\Vert}^2/(m-\ell)}{{\Vert P_W^\perp Y\Vert}^2/(n-m)},$$ for the hypothesis test of $H_0\colon\{\mu \in U\}$ where $U\subset W$ is a linear subspace, and denoting by $Z=U^\perp \cap W$ the orthogonal complement of $U$ in $W$, and denoting $m=\dim(W)$ and $\ell=\dim(U)$ (then $m=p$ and $\ell=1$ in your situation).

Indeed,

$$\dfrac{{\Vert P_Z Y\Vert}^2}{{\Vert P_W^\perp Y\Vert}^2} = \frac{R^2}{1-R^2}$$ because the definition of $R^2$ is $$R^2 = \frac{{\Vert P_Z Y\Vert}^2}{{\Vert P_U^\perp Y\Vert}^2}=1 - \frac{{\Vert P^\perp_W Y\Vert}^2}{{\Vert P_U^\perp Y\Vert}^2}.$$

Obviously $\boxed{P_Z Y = P_Z \mu + \sigma P_Z G}$ and $\boxed{P_W^\perp Y = \sigma P_W^\perp G}$.

When $H_0\colon\{\mu \in U\}$ is true then $P_Z \mu = 0$ and therefore

$$F = \frac{{\Vert P_Z G\Vert}^2/(m-\ell)}{{\Vert P_W^\perp G\Vert}^2/(n-m)} \sim F_{m-\ell,n-m}$$ has the Fisher $F_{m-\ell,n-m}$ distribution. Consequently, from the classical relation between the Fisher distribution and the Beta distribution, $R^2 \sim {\cal B}(m-\ell, n-m)$.

In the general situation we have to deal with $P_Z Y = P_Z \mu + \sigma P_Z G$ when $P_Z\mu \neq 0$. In this general case one has ${\Vert P_Z Y\Vert}^2 \sim \sigma^2\chi^2_{m-\ell}(\lambda)$, the noncentral $\chi^2$ distribution with $m-\ell$ degrees of freedom and noncentrality parameter $\boxed{\lambda=\frac{{\Vert P_Z \mu\Vert}^2}{\sigma^2}}$, and then $\boxed{F \sim F_{m-\ell,n-m}(\lambda)}$ (noncentral Fisher distribution). This is the classical result used to compute power of $F$-tests.

The classical relation between the Fisher distribution and the Beta distribution hold in the noncentral situation too. Finally $R^2$ has the noncentral beta distribution with "shape parameters" $m-\ell$ and $n-m$ and noncentrality parameter $\lambda$. I think the moments are available in the literature but they possibly are highly complicated.

Finally let us write down $P_Z\mu$. Note that $P_Z = P_W - P_U$. One has $P_U \mu = \bar\mu 1$ when $U=[1]$, and $P_W \mu = \mu$. Hence $P_Z \mu =\mu - \bar\mu 1$ where here $\mu=X\beta$ for the unknown parameters vector $\beta$.