การประมาณ

ฉันมีแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งมีดังต่อไปนี้

ดังนั้นทฤษฎีบอกว่ามี , x 2และx 3ปัจจัยในการประมาณการปี$x_1$$x_2$$x_3$$y$

ตอนนี้ผมมีข้อมูลจริงและฉันต้องการที่จะประเมิน , ข2 , B 3 ปัญหาคือชุดข้อมูลจริงมีเพียงข้อมูลสำหรับx 1และx 2เท่านั้น มีข้อมูลสำหรับการไม่มีx 3 ดังนั้นแบบจำลองที่ฉันสามารถใส่ได้คือ:$b_1$$b_2$$b_3$$x_1$$x_2$$x_3$

• มันโอเคที่จะประเมินโมเดลนี้หรือไม่?
• ฉันจะสูญเสียสิ่งที่ประเมินหรือไม่
• ถ้าฉันประมาณ , b 2แล้วเทอมb 3 x 3จะไปที่ไหน$b_1$$b_2$$b_3x_3$
• มันคิดโดยระยะผิดพลาด ?$u$

และเราต้องการที่จะคิดว่าไม่ได้มีความสัมพันธ์กับx 1และx 2$x_3$$x_1$$x_2$

ปัญหาที่คุณจำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับการที่เรียกว่าendogeneity โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันขึ้นอยู่กับว่ามีความสัมพันธ์ในประชากรที่มีx 1หรือx 2 หากเป็นเช่นนั้นค่าb j s ที่เกี่ยวข้องจะมีอคติ นั่นเป็นเพราะOLSวิธีการถดถอยบังคับคลาดเคลื่อน, U ฉันจะ uncorrelated กับตัวแปรของคุณx J s แต่ที่เหลือของคุณจะประกอบด้วยบางสุ่มลดลง, ε ฉัน , และสังเกต ( แต่ที่เกี่ยวข้อง) ตัวแปรx 3ซึ่งโดยข้อตกลง$x_3$$x_1$$x_2$$b_j$$u_i$$x_j$$\varepsilon_i$$x_3$คือมีความสัมพันธ์กับและ / หรือx 2 ในทางกลับกันถ้าทั้งx 1และx 2ไม่มีความสัมพันธ์กับx 3ในประชากรbของพวกเขาจะไม่ลำเอียงจากสิ่งนี้ วิธีการหนึ่งที่ econometricians พยายามที่จะจัดการกับปัญหานี้คือการใช้ตัวแปร $x_1$$x_2$ $x_1$$x_2$$x_3$$b$

เพื่อประโยชน์ของความชัดเจนมากขึ้นผมได้เขียนจำลองรวดเร็วในการวิจัยที่แสดงให้เห็นถึงการกระจายตัวอย่างของเป็นกลาง / ศูนย์กลางในมูลค่าที่แท้จริงของβ 2เมื่อมันเป็น uncorrelated กับx 3 ในระยะที่สองอย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าx 3เป็น uncorrelated กับx 1แต่ไม่ได้x 2 ไม่บังเอิญb 1ไม่มีอคติ แต่b 2นั้นมีอคติ $b_2$$\beta_2$$x_3$$x_3$$x_1$$x_2$$b_1$$b_2$

library(MASS)                          # you'll need this package below
N     = 100                            # this is how much data we'll use
beta0 = -71                            # these are the true values of the
beta1 = .84                            # parameters
beta2 = .64
beta3 = .34

############## uncorrelated version

b0VectU = vector(length=10000)         # these will store the parameter
b1VectU = vector(length=10000)         # estimates
b2VectU = vector(length=10000)
set.seed(7508)                         # this makes the simulation reproducible

for(i in 1:10000){                     # we'll do this 10k times
  x1 = rnorm(N)
  x2 = rnorm(N)                        # these variables are uncorrelated
  x3 = rnorm(N)
  y  = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + beta3*x3 + rnorm(100)
  mod = lm(y~x1+x2)                    # note all 3 variables are relevant
                                       # but the model omits x3
  b0VectU[i] = coef(mod)[1]            # here I'm storing the estimates
  b1VectU[i] = coef(mod)[2]
  b2VectU[i] = coef(mod)[3]
}
mean(b0VectU)  # [1] -71.00005         # all 3 of these are centered on the
mean(b1VectU)  # [1] 0.8399306         # the true values / are unbiased
mean(b2VectU)  # [1] 0.6398391         # e.g., .64 = .64

############## correlated version

r23 = .7                               # this will be the correlation in the
b0VectC = vector(length=10000)         # population between x2 & x3
b1VectC = vector(length=10000)
b2VectC = vector(length=10000)
set.seed(2734)

for(i in 1:10000){
  x1 = rnorm(N)
  X  = mvrnorm(N, mu=c(0,0), Sigma=rbind(c(  1, r23),
                                         c(r23,   1)))
  x2 = X[,1]
  x3 = X[,2]                           # x3 is correated w/ x2, but not x1
  y  = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + beta3*x3 + rnorm(100)
                                       # once again, all 3 variables are relevant
  mod = lm(y~x1+x2)                    # but the model omits x3
  b0VectC[i] = coef(mod)[1]
  b1VectC[i] = coef(mod)[2]            # we store the estimates again
  b2VectC[i] = coef(mod)[3]
}
mean(b0VectC)  # [1] -70.99916         # the 1st 2 are unbiased
mean(b1VectC)  # [1] 0.8409656         # but the sampling dist of x2 is biased
mean(b2VectC)  # [1] 0.8784184         # .88 not equal to .64

ลองคิดถึงเรื่องนี้ในแง่เรขาคณิต คิดว่า "ลูกบอล" พื้นผิวของลูกบอล อธิบายว่ามันคือ ε ทีนี้ถ้าคุณมีค่าสำหรับx 2 , y 2 , z 2 , และคุณมีการวัด r 2คุณสามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ได้ (คุณสามารถเรียกมันว่าทรงรี แต่จะเรียกมันว่าลูกบอลนั้นง่ายกว่า)$r^2 = ax^2+by^2+cz^2 + \epsilon$$x^2$$y^2$$z^2$$r^2$

หากคุณมีเฉพาะ เทอมและy 2คุณสามารถสร้างวงกลมได้ แทนที่จะกำหนดพื้นผิวของลูกคุณจะอธิบายวงกลมที่เติมเต็ม สมการคุณแทนพอดีมีr 2 ≤ x 2 + ขY 2 + ε $x^2$$y^2$$r^2 \le ax^2 + by^2 + \epsilon$

คุณกำลังฉาย "ลูกบอล" ไม่ว่าจะเป็นรูปร่างใดก็ตามลงในนิพจน์ของวงกลม มันอาจจะเป็น "ลูกบอล" ที่เน้นแนวทแยงมุมที่มีรูปร่างเหมือนเข็มเย็บผ้าและส่วนประกอบทำลายประมาณการของทั้งสองแกนอย่างสิ้นเชิง มันอาจจะเป็นลูกบอลที่ดูเหมือนว่า m & m ที่เกือบจะถูกบดขยี้ซึ่งแกนเหรียญเป็น "x" และ "y" และมีการฉายภาพเป็นศูนย์ คุณไม่สามารถรู้ได้ว่าข้อมูลตัวใดที่ไม่มีข้อมูล " z "$z$$z$

ย่อหน้าสุดท้ายนั้นกำลังพูดถึงกรณี "ข้อมูลบริสุทธิ์" และไม่ได้ส่งเสียงดัง การวัดในโลกแห่งความจริงมีสัญญาณที่มีเสียงดัง เสียงตามแนวเส้นรอบวงที่จัดเรียงตามแนวแกนจะส่งผลกระทบที่ดีกว่ากับคุณ แม้ว่าคุณจะมีตัวอย่างจำนวนเท่าเดิม แต่คุณจะมีความไม่แน่นอนในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของคุณมากขึ้น ถ้าเป็นสมการที่แตกต่างกว่านี้ง่ายเชิงเส้นกรณีแกนเชิงแล้วสิ่งที่สามารถไป " ลูกแพร์ " สมการปัจจุบันของคุณเป็นรูปเครื่องบินดังนั้นแทนที่จะมีขอบเขต (พื้นผิวของลูกบอล) ข้อมูล z อาจไปทั่วแผนที่ - การฉายภาพอาจเป็นปัญหาร้ายแรง

มันโอเคกับโมเดลไหม? นั่นคือคำพิพากษา ผู้เชี่ยวชาญที่เข้าใจรายละเอียดของปัญหาอาจตอบคำถามนั้นได้ ฉันไม่รู้ว่าใครบางคนสามารถให้คำตอบที่ดีถ้าพวกเขาอยู่ห่างไกลจากปัญหา

คุณสูญเสียสิ่งดีๆหลายอย่างรวมถึงความแน่นอนในการประมาณค่าพารามิเตอร์และลักษณะของแบบจำลองที่ถูกแปลง

ค่าประมาณสำหรับหายไปใน epsilon และเป็นค่าประมาณพารามิเตอร์อื่น ๆ มันคือวิทยโดยสมการทั้งหมดขึ้นอยู่กับระบบพื้นฐาน$b_3$

The other answers, while not wrong, over complicate the issue a bit.

If $x_3$ is truly uncorrelated with $x_1$ and $x_2$ (and the true relationship is as specified) then you can estimate your second equation without an issue. As you suggest, $\beta_3 x_3$ will be absorbed by the (new) error term. The OLS estimates will be unbiased, as long as all the other OLS assumptions hold.