ผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว

ฉันมีตัวอย่างประมาณ 1,000 ค่า ข้อมูลเหล่านี้จะได้รับจากผลิตภัณฑ์ของทั้งสองตัวแปรสุ่มอิสระ $\xi \ast \psi$ ψตัวแปรสุ่มครั้งแรกที่มีการกระจายชุด $\xi \sim U(0,1)$ )ไม่รู้จักการแจกแจงของตัวแปรสุ่มตัวที่สอง ฉันจะประเมินการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มตัวที่สอง ( ) ได้อย่างไร $\psi$

probability distributions mathematical-statistics

— แอนดี้
แหล่งที่มา

นี่คือรุ่นของสิ่งที่เรียกว่าปัญหาการสลายตัว: หากคุณย้ายไปยังบันทึกของผลิตภัณฑ์คุณจะได้รับการกระจายโดยประมาณของผลรวมเมื่อคุณรู้ว่าการกระจายของคำใดคำหนึ่ง ตรวจสอบเกี่ยวกับวิกิพีเดีย

— ซีอาน

ดูเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ใน crossvalidated: เมื่อคุณใช้การแปลงบันทึกปัญหาจะเทียบเท่า

— ซีอาน

@ ซีอาน: ลิงค์ที่ดี ผมหวังว่าที่

เกือบแน่นอน ... แม้ว่าเราสามารถกู้คืนจากการละเมิดที่ร้ายแรงดูเหมือนของสภาพนี้โดยการย่อยสลายเป็น

และเมื่อพิจารณาจากชิ้นส่วนที่แยกต่างหาก

ψ \geq 0

$\psi \geq 0$

ψ = ψ_{+} - ψ_{-}

$\psi = \psi_{+} - \psi_{-}$

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal ฉันอยากรู้ว่าการจัดการปัญหาการประมาณค่าอย่างไรเมื่อข้อมูลบางอย่างอาจเป็นลบ การสลายตัวถูกกำหนดอย่างไร? (วิธีการใช้งานง่ายของการกำหนดข้อมูลน้อยกว่า

องค์ประกอบและข้อมูลมากขึ้นหนึ่งกว่า

ไปยังอีกลักษณะที่ก่อให้เกิดผลลัพธ์กับผมเพราะบิดที่มีการชี้แจงจะมีแนวโน้มที่จะหันค่ามาจาก

ส่วนประกอบเข้าไปสังเกตในเชิงบวกค่อนข้างใหญ่.) มันมีลักษณะ ค่อนข้างชอบตัวประมาณพร้อมกันที่จะจัดการกับการระบุของส่วนผสมและการสลายตัว - และที่ดูเหมือนจะยุ่งยาก

1

$1$

1

$1$

ψ_{-}

$\psi_{-}$

— whuber

@ พระคาร์ดินัลขอบคุณสำหรับคำอธิบาย ไม่ไม่ใช่เสียงรบกวน: เนื่องจากฉันกำลังคิดในแง่ของลอการิทึมฉันเพิ่งลืมไปว่า

ไม่ใช่ลบ

ξ

$\xi$

— whuber

เรามีสมมติว่ามีการสนับสนุนในบรรทัดจริงบวก, $\psi$ โดยที่และคือการแจกแจงเชิงประจักษ์ของข้อมูล จดบันทึกสมการนี้เราได้

ξ ψ = X

$\xi \,\psi = X$

X \sim F_{n}

$X \sim F_n$

F_{n}

$F_n$

L โอ ก. (ξ) + L โอ ก. (ψ) = L โอ ก. (X)

$Log(\xi) + Log(\psi) = Log(X)$

ดังนั้นโดยทฤษฎีบทความต่อเนื่องของเลวีและความเป็นอิสระของและ การทำหน้าที่ characteritic: $\xi$ $\psi$

Ψ_{L โอ ก. (ξ)} (เสื้อ) Ψ_{L โอ ก. (ψ)} (เสื้อ) = Ψ_{L โอ ก. (X)}

$\Psi_{Log(\xi)}(t)\Psi_{Log(\psi)}(t) = \Psi_{Log(X)}$

ตอนนี้ ดังนั้น $\xi\sim Unif[0,1]$ $, therefore$ $-Log(\xi) \sim Exp(1)$

Ψ_{L โอ ก. (ξ)} (- เสื้อ) = {(1 + ผม เสื้อ)}^{- 1}

$\Psi_{Log(\xi)}(-t)= \left(1 + it\right)^{-1}\,$

ระบุว่า $\Psi_{ln(X)} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k) ,$ $X_1 ... X_{1000}$ $\ln(X)$

$Log(\psi)$

{(1 + ผม เสื้อ)}^{- 1} Ψ_{L โอ ก. (ψ)} (เสื้อ) = \frac{1}{n} Σ_{k = 1}^{1000} ประสบการณ์ (ผม เสื้อ X_{k})

$\left(1 + it\right)^{-1}\,\Psi_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k)$

$\ln(\psi)$ $t<1$

M_{L โอ ก. (ψ)} (เสื้อ) = \frac{1}{n} Σ_{k = 1}^{1000} ประสบการณ์ (- เสื้อ X_{k}) (1 - เสื้อ)

$M_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(-t\,X_k)\,\left(1 - t\right)\,$

$ln(\phi)$ $\phi$

— Drmanifold
แหล่งที่มา

คุณสามารถอธิบายสิ่งนี้กับตัวอย่างใน R ได้หรือไม่?

— Andy

แน่นอน. ฉันจะลองโพสต์พรุ่งนี้

— Drmanifold