บทสรุปของ Neyman-Pearson สามารถนำไปใช้กับกรณีที่โมฆะอย่างง่ายและทางเลือกไม่ได้อยู่ในตระกูลเดียวกันของการแจกแจงหรือไม่?

บทแทรกของ Neyman-Pearson สามารถนำไปใช้กับกรณีที่เป็นโมฆะง่ายและทางเลือกง่าย ๆ ไม่ได้เป็นของครอบครัวเดียวกันของการแจกแจง? จากการพิสูจน์ฉันไม่เห็นว่าทำไมถึงทำไม่ได้

ตัวอย่างเช่นเมื่อ Simple Null เป็นการแจกแจงแบบปกติและทางเลือกง่าย ๆ คือการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
คือการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นวิธีที่ดีในการทดสอบ null คอมโพสิตกับทางเลือกคอมโพสิตเมื่อทั้งสองเป็นของครอบครัวที่แตกต่างกันของการกระจาย?

ขอบคุณและขอแสดงความนับถือ!

hypothesis-testing mathematical-statistics

ตอนนี้เป็นคำถามที่ดี

— Glen_b

อย่างที่คุณพูดในคำถามหลักฐานไม่ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับรูปแบบของการแจกแจงสองแบบ เชื่อถือคณิตศาสตร์

— สีฟ้า

@Cyan: การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นวิธีที่ดีสำหรับคอมโพสิตโมฆะและทางเลือกคอมโพสิตซึ่งเป็นของครอบครัวที่มีการแจกแจงที่แตกต่างกันหรือไม่?

— ทิม

เพื่อชี้แจงความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน: ฉันมักจะเห็นคนพูดว่า "ไม่" - แน่นอนมันดูเหมือนว่าแม้ในเอกสาร : - "[การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น]] ... อาจไม่สามารถใช้เพื่ออ้างถึงรูปแบบการทำงานของการกระจายข้อมูล " มันคงจะดีถ้าการยืนยันแบบนั้นไม่ได้ออกมาบ่อยนัก

— Glen_b -Reinstate Monica

นี่คือไม่ใช่เพราะคำถามใด ๆทั้งสองแตกต่างกันกระจาย

และ

เป็นส่วนหนึ่งของครอบครัวหนึ่งอย่างต่อเนื่องพารามิเตอร์

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

คำตอบ:

ใช่ Neyman Pearson Lemma สามารถนำไปใช้กับกรณีที่เป็นโมฆะง่ายและทางเลือกง่าย ๆ ไม่ได้อยู่ในตระกูลเดียวกันของการแจกแจง

ให้เราต้องการสร้างการทดสอบที่ทรงพลังที่สุด (MP) ของเทียบกับของขนาด $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

สำหรับเฉพาะฟังก์ชันที่สำคัญของเราโดย Neyman Pearson บทแทรกคือ $k$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} > k \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

คือการทดสอบ MP ของเทียบกับ ของขนาด $H_0$ $H_1$

นี่

r (x) = \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} = \frac{e^{- x}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

โปรดทราบว่า ตอนนี้ถ้าคุณวาดรูปภาพของ[ฉันไม่ทราบวิธีการสร้างรูปภาพเป็นคำตอบ] จากกราฟมันจะชัดเจนว่า

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

ค

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

ดังนั้นสำหรับ particualr คือการทดสอบ MP ของกับขนาดของมัน $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$

คุณสามารถทดสอบ

1. เทียบกับ $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. เทียบกับ $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. เทียบกับ $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

โดย Neyman Pearson บทแทรก

$\mathbb{\theta}$

นั่นคือทั้งหมดจากฉัน

— AD
แหล่งที่มา

ไตรมาสที่ 2 อัตราส่วนความน่าจะเป็นของสถิติการทดสอบที่สมเหตุสมผล แต่ (a) Neyman-Pearson Lemma ไม่ได้ใช้กับสมมติฐานเชิงประกอบดังนั้น LRT จึงไม่จำเป็นต้องมีประสิทธิภาพมากที่สุด & (b) ทฤษฎีบทของวิลค์ใช้กับสมมติฐานที่ซ้อนกันเท่านั้นดังนั้นหากครอบครัวหนึ่งเป็นกรณีพิเศษของอีกคนหนึ่ง (เช่นเอกซ์โปเนนเชียล / ไวเบอร์ล, ปัวซอง / ลบทวินาม) คุณไม่ทราบการกระจายตัวของอัตราส่วนความน่าจะเป็นภายใต้ค่าว่าง แม้ไม่แสดงอาการ

— Scortchi - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

"... คุณไม่ทราบว่าการกระจายตัวของอัตราส่วนความน่าจะเป็นภายใต้ค่า null แม้จะเป็นแบบไม่แสดงอาการ" นั่นไม่ใช่เรื่องที่น่าเป็นห่วงมากในโลกที่คุณสามารถเขียนรหัสการจำลองภายใต้ค่า Null ได้น้อยกว่า 20 บรรทัดของอาร์

— สีฟ้า

@Cyan: การเขียน 20 บรรทัดนั้นอาจต้องใช้ความคิดบ้าง โปรดจำไว้ว่ามันเป็นคอมโพสิตโมฆะโดยทั่วไปเราจะไม่มีเดือยและฉันไม่คิดว่า LR จะต้องเป็นเดือยที่ประมาณ ฉันคิดว่าคุณสามารถเรียนรู้ LR ...

— Scortchi - Reinstate Monica

คุณพูดถูก ภาพทั่วไปคือ: เราต้องการสถิติทดสอบที่ให้พลังงานสูงสุดในระดับความสำคัญที่กำหนด $\alpha$ . กล่าวอีกนัยหนึ่งคือวิธีการคำนวณค่า $\phi$ เพื่อให้จุดส่วนหนึ่งของพื้นที่พารามิเตอร์ที่ $\phi$ เกินกว่า $\alpha^\mathrm{th}$ ควอนไทล์ภายใต้ $H_0$ มีน้ำหนักน้อยที่สุดภายใต้ $H_1$ . บทสรุปของ Neyman-Pearson แสดงให้เห็นว่าสถิตินั้นเป็นอัตราส่วนความน่าจะเป็น
กระดาษต้นฉบับของ Neyman & Pearson ยังกล่าวถึงการตั้งสมมติฐานร่วมกัน ในบางกรณีคำตอบนั้นตรงไปตรงมา - หากมีทางเลือกของการแจกแจงเฉพาะในแต่ละครอบครัวที่มีอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบอนุรักษ์นิยมเมื่อนำมาใช้กับทั้งครอบครัว นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งตัวอย่างเช่นสำหรับสมมติฐานที่ซ้อนกัน มันง่ายสำหรับสิ่งนี้ที่จะไม่เกิดขึ้น บทความนี้โดย Cox กล่าวถึงสิ่งที่ต้องทำเพิ่มเติม ฉันคิดว่าวิธีการที่ทันสมัยกว่านี้คือการเข้าใกล้แบบเบย์โดยให้นักบวชดูแลทั้งสองครอบครัว

— petrelharp
แหล่งที่มา

มีการอ้างอิงที่ดี - กระดาษ Cox

— Scortchi - Reinstate Monica