วางก่อนหน้านี้ในพารามิเตอร์ความเข้มข้นในกระบวนการ Dirichlet

ส่วนใหญ่นี้เป็นพื้นหลังข้ามไปที่สิ้นสุดถ้าคุณรู้อยู่แล้วว่าเพียงพอเกี่ยวกับ Dirichlet ผสมกระบวนการ สมมติว่าฉันกำลังสร้างแบบจำลองข้อมูลบางส่วนที่มาจากส่วนผสมของกระบวนการ Dirichlet คือปล่อยให้และมีเงื่อนไขในถือว่า$F \sim \mathcal D(\alpha H)$$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

ที่นี่และเป็นหน่วยวัดพื้นฐานก่อน ปรากฎว่าถ้าสำหรับการสังเกตแต่ละครั้งถ้าฉันรู้ว่าแฝงที่เกี่ยวข้องความน่าจะเป็นของในรุ่นนี้คือโดยที่คือจำนวนค่าที่แตกต่างของ (การวัดแบบสุ่มเป็นแบบแยกส่วนโดยสิ้นเชิง) Escobar และ Westพัฒนารูปแบบต่อไปนี้สำหรับการสุ่มตัวอย่างโดยใช้แกมมาก่อนหน้า; ก่อนอื่นพวกเขาเขียน$\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$ $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ ที่เป็นฟังก์ชันเบต้า จากนั้นให้สังเกตว่าถ้าเราแนะนำพารามิเตอร์แฝงความน่าจะเป็นที่มีรูปแบบของการกระจายแกมม่าและใช้สิ่งนี้เพื่อเขียนตัวอย่างกิ๊บส์$B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$

ตอนนี้คำถามของฉัน ทำไมเราไม่สามารถเขียน และแทนที่จะใช้ส่วนผสมของการแจกแจงแกมม่าจะใช้การกระจายแกมม่าเดี่ยวหรือไม่ หากเราแนะนำฉันไม่ควรทำสิ่งเดียวกัน แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ส่วนผสม?

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

แก้ไขเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติมรายละเอียดเพิ่มเติม:ในการเติมช่องว่างอาร์กิวเมนต์ใน Escobar และเวสต์คือปล่อยให้มีการแจกแจงแกมมาที่มีรูปร่างและหมายถึง ,และเราสามารถแนะนำแฝงดังนั้นเงื่อนไขแบบเต็มคือการแจกแจงสำหรับและส่วนผสมของและ a$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$สำหรับ\$\alpha$

โดยอาร์กิวเมนต์เดียวกันผมได้ผลเหมือนกัน แต่ด้วยสำหรับและสำหรับ\ดูเหมือนว่าฉันจะง่ายกว่านี้; ทำไมพวกเขาไม่ทำอย่างนั้นเหรอ?$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

ฉันไม่เห็นว่าสิ่งที่คุณเขียนแตกต่างจาก Escobar และตะวันตกอย่างไร

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ โดยที่บรรทัดที่สองถึงบรรทัดสุดท้ายคือวิธีที่คุณมีและบรรทัดสุดท้ายคือวิธีที่ E&W มี มันและพวกเขามีค่าเท่ากันตั้งแต่ n) \ end {eqnarray *} นึกถึงสิ่งนั้น $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$(z)

ฉันเดาว่าพวกเขาชอบสูตรของพวกคุณมากกว่าเพราะมันมีแค่ฟังก์ชั่นเบต้าไม่ใช่ผลิตภัณฑ์ของเบต้าและแกมม่า แต่ฉันอาจผิด ฉันไม่ได้ติดตามบิตสุดท้ายที่คุณเขียนคุณสามารถอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปแบบการสุ่มตัวอย่างของคุณได้หรือไม่