เหตุใดการควบคุม FDR จึงเข้มงวดน้อยกว่าการควบคุม FWER

ฉันได้อ่านแล้วว่าการควบคุม FDR นั้นเข้มงวดน้อยกว่าการควบคุม FWER เช่นในWikipedia :

ขั้นตอนการควบคุม FDR ออกแรงควบคุมที่เข้มงวดน้อยกว่าการค้นพบที่ผิดพลาดเมื่อเปรียบเทียบกับขั้นตอนอัตราข้อผิดพลาดในระดับครอบครัว (FWER) (เช่นการแก้ไข Bonferroni) สิ่งนี้จะเพิ่มพลังงานที่ค่าใช้จ่ายในการเพิ่มอัตราข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 เช่นการปฏิเสธสมมติฐานว่างไม่มีผลเมื่อมันควรได้รับการยอมรับ

แต่ฉันสงสัยว่ามันแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร

มีความสัมพันธ์ระหว่าง FDR และ FWER บ้างไหม

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— StackExchange สำหรับทั้งหมด
แหล่งที่มา

คุณอ่านเอกสารต้นฉบับหรือไม่ เป็นทุกสิ่งที่เราคาดหวังได้จากบทความสถิติ: แนวคิดพื้นฐานเดียวเรื่องราวที่ชัดเจนและรัดกุมในการบอกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์และการพิสูจน์ที่แม่นยำ (สั้น ๆ )

— พระคาร์ดินัล

แน่นอน @ cardinal ค่อนข้างถูกต้องว่ากระดาษมีความชัดเจนเท่าที่จะได้รับ ดังนั้นสำหรับสิ่งที่คุ้มค่าในกรณีที่คุณไม่สามารถเข้าถึงเอกสารได้นี่เป็นรุ่นที่อธิบายรายละเอียดเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีที่ Benjamini – Hochberg โต้แย้ง:

FDR คือมูลค่าที่คาดว่าจะมีสัดส่วนของการปฏิเสธเท็จที่จะปฏิเสธทุกrตอนนี้คือเห็นได้ชัดว่าผลรวมของการปฏิเสธเท็จและถูกต้อง; โทรหลังs $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

โดยสรุป (ใช้ตัวอักษรตัวใหญ่สำหรับตัวแปรสุ่มและตัวอักษรตัวเล็กสำหรับค่าที่รับรู้)

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

หนึ่งจะใช้เวลาถ้า 0 $Q=0$ $R=0$

ทีนี้มันมีความเป็นไปได้สองอย่าง: โมฆะทั้งหมดเป็นจริงหรือแค่ของพวกมันนั้นเป็นจริง ในกรณีแรกที่มีไม่สามารถปฏิเสธที่ถูกต้องเพื่อให้ Vดังนั้นหากมีการปฏิเสธใด ๆ ( ) มิฉะนั้น 0ดังนั้น $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

ดังนั้นในกรณีนี้เช่นว่าขั้นตอนใด ๆ ที่ควบคุมนั้นจะควบคุมและในทางกลับกัน $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

ในกรณีที่สองซึ่งถ้า (ดังนั้นหากมีอย่างน้อยหนึ่งปฏิเสธเท็จ) เราเห็นได้ชัดมี (ซึ่งเป็นส่วนที่มียังมีในตัวหาร) ที่ 1นี่ก็หมายความว่าฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ที่ใช้ค่า 1 ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งปฏิเสธเท็จจะไม่น้อยกว่า , Qทีนี้ลองคิดถึงความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองข้างซึ่งก็คือความน่าเบื่อของ $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$ ทิ้งความไม่เท่าเทียมเอาไว้

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

คาดว่าค่าตัวของฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในตัวบ่งชี้ที่เรามีอีกครั้งซึ่งเป็น R $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

ดังนั้นเมื่อเรามีขั้นตอนที่ควบคุมในแง่ที่ว่าเราจะต้องมีที่อัลฟ่า $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

ตรงกันข้ามมีควบคุมในบางอาจมาพร้อมกับขนาดใหญ่อย่างมีนัยสำคัญ Rการยอมรับส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของการปฏิเสธที่ผิดพลาด ( ) จากสมมติฐานที่ทดสอบทั้งหมดอาจมีความเป็นไปได้สูงมากที่จะมีการปฏิเสธที่ผิดพลาดอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ( ) $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

ดังนั้นขั้นตอนจะต้องเข้มงวดน้อยลงเมื่อต้องการเพียงการควบคุมซึ่งเป็นสิ่งที่ดีสำหรับพลังงาน นี่เป็นแนวคิดเดียวกันกับในการทดสอบสมมติฐานขั้นพื้นฐาน: เมื่อคุณทดสอบที่ระดับ 5% คุณจะปฏิเสธบ่อยขึ้น (ทั้งโมฆะที่ถูกต้องและเท็จ) มากกว่าเมื่อทดสอบที่ระดับ 1% เพียงเพราะคุณมีค่าวิกฤตน้อยกว่า $\FDR$

— Christoph Hanck
แหล่งที่มา

(+1) การแสดงออกที่ดี เห็นได้ชัดว่าในกรณีแรกเราสามารถพูดได้ว่าการควบคุม FWER หมายถึงการควบคุม FDR (ซึ่งเป็นเรื่องที่สงสัย) นอกจากนี้มันอาจจะคุ้มค่าที่ชี้ให้เห็นว่าคุณสมบัตินี้มาพร้อมกับสมมติฐานการกระจาย (เช่นความเป็นอิสระ) ในสถิติการทดสอบซึ่งแตกต่างจากขั้นตอนที่ให้ไว้ในกระดาษต้นฉบับสำหรับการควบคุมของ FDR

— พระคาร์ดินัล