ความแปรปรวนของผลผลิตของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กัน k

ความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กันคืออะไร? $k$

variance random-variable

คำตอบ:

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้มากกว่าที่คุณต้องการสามารถพบได้ในกู๊ดแมน (1962): "ความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่ม K"ซึ่งได้มาจากสูตรสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระและตัวแปรสุ่มที่มีความสัมพันธ์พร้อมกับการประมาณบางอย่าง ในบทความก่อนหน้านี้ ( Goodman, 1960 ) สูตรสำหรับผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่ได้รับมาซึ่งค่อนข้างง่ายกว่า (แม้ว่ายังค่อนข้างน่ารักมาก) ดังนั้นนั่นอาจเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีกว่าถ้าคุณต้องการเข้าใจการสืบทอด .

เพื่อความสมบูรณ์แม้ว่ามันจะเป็นเช่นนี้

ตัวแปรสองตัว

สมมติว่าต่อไปนี้:

$x$ และเป็นตัวแปรสุ่มสองตัว $y$
$X$ และเป็นความคาดหวัง (ไม่เป็นศูนย์) $Y$
$V(x)$ และเป็นผลต่าง $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (และเช่นเดียวกันกับ ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (และเช่นเดียวกันกับ ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ คือสัมประสิทธิ์กำลังสองของการแปรผัน: (เช่นเดียวกันกับ ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

จากนั้น: หรือเทียบเท่า:

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

มากกว่าสองตัวแปร

บทความ 1960 แสดงให้เห็นว่านี่เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน (ซึ่งดูเหมือนจะเป็นแรงบันดาลใจให้กับกระดาษ 2505!)

สัญกรณ์คล้ายกันโดยมีนามสกุลไม่กี่รายการ:

$(x_1, x_2, \ldots x_n)$ เป็นตัวแปรสุ่มแทนและ $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ = 0, 1, หรือ 2 สำหรับ $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = จำนวนของ 1 ใน $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = จำนวน 2 ใน $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ สำหรับและสำหรับ , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ หมายถึงการรวมชุดชุดโดยที่ $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

จากนั้นในที่สุดก็นาน:

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

ดูเอกสารเพื่อดูรายละเอียดและการประมาณที่ง่ายขึ้นอีกเล็กน้อย!

— แมตต์กรอส
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่าคำตอบข้างต้นจาก Matt Krause มีข้อผิดพลาดเช่นเดียวกับกระดาษ ในคำจำกัดความของฟังก์ชั่น C (s1, ... , sk) มันควรจะเป็นผลิตภัณฑ์แทนที่จะเป็นผลรวม

— Nicolas Gisler

คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมอีกหน่อย .. "เพราะฉัน - บุคคลนิรนามจากอินเทอร์เน็ต - พูดอย่างนั้น" ไม่ใช่คำตอบจริงๆ ...

— ทิม

หากคุณพยายามที่จะรับค่าความแปรปรวน var (x * y) สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระผ่านสูตรสำหรับการสุ่มคุณจะเห็นว่ามีเพียงผลิตภัณฑ์และไม่ใช่ผลรวมที่ให้คำตอบที่ถูกต้อง นอกจากนี้หากคุณดูกระดาษคุณสามารถดูได้เช่นกันในหน้า 59 ของกระดาษ (อย่างน้อยในรุ่นของฉัน) เขาใช้ผลิตภัณฑ์แทนผลรวม

— Nicolas Gisler

สำหรับกรณีของตัวแปรสุ่มสองตัวสูตรที่ง่ายต่อการอ่านสำหรับความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่สัมพันธ์กันสามารถพบได้ในคำตอบนี้โดย @macro คำตอบนี้ชี้ให้เห็นถึงปัญหาที่สำคัญในกล่าวคือ,ความหนาของสัญกรณ์ปกปิดความจริงที่สำคัญว่ามีเงื่อนไขในมันซึ่งไม่สามารถกำหนดมูลค่าเว้นแต่ว่าเรารู้ covหรือเพียงพอเกี่ยวกับความหนาแน่นร่วมของตัวแปรสุ่มสองตัวเพื่อกำหนดปริมาณนี้

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

— Dilip Sarwate

ข้อเสนอแนะการแก้ไขที่ควรได้รับความคิดเห็นแนะนำว่ากระดาษต้นฉบับที่มีการพิมพ์ผิดที่ผลรวมและผลิตภัณฑ์ที่ถูกผสมและคำตอบนี้ควรได้รับการแก้ไข ดูstats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— Silverfish

เพียงเพิ่มคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ Matt Krause (อันที่จริงสามารถสืบได้จากที่นั่น) ถ้า x, y เป็นอิสระแล้ว

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— อนันดา
แหล่งที่มา

ผลสำหรับกรณีของตัวแปรสุ่มอิสระได้รับการกล่าวถึงที่นี่

n

$n$

— Dilip Sarwate

นอกจากสูตรทั่วไปที่ให้โดย Matt อาจมีค่าเมื่อสังเกตว่ามีสูตรที่ค่อนข้างชัดเจนสำหรับตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ มันตามมาจากทฤษฎีบทของ Isserlisดูช่วงเวลาที่สูงขึ้นสำหรับการแจกแจงปกติหลายตัวแปรที่กึ่งกลาง

สมมติว่าดังต่อไปนี้การกระจายปกติหลายตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ย 0 และแปรปรวนเมทริกซ์\หากจำนวนตัวแปรเป็นเลขคี่ และ โดยที่หมายถึงการรวมพาร์ติชันทั้งหมดของลงใน disjoint pairsในแต่ละเทอมเป็นผลิตภัณฑ์ ของสอดคล้องกันและ $(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$ เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับx_k) ถ้าเป็นคู่, ในกรณีที่เราจะได้ ถ้าเราจะได้ ซึ่งมี 15 คำในผลรวม

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\prod_{i} x_{i}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j} - {(\sum \prod Σ_{i, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = \sum Σ_{i, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

ในความเป็นจริงมันเป็นไปได้ที่จะใช้สูตรทั่วไป ส่วนที่ยากที่สุดคือการคำนวณพาร์ติชั่นที่ต้องการ ในการวิจัยนี้สามารถทำได้ด้วยฟังก์ชั่นจากแพคเกจsetparts partitionsการใช้แพ็คเกจนี้ไม่มีปัญหาในการสร้างพาร์ติชัน 2,027,025 สำหรับสามารถสร้างพาร์ติชัน 34,459,425 สำหรับได้ แต่ไม่สามารถสร้างพาร์ติชัน 654,729,075 สำหรับ (บนแล็ปท็อป 16 GB ของฉัน) $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

สองสิ่งอื่น ๆ ที่น่าสังเกต ข้อแรกสำหรับตัวแปรเกาส์ที่ไม่ได้เป็นศูนย์หมายความว่ามันเป็นไปได้ที่จะได้รับนิพจน์เช่นกันจากทฤษฎีบทของ Isserlis ประการที่สองมันไม่ชัดเจน (สำหรับฉัน) หากสูตรข้างต้นมีความทนทานต่อการเบี่ยงเบนจากภาวะปกตินั่นคือถ้ามันสามารถใช้เป็นการประมาณแม้ว่าตัวแปรจะไม่กระจายหลายตัวแปรตามปกติ ประการที่สามแม้ว่าสูตรด้านบนจะถูกต้อง แต่ก็เป็นที่สงสัยว่าความแปรปรวนบอกเกี่ยวกับการกระจายของผลิตภัณฑ์เป็นเท่าใด แม้แต่สำหรับการกระจายตัวของผลิตภัณฑ์ก็ค่อนข้าง leptokurtic และสำหรับใหญ่ขึ้นมันจะกลายเป็น leptokurtic อย่างรวดเร็วมาก $k = 2$ $k$

— NRH
แหล่งที่มา

เรียบร้อยแล้ว! สำหรับสิ่งที่มีค่าสูตรในคำตอบของฉันยังมีการระเบิดแบบ combinatorial ด้วย: การรวมเหนือ C เกี่ยวข้องกับการรวมคำศัพท์

O (3^{k})

$O(3^k)$

— Matt Krause