การทดสอบ t และการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวทั้งการทดสอบ Wald หรือไม่

11

t-test สำหรับการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่กระจายแบบปกติเท่ากับค่าคงที่หรือไม่นั้นเป็นการทดสอบแบบ Wald โดยการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจากข้อมูลการกระจายตัวปกติของปลาที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง แต่สถิติการทดสอบในการทดสอบ t มีการแจกแจงแบบนักเรียนทีในขณะที่การทดสอบแบบ staistic ในการทดสอบแบบ Wald นั้นมีการกระจายแบบไคสแควร์ ฉันสงสัยว่าจะอธิบายได้อย่างไร

ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวสถิติทดสอบถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนระหว่างความแปรปรวนระหว่างคลาสกับความแปรปรวนภายในคลาส ฉันสงสัยว่ามันเป็นแบบทดสอบของ Wald หรือไม่? แต่สถิติการทดสอบในการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวมีการแจกแจงแบบ F และสถิติการทดสอบในการทดสอบวัลด์แบบ asymptotically มีการแจกแจงแบบไคสแควร์ ฉันสงสัยว่าจะอธิบายได้อย่างไร

ขอบคุณและขอแสดงความนับถือ!

hypothesis-testing anova

— ทิม
แหล่งที่มา

17

พิจารณาการตั้งค่าต่อไปนี้ เรามีมิติพารามิเตอร์เวกเตอร์ที่ระบุรูปแบบที่สมบูรณ์และประมาณการโอกาสสูงสุดθข้อมูลฟิชเชอร์ในคือเข็มทิศ )สิ่งที่มักจะเรียกว่าสถิติ Waldคือ $p$ $\theta$ $\hat{\theta}$ $\theta$ $I(\theta)$

(\hat{θ} - θ)^{T} ผม (\hat{θ}) (\hat{θ} - θ)

$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$

ที่เป็นข้อมูลฟิชเชอร์ได้รับการประเมินในประมาณการโอกาสสูงสุด ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอสถิติ Wald ดังต่อไปนี้ asymptotically -distribution กับ -degrees of freedom เมื่อเป็นพารามิเตอร์จริง สถิติ Wald สามารถใช้ในการทดสอบสมมติฐานอย่างง่ายในเวกเตอร์พารามิเตอร์ทั้งหมด $I(\hat{\theta})$ $\chi^2$ $p$ $\theta$ $H_0 : \theta = \theta_0$

ด้วยผกผันข้อมูลฟิชเชอร์สถิติทดสอบ Wald ของสมมติฐานคือ $\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$ $H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$ การแจกแจงแบบซีมโทติคคือ-distribution กับ 1 ดีกรีอิสระ

\frac{({\hat{θ}}_{1} - θ_{0, 1})^{2}}{Σ (\hat{θ})_{ผม ผม}} .

$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$

χ^{2}

$\chi^2$

สำหรับรุ่นปกติที่เป็นเวกเตอร์ของค่าเฉลี่ยและพารามิเตอร์แปรปรวนการทดสอบสถิติ Wald ของการทดสอบถ้าคือ $\theta = (\mu, \sigma^2)$ $\mu = \mu_0$ กับขนาดตัวอย่าง นี่เป็นประมาณการโอกาสสูงสุดของ(ที่คุณหารด้วย) -test สถิติมี

\frac{n (\hat{μ} - μ_{0})^{2}}{{\hat{σ}}^{2}}

$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$

n

$n$

{\hat{σ}}^{2}

$\hat{\sigma}^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

n

$n$

t

$t$

โดยที่

เป็นตัวประมาณค่าความแปรปรวนแบบไม่เอนเอียง (โดยคุณหารด้วย

) สถิติการทดสอบ Wald เกือบ แต่ไม่ตรงเท่ากับตารางของ

สถิติ-test แต่พวกเขาจะ asymptotically เทียบเท่าเมื่อ

∞

ยืด

สถิติ-test มีแน่นอน

-distribution ซึ่งลู่ไป

-distribution 1 องศาอิสระสำหรับ

∞

\frac{\sqrt{n} (\hat{μ} - μ_{0})}{s}

$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$

s^{2}

$s^2$

n - 1

$n-1$

t

$t$

n \to \infty

$n \to \infty$

t

$t$

F (1, n - 1)

$F(1, n-1)$

χ^{2}

$\chi^2$

n \to \infty

$n \to \infty$

เรื่องเดียวกันนี้เกี่ยวกับการทดสอบใน ANOVA แบบทางเดียว $F$

— NRH
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ฉันเพิ่งพบว่าสถิติการทดสอบเสื้อถูกสร้างขึ้นโดยตรงกับสถิติการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นไม่ใช่สถิติการทดสอบ Wald การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวเป็นการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นโดยตรงหรือไม่?

— ทิม

3

F

$F$

ขอบคุณ! ภายใต้แบบจำลองทางสถิติทั่วไปบางคนก็บอกว่าการกระจายตัวของการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของสถิติการทดสอบของ Wald นั้นมีการแจกแจงแบบ F ภายใต้ค่า Null มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? ฉันโพสต์คำถามที่นี่

— ทิม

13

@NRH ให้คำตอบทางทฤษฎีที่ดีนี่คือคำตอบที่ตั้งใจจะง่ายกว่าและเข้าใจง่ายกว่า

$n$ $n-1$ ภายในรากที่สอง) เราสามารถออกแบบการทดสอบแบบ Wald โดยใช้ค่ามัธยฐานโดยประมาณลบค่ามัธยฐานที่ตั้งสมมติฐานหารด้วยฟังก์ชันของ IQR แต่ฉันไม่รู้ว่าการกระจายตัวจะตามมาอย่างไรมันจะดีกว่าถ้าใช้ bootstrap, การเปลี่ยนแปลงหรือการจำลอง การกระจายสำหรับการทดสอบนี้มากกว่าขึ้นอยู่กับเส้นกำกับ Chi-Square F-test สำหรับ ANOVA เหมาะกับรูปแบบทั่วไปเช่นกันตัวเศษสามารถคิดเป็นการวัดความแตกต่างของค่าเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยโดยรวมและตัวส่วนเป็นตัวชี้วัดความแปรปรวน

โปรดทราบว่าหากคุณกำหนดตัวแปรสุ่มที่ตามมาที่การแจกแจงมันจะติดตามการแจกแจงแบบ F ที่มี 1 df สำหรับตัวเศษและตัวส่วน df นั้นจะมาจากการแจกแจง t โปรดทราบว่าการแจกแจงแบบ F ที่มีตัวส่วนอนันต์ df คือการแจกแจงแบบไคสแควร์ นั่นหมายความว่าทั้ง t-statistic (กำลังสอง) และ F สถิตินั้นเป็น asymptotically chi-squared เหมือนกับสถิติ Wald เราแค่ใช้การแจกแจงที่แม่นยำมากขึ้นในทางปฏิบัติ

— เกร็กสโนว์
แหล่งที่มา