สมมติฐานว่างของความเท่าเทียมกัน

สมมติว่าเป็นตัวอย่างสุ่มอย่างง่ายจากปกติการจัดจำหน่าย $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

ฉันสนใจที่จะทำการทดสอบสมมติฐานต่อไปนี้: สำหรับให้คง 0

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

ผมคิดว่าในการดำเนินการสองด้านหนึ่ง -tests (TOST) ในวิธีที่คล้ายคลึงกับสถานการณ์การทดสอบชีวสมมูลปกติที่เป็นโมฆะและแทน แต่ผมไม่ทราบว่านี้ทำให้รู้สึกหรือมีความถูกต้อง $t$ $|\mu| \ge c$

ความคิดของฉันคือการดำเนินการทดสอบด้านเดียว และ

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

และปฏิเสธสมมติฐานทั่วโลกถ้าหนึ่งใน

-values มีขนาดเล็กกว่าระดับนัยสำคัญα

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

ขอบคุณล่วงหน้า!

แก้ไข:

ฉันได้รับความคิดเล็ก ๆ น้อย ๆ ในขณะที่เกี่ยวกับเรื่องนี้และผมคิดว่าวิธีการที่ผมเสนอไม่ได้มีระดับนัยสำคัญα $\alpha$

สมมติว่ามูลค่าที่แท้จริงของคือและเป็นที่รู้จักกัน $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

ความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธโมฆะในการทดสอบครั้งแรกคือ ที่ถ้า CDF มาตรฐานของการกระจายปกติและเป็นค่าดังกล่าวที่α

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

ถ้า , αแล้วถ้า , αหรือถ้า , α $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

ความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธโมฆะในการทดสอบครั้งที่สองคือ

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

อีกครั้งถ้าเรามี αในทำนองเดียวกันถ้า , αในที่สุดถ้า , $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ . $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธคือ: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

ดังนั้นถ้า , เป็นขอบเขตบนของความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่ (ทั่วโลก) null สมมติฐาน ดังนั้นวิธีการที่ฉันเสนอจึงมีอิสระมากเกินไป $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

ถ้าผมไม่ผิดที่เราจะประสบความสำเร็จในระดับความสำคัญของโดยการทำสองการทดสอบเดียวกันและการปฏิเสธโมฆะถ้า -value หนึ่งของพวกเขาน้อยกว่า 2อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันจะเก็บเมื่อไม่ทราบความแปรปรวนและเราจำเป็นต้องใช้การทดสอบ $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
แหล่งที่มา

การแก้ไขอยู่ในเส้นทางที่ถูกต้อง :-)

— whuber

คำถามที่น่าสนใจมาก !!

คุณกำลังใช้ผลลอจิคัลเช่นเงื่อนไขเงื่อนไข เงื่อนไขการรวมตัวนี้เป็นพื้นฐานของตรรกะแบบดั้งเดิมมันรับประกันการอนุมานหรือการลดลงของผลที่ได้จากหลักฐาน

เหตุผลที่อยู่เบื้องหลังข้อเสนอของคุณมีดังนี้:

$H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

$H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

อย่างไรก็ตามการใช้เหตุผลเชิงตรรกะนี้ไม่ถูกต้องสำหรับ p-values กล่าวคือ p-values ไม่เคารพผลลัพธ์ที่เป็นตรรกะ แต่ละค่า p ถูกสร้างภายใต้สมมติฐานว่างเฉพาะดังนั้นค่า p สำหรับสมมติฐานว่างที่แตกต่างกันจะถูกคำนวณภายใต้ตัวชี้วัดที่แตกต่างกัน ด้วยเหตุนี้ค่า p จึงไม่สามารถให้เหตุผลเชิงตรรกะเหนือพื้นที่พารามิเตอร์ (หรือพื้นที่ของสมมติฐานว่าง)

$n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) เสนอตัวชี้วัดใหม่ของหลักฐานเพื่อทดสอบสมมติฐานว่างทั่วไป (สมมุติฐานเชิงประกอบหรือเชิงโมฆะแบบง่าย) ที่เคารพผลทางตรรกะ การวัดนี้เรียกว่า s-value ในกระดาษ ขั้นตอนนั้นค่อนข้างง่ายสำหรับตัวอย่างของคุณ:

$\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
$\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
$\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$ ค่ามีขนาดเล็กพอจากนั้นคุณสามารถปฏิเสธโมฆะ มิฉะนั้นคุณไม่ควรปฏิเสธหรือยอมรับค่าว่าง

$\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ . พยายามวาดภาพที่แสดงถึงช่วงความมั่นใจและสมมติฐานว่างที่น่าสนใจเพื่อทำความเข้าใจข้อสรุป สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดอ่านเอกสารต้นฉบับ Patriota (2013)

$s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$

อ้างอิง:

Patriota, AG (2013) การวัดแบบดั้งเดิมของหลักฐานสำหรับสมมติฐานว่างทั่วไป, เซตและระบบฟัซซี, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996) ค่า P: สิ่งที่พวกเขาและสิ่งที่พวกเขาไม่ใช่ชาวอเมริกันสถิติ, 50, 203–206

— Alexandre Patriota
แหล่งที่มา