ฉันสามารถคำนวณ


41

สมมติว่าφ()และΦ()เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นและฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

เราจะคำนวณอินทิกรัลได้อย่างไร:

Φ(wab)ϕ(w)dW

5
ทั้งหมดนี้เป็นเรื่องปกติ การอ้างอิงเริ่มต้นกับผลลัพธ์ทั่วไปซึ่งรวมถึงสิ่งนี้คือ Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); ดูข้อพิสูจน์ 1 ของทฤษฎีบท 2

คำตอบ:


48

สัญกรณ์ธรรมดามากขึ้นคือ

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

เรื่องนี้สามารถพบได้โดยการแยกส่วนประกอบสำคัญด้วยความเคารพและσการผลิตอินทิกรัลเบื้องต้นซึ่งสามารถแสดงในรูปแบบปิด:μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

ระบบนี้สามารถบูรณาการเริ่มต้นด้วยการเริ่มต้นสภาพ = ไว( x ) φ (y(0,1) = 1 / 2เพื่อให้ได้วิธีการแก้ปัญหาที่กำหนด (ซึ่งมีการตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยความแตกต่าง)Φ(x)ϕ(x)dx1/2


4
ผมสองตรวจสอบคำตอบผ่านการรวมตัวเลขและ contouring อัตราส่วนสำหรับ , 0 < σ 2 : ข้อตกลงเป็นสิบเอ็ดตัวเลขที่สำคัญตลอดช่วงนี้ 2μ20<σ2
whuber

ว้าวทางออกที่ฉลาด
Cam.Davidson.Pilon

2
ฉันคิดว่าอันนี้สามารถทำได้เกือบโดยการตรวจสอบ เทอมแรกภายใต้อินทิกรัลเป็นตัวแปรสุ่ม [0,1] เนื่องจาก pdf ปกติเป็นสมมาตรอินทิกรัลควรเป็น12
soakley

1
@soakley วิธีการของคุณใช้งานได้กับแต่ยังไม่ชัดเจนว่าจะใช้กับข้อโต้แย้งอื่นของyได้อย่างไร y(0,1)y
whuber

1
@whuber ขออภัยที่ไม่เข้าใจ แต่เมื่อเรามีสองรูปแบบปิดสำหรับอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้นเราจะไปจากที่นั่นไปยังทางออกสุดท้ายได้อย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณทำอะไรกับนิพจน์แบบปิดสำหรับอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น
user106860

63

ปล่อยให้และYเป็นตัวแปรสุ่มแบบอิสระที่เป็นอิสระด้วยX N ( a , b 2 )และYเป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐานแบบปกติ จากนั้นP { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYXN(a,b2)Y ดังนั้นการใช้กฎหมายของความน่าจะทั้งหมดที่เราได้รับที่ P{XY}=- P{XY|Y=W}

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
ตอนนี้ P { X Y } = P { X - Y 0 }สามารถแสดงออกในแง่ของ Φ ( )โดยสังเกตว่า X - Y ~ N ( , 2 + 1 )และทำให้เราได้รับ - ไว( W -
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1) ซึ่งเหมือนกันกับผลลัพธ์ในคำตอบของ whuber
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)

2

นี่คือวิธีแก้ไขปัญหาอื่น: เราให้คำจำกัดความ

ผม(γ)=-Φ(ξx+γ)ยังไม่มีข้อความ(x|0,σ2)dx,
γ=-ξμผม(γ)ผม(0)=0γ
dผมdγ=-ยังไม่มีข้อความ((ξx+γ)|0,1)ยังไม่มีข้อความ(x|0,σ2)dx=-12πประสบการณ์(-12(ξx+γ)2)12πσ2ประสบการณ์(-x22σ2)dx.
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

ซึ่งแสดงถึง

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.