ขอบเขตท้ายของ Euclidean norm สำหรับการกระจายแบบสม่ำเสมอบน

11

สิ่งที่เป็นที่รู้กันว่าขอบเขตบนของยุคลิดเป็นองค์ประกอบที่ได้รับการแต่งตั้งอย่างสม่ำเสมอของจะใหญ่กว่าเกณฑ์ที่กำหนดหรือไม่ $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

ฉันสนใจส่วนใหญ่อยู่ในขอบเขตที่มาบรรจบกันชี้แจงให้เป็นศูนย์เมื่อ $n$ มีมากน้อยกว่าd $d$

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
แหล่งที่มา

นี้เป็นเรื่องง่ายที่จะตอบสำหรับเกณฑ์ --you're เพียงเล่ม hyperspheres คอมพิวเตอร์ - แต่ยากมากที่จะทำงานออกมาให้n คุณอยู่ในสถานการณ์เหล่านั้นหรือไม่?

t \leq n

$t\le n$

t > n

$t \gt n$

— whuber

3

ฉันต้องการ.

t > n

$\: t > n \;\;$

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

1

ฉันไม่มีเวลาที่จะโพสต์คำตอบอย่างละเอียดในขณะนี้ แต่นี่เป็นคำใบ้ในระหว่างนี้: เปรียบเทียบกับตัวแปรสุ่มแบบทวินามด้วยค่าเฉลี่ยเดียวกันโดยใช้เทคนิคการยึดมาตรฐาน Chernoff สิ่งนี้จะให้ขอบเขตของรูปแบบสำหรับและที่เหมาะสมให้ซึ่งสมเหตุสมผลเมื่อคุณคิดถึงความหมายของ ระยะทางแบบยุคลิดสแควร์คือ หวังว่าจะช่วยได้บ้าง

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— พระคาร์ดินัล

1

โดยสังหรณ์ใจก็ควรจะเห็นได้ชัดว่าจุดที่มีการสุ่มตัวอย่างพิกัดจากการกระจายเครื่องแบบควรมีโมดูลัสขนาดเล็กเนื่องจากคำสาปของมิติ เมื่อเพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จุดสุ่มตัวอย่างจากปริมาตรของบอลมิติหน่วยมิติจะมีระยะทางน้อยกว่าหรือเท่ากับจากศูนย์กลางคือซึ่งจะลดลงอย่างรวดเร็ว $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

ฉันจะให้โซลูชันเต็มรูปแบบของคาร์ดินัล

ให้เป็นหนึ่งสำเนาอิสระจากสิ้นเชิงกระจายสม่ำเสมอทั่วจำนวนเต็มn เห็นได้ชัดว่าและสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายว่า $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

จำได้ว่าและ $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

ดังนั้น $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ การคำนวณ

ให้ $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

พรุ่งนี้ฉันจะจบวันนี้ แต่คุณจะเห็นว่าตัวแปรนี้มีค่าเฉลี่ยประมาณในขณะที่น้อยกว่าส่วนของจุดมีระยะทางน้อยกว่าครึ่งของระยะทางสูงสุด $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K
แหล่งที่มา

0

หากทั้งหมดปฏิบัติตามชุดแยกอิสระเหนือดังนั้นเมื่อมีค่าให้เลือกและค่าเฉลี่ยของพวกเขาคือ 0 เราจึงมีทั้งหมดสำหรับ : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ และ

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

จากนั้นถ้าเป็นค่า euclidean ธรรมดาของเวกเตอร์และเพราะความเป็นอิสระของ : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

จากจุดนี้คุณสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟ: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

นี้เพิ่มขึ้นที่ถูกผูกไว้กับซึ่งเป็นเรื่องปกติเพราะเมื่อขนาดใหญ่ได้รับบรรทัดฐาน euclidean ขนาดใหญ่ได้รับเมื่อเทียบกับเกณฑ์คง $d$ $d$ $a$

ตอนนี้ถ้าคุณกำหนดเป็น "ปกติ" บรรทัดฐานสแควร์ (ที่มีมูลค่าที่คาดว่าจะเหมือนกันไม่ว่าจะใหญ่ ) คุณจะได้รับ: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

อย่างน้อยขอบเขตนี้ไม่ได้ขึ้นกับแต่มันก็ยังห่างไกลจากการแก้ปัญหาการค้นหาของคุณสำหรับขอบเขตที่ลดลงอย่างชี้แจง! ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้อาจเป็นเพราะความอ่อนแอของความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ ... $d$

ฉันคิดว่าคุณควรจะได้อย่างแม่นยำคำถามของคุณเพราะตามที่ระบุไว้ข้างต้นเป็นบรรทัดฐาน euclidean เฉลี่ยของเวกเตอร์ของคุณเป็นเส้นตรงเพิ่มขึ้นในเพื่อให้คุณมีมากไม่น่าจะหาที่ถูกผูกไว้บนสำหรับว่าจะลดลงในมีเกณฑ์คง $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— jubo
แหล่งที่มา