เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์ข้อมูลฟิชเชอร์

ตำราที่แตกต่างกันอ้างถึงเงื่อนไขต่าง ๆ สำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์ข้อมูลฟิชเชอร์ เงื่อนไขดังกล่าวมีหลายรายการด้านล่างซึ่งแต่ละเงื่อนไขจะปรากฏในบางส่วน แต่ไม่ทั้งหมดของคำจำกัดความของ "ฟิชเชอร์ข้อมูลเมทริกซ์"

1. มีเงื่อนไขมาตรฐานที่น้อยที่สุดหรือไม่?
2. จาก 5 เงื่อนไขด้านล่างซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วย?
3. หากหนึ่งในเงื่อนไขสามารถทำได้ด้วยทำไมคุณถึงคิดว่ามันรวมอยู่ในสถานที่แรก?
4. หากเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่สามารถกระทำได้หมายความว่าตำราเรียนที่ไม่ได้ระบุว่าเป็นข้อผิดพลาดหรืออย่างน้อยคำจำกัดความที่ไม่สมบูรณ์หรือไม่

1. Zacks ทฤษฎีการอนุมานทางสถิติ (1971), p. 194
   เมทริกซ์เป็นบวกที่ชัดเจนสำหรับทุกθ ∈ Θ $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish ทฤษฎีสถิติ (1997, corr. 2nd printing), นิยาม 2.78, p. 111
   ชุดเป็นเหมือนกันสำหรับทุกθ $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov สถิติคณิตศาสตร์ (1998) พี 147
   ที่มีอย่างต่อเนื่องอนุพันธ์ WRT θฉัน $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov สถิติคณิตศาสตร์ (1998) พี 147
   ต่อเนื่องและกลับด้านได้ $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, สถิติและตัวแบบเศรษฐมิติ, Vol I (1995) คำจำกัดความ (a), pp. 81-82
   ที่มีอยู่ $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

โดยเปรียบเทียบนี่คือรายการเงื่อนไขทั้งหมดในLehman & Cassella ทฤษฎีการประมาณค่าจุด (1998) พี 124 :

1. เป็นช่วงเวลาที่เปิด (จำกัด , ไม่มีที่สิ้นสุดหรือกึ่งไม่มีที่สิ้นสุด) $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

และนี่คือรายการที่สมบูรณ์ของเงื่อนไขในBarra, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971) คำจำกัดความ 1, p. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

ฉันไม่สามารถเข้าถึงการอ้างอิงทั้งหมด แต่ฉันต้องการที่จะชี้ให้เห็นข้อสังเกตบางอย่างในบางประเด็นของคุณ:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• เป็นการยากที่จะกำหนดเงื่อนไขทั่วไปสำหรับการมีอยู่ของ FIM โดยไม่ต้องทิ้งบางรุ่นซึ่ง FIM นั้นมีอยู่จริง ตัวอย่างเช่นเงื่อนไขความแตกต่างไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของ FIM ตัวอย่างของสิ่งนี้คือรูปแบบเลขชี้กำลังสองเท่าหรือโมเดล Laplace FIM ที่สอดคล้องกันได้รับการกำหนดไว้อย่างดี แต่ความหนาแน่นนั้นไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในโหมดนี้เป็นสองเท่า รุ่นอื่นที่มีความแตกต่างกันสองเท่ามี FIM ที่ไม่ดีและต้องการเงื่อนไขเพิ่มเติม (ดูบทความนี้ )

เป็นไปได้ที่จะเกิดเงื่อนไขที่เพียงพอโดยทั่วไป แต่อาจเข้มงวดเกินไป เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของ FIM ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างเต็มที่ จากนั้นคำตอบสำหรับคำถามแรกของคุณอาจไม่ง่าย