ความแตกต่างระหว่างการแจกแจงแบบปกติแบบหลายตัวแปรมาตรฐานและ copula แบบเกาส์เซียน

ฉันสงสัยว่าความแตกต่างระหว่างการแจกแจงแบบปกติแบบหลายตัวแปรมาตรฐานและโคคูล่าแบบเกาส์คืออะไรเพราะเมื่อฉันดูฟังก์ชันความหนาแน่นพวกมันดูเหมือนกันกับฉัน

ปัญหาของฉันคือเหตุผลที่ว่าทำไม Copula Copula ถูกนำมาใช้หรือสิ่งที่เป็นประโยชน์ต่อ Copula Gaussian สร้างขึ้นหรือสิ่งที่เหนือกว่าของมันคือเมื่อ Copula Gaussian ไม่มีอะไรเลยนอกจากฟังก์ชั่นมาตรฐานหลายตัวแปรตัวเอง

แนวคิดที่อยู่เบื้องหลังการแปลงความน่าจะเป็นรวมในโคคูล่าคืออะไร? ฉันหมายความว่าเรารู้ว่า copula เป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปรสม่ำเสมอ ทำไมต้องเป็นชุด? ทำไมไม่ใช้ข้อมูลจริงเช่นการแจกแจงปกติหลายตัวแปรและหาเมทริกซ์สหสัมพันธ์ (โดยปกติเราจะพล็อตสินทรัพย์สองรายการเพื่อพิจารณาความสัมพันธ์ของพวกเขา แต่เมื่อมันเป็นโคคูลาเราจะพล็อตเราซึ่งเป็นความน่าจะเป็นแทน)

คำถามอื่น ฉันยังสงสัยว่าเมทริกซ์สหสัมพันธ์จาก MVN อาจไม่ใช่แบบพารามิเตอร์หรือกึ่งพาราเมตริกเหมือนของโคคูล่า (สำหรับพารามิเตอร์โคคูลาสามารถเป็นเอกภาพของเคนดัลล์เป็นต้น)

ฉันจะขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือของคุณตั้งแต่ฉันใหม่ในพื้นที่นี้ (แต่ฉันได้อ่านบทความมากมายและนี่เป็นสิ่งเดียวที่ฉันไม่เข้าใจ)

normal-distribution copula

— user26979
แหล่งที่มา

คุณเป็นอย่างไร "ดูที่ฟังก์ชั่นความหนาแน่น"? คุณอาจไม่ได้ใช้วิธีการที่ไวพอ ตัวอย่างเช่นความหนาแน่นไม่แน่นอนหลายตัวแปรเมื่อระยะขอบไม่ปกติ! ลองนี้ออกมาใช้เชื่อมเกาส์ที่มีต่อเนื่องกระจายเช่นเบต้า

: ที่ควรจะมองเด็ดที่ไม่ปกติ!

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$

— whuber

สมการ (6) คือ bivariate Gaussian copula CDF iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/ … ในขณะที่สมการแรกของคำอธิบายคือ bivariate CDF มาตรฐานปกติroguewave.com/portals/0/products/ imsl-numerical-libraries / … และเมื่อเราเปรียบเทียบมันเข้าด้วยกันรูปแบบการทำงานจะคล้ายกันมาก พวกเขาเหมือนกันกับฉัน

— 26979

คุณพูดถูก: นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณไม่ควรอ้างอิงอินเทอร์เน็ตแบบสุ่มโดยเฉพาะผู้ที่มีคำที่กำหนดไม่ดี ปรึกษา Nelson (หนึ่งในแหล่งข้อมูลสำหรับลิงก์แรกของคุณและสามารถอ่านได้อย่างชัดเจน)

— whuber

ดังนั้นหากไม่พูดถึงอภิมหาดังกล่าวข้างต้นอะไรคือความแตกต่างในมุมมองของคุณ

— 26979

กฎทั่วไปข้อหนึ่งเกี่ยวกับเอกสารทางเทคนิค - โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่พบในเว็บ - คือความน่าเชื่อถือของคำจำกัดความทางสถิติหรือทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ชื่อหน้าในการอ้างอิงแรกที่นำเสนอ (ในความคิดเห็นคำถาม) คือ "จากการเงินสู่จักรวาล: Copula ของโครงสร้างขนาดใหญ่" ด้วยทั้ง "การเงิน" และ "จักรวาลวิทยา" ปรากฏเด่นชัดเรามั่นใจได้เลยว่านี่ไม่ใช่แหล่งข้อมูลที่ดีเกี่ยวกับ copulas!

ให้เราหันไปหาหนังสือเรียนที่เป็นมาตรฐานและเข้าถึงได้ง่ายของโรเจอร์เนลเซ่นเรื่องคำแนะนำเกี่ยวกับ copulas (Second Edition, 2006) สำหรับคำจำกัดความที่สำคัญ

... ทุกเชื่อมเป็นฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายร่วมกับอัตรากำไรขั้นต้นที่มีเครื่องแบบ [ช่วงปิดหน่วย ] $[0,1]]$

[ที่หน้า 23 ด้านล่าง]

สำหรับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับ copulae ให้หันไปใช้ทฤษฎีบทแรกในหนังสือเล่มนี้ทฤษฎีบทของ Sklar :

ให้ $H$ จะเป็นฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายร่วมกับอัตรากำไรขั้นต้นและGจากนั้นก็มีอยู่เชื่อมเช่นว่าทุกใน [ตัวเลขจริงขยาย] $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, Y) = ค (F (x), G (Y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[ระบุไว้ในหน้า 18 และ 21]

แม้ว่า Nelsen จะไม่เรียกมันว่าเป็นเช่นนั้นเขาก็ให้คำจำกัดความแบบเกาส์ในตัวอย่าง

... ถ้าหมายถึงมาตรฐาน (univariate) ฟังก์ชันการแจกแจงปกติและหมายถึงสองตัวแปรฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (กับเพียร์สันผลิตภัณฑ์ขณะสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ) แล้ว ... $\Phi$ $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[ที่หน้า 23, 2.3.6 สมการ] จากสัญกรณ์มันเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นทันทีว่านี้คือการแจกแจงร่วมสำหรับ เมื่อเป็น bivariate Normal ตอนนี้เราอาจหันหลังกลับและสร้างการกระจายตัวแบบไบวาเรียใหม่ที่มีการแจกแจงส่วนขอบ (ต่อเนื่อง) ที่ต้องการและซึ่งนี้เป็นโคคูล่าเพียงแค่แทนที่การเกิดขึ้นของโดยและ $C$ $(u,v)$ $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ : ใช้เวลานี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งในลักษณะของ copulas ดังกล่าวข้างต้น $G$ $C$

ใช่แล้วนี่ดูเหมือนสูตรสำหรับการแจกแจงปกติแบบไบวาริเอทอย่างน่าทึ่งเพราะมันเป็นตัวแปรปกติสำหรับตัวแปรที่แปลงแล้ว )เนื่องจากการแปลงเหล่านี้จะไม่เป็นเชิงเส้นเมื่อใดก็ตามที่และยังไม่ได้ (univariate) CDFs ปกติด้วยตนเองการกระจายที่เกิดขึ้นจึงไม่ใช่ (ในกรณีเหล่านี้) bivariate ปกติ $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

ตัวอย่าง

ให้เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสำหรับตัวแปรBeta $F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ $F$ $G$ $x$ $y$

พล็อต

$0\le x \le 1$ $0 \le y$

การขาดความสมมาตรทำให้เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เรื่องปกติ (และไม่มีระยะขอบปกติ) แต่มันก็ยังมีรูปแบบเกาส์เซียนด้วยการก่อสร้าง FWIW มีสูตรและเป็นที่น่าเกลียดและเห็นได้ชัดว่าไม่ได้ทำให้เกิดตัวแปรปกติ:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) \exp (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

$Q$ $I_x$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการแก้ไข @ Cardinal: ฉันอายเกี่ยวกับการสะกดชื่อของ Nelsen โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันมองไปที่ด้านหน้าของหนังสือ! (ในการป้องกันของฉันฉันได้สังเกตเห็นครั้งแรกในบรรณานุกรมของเอกสารอ้างอิงของ OP ที่มันสะกดผิด: ที่จะต้องติดอยู่กับฉัน :-)

— whuber

มันเป็นเรื่องเล็กน้อยฉันคิดว่าฉันเพิ่งจะไปแก้ไข การสะกดคำผิดปกติ (อย่างน้อยเป็นภาษาอังกฤษ!) โดยเฉพาะเมื่อเปรียบเทียบกับตัวแปรที่พบบ่อย :-)

— สำคัญ