เป็นไปได้หรือไม่ที่จะพิสูจน์สมมติฐานว่าง?

คำถามดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะพิสูจน์สมมติฐานว่าง? จากความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับสมมติฐานที่ จำกัด คำตอบคือไม่ แต่ฉันไม่สามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำ คำถามมีคำตอบที่ชัดเจนหรือไม่?

หากคุณกำลังพูดถึงโลกแห่งความเป็นจริงไม่ใช่ตรรกะอย่างเป็นทางการคำตอบก็คือแน่นอน "การพิสูจน์" ของสิ่งใดก็ตามด้วยวิธีเชิงประจักษ์ขึ้นอยู่กับความแรงของการอนุมานที่สามารถทำได้ซึ่งจะถูกกำหนดโดยความถูกต้องของกระบวนการทดสอบตามการประเมินในแง่ของทุกสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับการทำงานของโลก (เช่นทฤษฎี) เมื่อใดก็ตามที่ยอมรับว่าผลลัพธ์เชิงประจักษ์บางอย่างแสดงให้เห็นถึงการปฏิเสธสมมติฐาน "ว่างเปล่า" เราจำเป็นต้องทำการตัดสินประเภทนี้ (ความถูกต้องของการออกแบบ; null " ไม่ใช่ปัญหาเลย

ดังนั้นสมมติฐานที่คล้ายคลึงกันคืออะไร? นี่คือตัวอย่างของ "การพิสูจน์โมฆะ" ที่เป็นเรื่องธรรมดาในวิทยาศาสตร์สุขภาพ & ในสังคมศาสตร์ (1) กำหนด "โมฆะ" หรือ "ไม่มีผล" ในทางที่มีความหมายในทางปฏิบัติ สมมติว่าฉันเชื่อว่าฉันควรปฏิบัติตัวเองราวกับว่าไม่มีความแตกต่างที่มีความหมายระหว่าง 2 การรักษาคือ t1 & t2 สำหรับโรคเว้นแต่ว่าจะให้โอกาสในการฟื้นตัวที่ดีกว่า 3% (2) ค้นหาการออกแบบที่ถูกต้องสำหรับการทดสอบว่ามีผลกระทบใด ๆ หรือไม่ - ในกรณีนี้ไม่ว่าจะมีความแตกต่างในโอกาสการกู้คืนระหว่าง t1 & t2 หรือไม่ (3) ทำการวิเคราะห์พลังงานเพื่อตรวจสอบว่าขนาดตัวอย่างที่จำเป็นในการสร้างโอกาสสูงเพียงพอ - หนึ่งที่ฉันมั่นใจขึ้นอยู่กับสิ่งที่ได้รับ 'สมมติว่ามันมีอยู่ โดยปกติแล้วคนมักจะพูดว่าพลังงานมีเพียงพอหากความน่าจะเป็นในการสังเกตผลกระทบที่กำหนดไว้ที่อัลฟ่าที่ระบุคืออย่างน้อย 0.80 แต่ระดับความเชื่อมั่นที่ถูกต้องนั้นเป็นเรื่องของความเกลียดชังที่คุณผิดพลาด เกณฑ์ค่าสำหรับ "ปฏิเสธโมฆะ" (4) ทำการทดสอบเชิงประจักษ์ & สังเกตผลกระทบ หากต่ำกว่าค่า "ความแตกต่างที่มีความหมาย" ที่ระบุ - 3% ในตัวอย่างของฉัน - คุณ "พิสูจน์แล้ว" ว่ามี "ไม่มีผล"

สำหรับการรักษาที่ดีของเรื่องนี้ดู Streiner, DL ยูนิคอร์นทำอยู่: สอนเกี่ยวกับ“พิสูจน์” โมฆะสมมติฐาน วารสารจิตเวชศาสตร์แคนาดา 48, 756-761 (2003)

คำตอบจากด้านคณิตศาสตร์:มันเป็นไปได้ถ้าหาก "สมมติฐานเป็นเอกพจน์ร่วมกัน"

หากโดย "พิสูจน์" คุณหมายถึงมีกฎที่สามารถ "ยอมรับ" (ฉันควรจะบอกว่า :)) ด้วยความน่าจะเป็นที่จะทำผิดพลาดที่เป็นศูนย์คุณจะต้องค้นหาสิ่งที่อาจเรียกว่า "การทดสอบในอุดมคติ" :$H_0$

หากคุณกำลังทดสอบตัวแปรสุ่มถูกดึงมาจากหรือจาก (เช่นการทดสอบเมื่อเทียบกับ ) จากนั้นจะมีการทดสอบในอุดมคติหาก (และคือ "เอกพจน์ซึ่งกันและกัน") $X$$P_0$$P_1$$H_0: X\leadsto P_0$$H_1: X\leadsto P_1$ $P_1\bot P_0$$P_1$$P_0$

ถ้าคุณไม่รู้ว่า "เอกพจน์ร่วมกัน" หมายความว่าฉันสามารถยกตัวอย่างให้คุณได้:และ (เครื่องแบบบนและ ) เป็นเอกพจน์ซึ่งกันและกัน หมายความว่าถ้าคุณต้องการทดสอบ$\mathcal{U}[0,1]$$\mathcal{U}[3,4]$$[0,1]$$[3,4]$

H 1 : X ⇝ U [ 3 , 4 $H_0: X\leadsto \mathcal{U}[0,1]$เมื่อเทียบกับ$H_1: X\leadsto \mathcal{U}[3,4]$

จากนั้นก็มีการทดสอบในอุดมคติ (เดาว่ามันคืออะไร :)): การทดสอบที่ไม่ผิด!

หากและไม่ได้เป็นเอกพจน์ร่วมกันสิ่งนี้จะไม่มีอยู่ (ผลลัพธ์นี้มาจาก "เฉพาะส่วนที่")!P $P_1$$P_0$

ในข้อตกลงทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่นี้หมายความว่าคุณสามารถพิสูจน์โมฆะถ้าและถ้าหลักฐานอยู่ในสมมติฐานของคุณแล้ว (เช่นถ้าและเฉพาะถ้าคุณได้เลือกสมมติฐานและที่แตกต่างกันมากจนไม่สามารถระบุการสังเกตจากเดียวเป็นหนึ่งจากและในทางกลับกัน) H 1 H 0 H $H_0$$H_1$$H_0$$H_1$

ใช่มีคำตอบที่ชัดเจน คำตอบนั้นคือ: ไม่ไม่มีวิธีที่จะพิสูจน์สมมติฐานว่างได้ สิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้เท่าที่ฉันรู้คือทิ้งช่วงความมั่นใจไว้ที่ประมาณไว้และแสดงให้เห็นว่าเอฟเฟกต์นั้นเล็กมากจนอาจไม่มีอยู่จริง

สำหรับฉันกรอบทฤษฎีการตัดสินใจนำเสนอวิธีที่ง่ายที่สุดในการเข้าใจ "สมมติฐานว่าง" โดยพื้นฐานแล้วบอกว่าจะต้องมีทางเลือกอย่างน้อยสองทาง: สมมติฐาน Null และอย่างน้อยหนึ่งทางเลือก จากนั้น "ปัญหาการตัดสินใจ" คือการยอมรับทางเลือกหนึ่งและปฏิเสธคนอื่น (แม้ว่าเราจะต้องแม่นยำเกี่ยวกับสิ่งที่เราหมายถึงโดย "การยอมรับ" และ "ปฏิเสธ" สมมติฐาน) ฉันเห็นคำถามว่า "เราสามารถพิสูจน์สมมติฐานว่างได้หรือไม่" เช่นเดียวกับ "เราสามารถตัดสินใจได้ถูกต้องหรือไม่" จากมุมมองของทฤษฎีการตัดสินใจคำตอบคือชัดเจนว่าถ้า

1) ไม่มีความไม่แน่นอนในกระบวนการตัดสินใจเนื่องจากเป็นแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดว่าการตัดสินใจที่ถูกต้องคืออะไร

2) เรายอมรับสถานที่ / สมมติฐานอื่น ๆ ทั้งหมดของปัญหา สิ่งที่สำคัญที่สุด (ฉันคิดว่า) คือสมมติฐานที่เราตัดสินใจระหว่างนั้นครบถ้วนสมบูรณ์และหนึ่ง (และเพียงหนึ่ง) ของพวกเขาจะต้องเป็นจริงและคนอื่น ๆ จะต้องเป็นเท็จ

จากมุมมองทางปรัชญาที่มากขึ้นมันเป็นไปไม่ได้ที่จะ "พิสูจน์" อะไรในแง่ที่ว่า "พิสูจน์" ขึ้นอยู่กับสมมติฐาน / สัจพจน์ที่นำไปสู่ ​​"พิสูจน์" ทั้งหมด ฉันเห็นการพิสูจน์ว่าเป็นความเท่าเทียมทางตรรกะมากกว่า "ความจริง" หรือ "ความจริง" ในแง่ที่ว่าหากการพิสูจน์นั้นผิดสมมติฐานที่นำไปสู่ความผิดก็เช่นกัน

การใช้สิ่งนี้กับ "การพิสูจน์สมมติฐานว่าง" ฉันสามารถ "พิสูจน์" ให้เป็นจริงได้โดยเพียงแค่สมมติว่ามันเป็นเรื่องจริงหรือโดยสมมติว่ามันเป็นจริงหากเงื่อนไขบางประการเป็นไปตามเงื่อนไข (เช่นมูลค่าของสถิติ)

ใช่มันเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์โมฆะ - ในความหมายเดียวกับที่เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ทางเลือกใด ๆ กับโมฆะ ในการวิเคราะห์แบบเบย์มันเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับอัตราต่อรองที่เป็นโมฆะเมื่อเทียบกับทางเลือกใด ๆ ที่เสนอให้กลายเป็นขนาดใหญ่โดยพลการ ยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นเรื่องผิดที่จะยืนยันในขณะที่คำตอบข้างต้นยืนยันว่าใครจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทางเลือกถ้ามันเป็นโมฆะ disjoint (ไม่ทับซ้อนกับโมฆะ) ในการวิเคราะห์แบบเบย์สมมติฐานทุกข้อมีการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้า การกระจายนี้กระจายหน่วยของความน่าจะเป็นก่อนหน้าออกมาเหนือตัวเลือกที่เสนอ สมมติฐานว่างทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ทั้งหมดเป็นทางเลือกเดียว ตามหลักการแล้วทางเลือกของโมฆะอาจทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ทั้งหมดเป็นทางเลือกที่ไม่เป็นโมฆะ (บน "จุด" อื่น) แต่นี่เป็นของหายาก โดยทั่วไปการป้องกันความเสี่ยงทางเลือกกล่าวคือพวกมันกระจายความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ออกไปเป็นทางเลือกอื่น ๆ ไม่ว่าจะเป็นการยกเว้นตัวเลือกโมฆะทางเลือกหรือมากกว่าปกติรวมถึงตัวเลือกโมฆะ คำถามจะกลายเป็นข้อสมมติฐานที่ทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้มากที่สุดซึ่งข้อมูลการทดลองตกจริง หากข้อมูลตกลงไปในที่ที่ค่าว่างบอกว่าพวกมันควรจะตกลงไปมันจะเป็นความโปรดปรานของอัตราต่อรอง (ในบรรดาสมมติฐานที่เสนอ) แม้จะมีอยู่ในนั้น (รวมอยู่ในนั้นด้วย) เชื่อว่ามันเป็นไปไม่ได้สำหรับทางเลือกที่ซ้อนกันที่จะมีโอกาสมากกว่าชุดที่มันซ้อนกันสะท้อนให้เห็นถึงความล้มเหลวในการแยกแยะระหว่างความน่าจะเป็นและความน่าจะเป็น ในขณะที่มันเป็นไปไม่ได้ที่องค์ประกอบของเซตจะมีความเป็นไปได้น้อยกว่าทั้งเซต แต่เป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับโอกาสหลังขององค์ประกอบของชุดของสมมติฐานที่จะยิ่งใหญ่กว่าความน่าจะเป็นหลังของเซตทั้งหมด ความน่าจะเป็นด้านหลังของสมมติฐานคือผลลัพธ์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นและการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่สมมติฐานตั้งอยู่ หากสมมติฐานทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าทั้งหมดอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง (เช่นบนโมฆะ) จากนั้นมันจะมีความเป็นไปได้สูงกว่าหลังของสมมติฐานที่ทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้บางอย่างผิดที่ (ไม่ใช่โมฆะ) ความน่าจะเป็นด้านหลังของสมมติฐานคือผลลัพธ์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นและการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่สมมติฐานตั้งอยู่ หากสมมติฐานทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าทั้งหมดอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง (เช่นบนโมฆะ) จากนั้นมันจะมีความเป็นไปได้สูงกว่าหลังของสมมติฐานที่ทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้บางอย่างผิดที่ (ไม่ใช่โมฆะ) ความน่าจะเป็นด้านหลังของสมมติฐานคือผลลัพธ์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นและการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่สมมติฐานตั้งอยู่ หากสมมติฐานทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าทั้งหมดอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง (เช่นบนโมฆะ) จากนั้นมันจะมีความเป็นไปได้สูงกว่าหลังของสมมติฐานที่ทำให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้บางอย่างผิดที่ (ไม่ใช่โมฆะ)

ในทางเทคนิคแล้วไม่สามารถพิสูจน์สมมติฐานว่างได้ สำหรับขนาดตัวอย่างที่แน่นอนและแน่นอนนั้นจะมีขนาดเล็ก แต่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งการทดสอบทางสถิติของคุณไม่มีอำนาจ แม้ว่าในทางปฏิบัติคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าคุณอยู่ใน epsilon เล็ก ๆ น้อย ๆ ของสมมติฐานว่างดังนั้นการเบี่ยงเบนที่น้อยกว่า epsilon นี้ก็ไม่สำคัญเลย

มีกรณีที่พิสูจน์ได้ สมมติว่าคุณมีโรงเรียนและสมมติฐานว่างของคุณก็คือจำนวนเด็กชายและเด็กหญิงเท่ากัน เมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้นความไม่แน่นอนในอัตราส่วนของเด็กชายกับหญิงมีแนวโน้มที่จะลดลงจนในที่สุดก็มาถึงความมั่นใจ (ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันถือว่าคุณหมายถึงหลักฐาน) เมื่อประชากรตัวอย่างทั้งหมดเป็นตัวอย่าง

แต่ถ้าคุณไม่มีประชากร จำกัด หรือถ้าคุณสุ่มตัวอย่างด้วยการแทนที่และไม่สามารถมองเห็นบุคคลที่ถูกสุ่มใหม่ได้คุณจะไม่สามารถลดความไม่แน่นอนเป็นศูนย์ได้ด้วยตัวอย่างแน่นอน

ฉันต้องการจะพูดคุยที่นี่มีผู้ใช้จำนวนมากสับสนอยู่บ้าง ความหมายที่แท้จริงของคำแถลง Null Hypothesis คืออะไร H0: p = 0 เราพยายามตรวจสอบว่าพารามิเตอร์ p เป็นศูนย์หรือไม่? ไม่แน่นอนไม่มีทางที่จะบรรลุเป้าหมายดังกล่าวได้

สิ่งที่เราตั้งใจจะสร้างก็คือว่าเมื่อกำหนดชุดข้อมูลแล้วค่าพารามิเตอร์ที่ประเมินจะไม่สามารถมองเห็นได้จากศูนย์ โปรดจำไว้ว่า NHST นั้น "ไม่ยุติธรรม" ต่อสมมติฐานทางเลือก: ค่าว่างนั้นกำหนดระดับความเชื่อมั่น 95% และเพียง 5% ของทางเลือก ดังนั้นผลลัพธ์ที่“ ไม่สำคัญ” ไม่ได้หมายความว่า H0 ถืออยู่ แต่เพียงว่าเราไม่พบหลักฐานเพียงพอว่ามีทางเลือกอื่น