การรวมระบบ Monte Carlo สำหรับฟังก์ชั่นที่ไม่รวมสี่เหลี่ยมจตุรัส

ฉันหวังว่านี่เป็นสถานที่ที่เหมาะสมที่จะถามถ้าไม่ลังเลที่จะย้ายไปยังฟอรัมที่เหมาะสมยิ่งขึ้น

ฉันสงสัยอยู่พักหนึ่งแล้วว่าจะรักษาฟังก์ชั่นที่ไม่รวมสแควร์ด้วย Monte Carlo Integration ได้อย่างไร ฉันรู้ว่า MC ยังคงให้การประเมินที่เหมาะสม แต่ข้อผิดพลาดนั้นไม่สามารถเกิดขึ้นจริงได้ (ฟังก์ชั่นต่างกันอย่างไร)

มา จำกัด เราไว้แค่มิติเดียว การบูรณาการ Monte Carlo หมายความว่าเราประมาณค่าอินทิกรัล

I = \int_{0}^{1} d x f (x)

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

ใช้ประมาณการ

E = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i})

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

กับคะแนนสุ่มกระจายอย่างสม่ำเสมอ กฎหมายจำนวนมากทำให้แน่ใจว่าฉัน ความแปรปรวนตัวอย่าง $x_i \in [0,1]$ $E \approx I$

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (f (x_{i}) - E)^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

ใกล้เคียงกับความแปรปรวนของการกระจายที่เกิดจากFอย่างไรก็ตามถ้าไม่ได้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นอินทิกรัลของฟังก์ชันกำลังสอง diverges นี่ก็หมายถึง $\sigma^2$ $f$ $f$

σ^{2} = \int_{0}^{1} d x {(f (x) - I)}^{2} = \int_{0}^{1} d x f^{2} (x) - I^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

ความหมายที่ยังแปรปรวน diverges

ตัวอย่างง่ายๆคือฟังก์ชั่น

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

ที่และ\ $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$

หากเป็นประโยคหนึ่งที่สามารถใกล้เคียงกับข้อผิดพลาดของค่าเฉลี่ยโดย , แต่ถ้าไม่สามารถรวมตารางได้หรือไม่ $\sigma^2$ $E$ $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ $f(x)$

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจ: คุณเริ่มจากการสังเกตว่าไม่มีมีความแปรปรวนแล้วถามว่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยของพวกเขาจะเป็นตัวประมาณที่สมเหตุสมผลหรือไม่ - ความแปรปรวนที่ไม่มีอยู่จริง! หรือฉันจะอ่านผิดคำถามนี้อาจจะโดยการ "ประมาณการทางสถิติอิสระ" คุณมีบางที่แตกต่างกัน (อาจจะแข็งแกร่ง) ประมาณการของหนึ่งในใจ?

E_{i}

$E_i$

— whuber

ผมไม่ได้พูดไม่ได้มีความแปรปรวนเพียงว่าฉันไม่สามารถกำหนดความแปรปรวนสำหรับมันโดย 2 ดังนั้นคำถามคือฉันสามารถกำหนดข้อผิดพลาดได้หรือไม่และถ้าเป็นตัวเลือกที่สมเหตุสมผล โดยอิสระทางสถิติฉันหมายความว่าได้รับโดยใช้ตัวเลขสุ่มที่แตกต่างกันเช่นโดยใช้เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มที่แตกต่างกัน (ฉันหวังว่านั่นจะเป็นคำที่ถูกต้องในเวลานั้น)

E

$E$

S^{2}

$S^2$

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$

E_{i}

$E_i$

— cschwan

โปรดอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดยที่ไม่สามารถ "กำหนดความแปรปรวนได้โดย " ฉันไม่สามารถทำให้ความรู้สึกของการนี้โดยใช้คำจำกัดความมาตรฐานความแปรปรวนและ 2

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

— whuber

ดีฟังก์ชั่นที่ไม่ได้เป็นตาราง integrable ดังนั้นหากผมไม่ผิดควรจะแตกต่าง หากเป็นกรณีนี้คำจำกัดความของไม่สมเหตุสมผลเลยใช่ไหม? โดยวิธีการของทฤษฎีขีด จำกัด กลางอย่างไรก็ตามจะยังคงมาบรรจบกับมูลค่าที่แท้จริงของอินทิกรัล แต่โดยไม่มีข้อผิดพลาดค่านี้เพียงอย่างเดียวทำให้รู้สึกไม่

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

E

$E$

— cschwan

ขออภัยฉันตั้งใจจะพูดว่า "กฎของคนจำนวนมาก" แน่นอนไม่ใช่ CLT

— cschwan

คุณสามารถใช้มาตรการมาตราส่วน / การกระจายอื่น ๆ เช่นช่วง interquantile ซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจาก asymptotics หางและทำให้การรวมกำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้วยสิทธิประโยชน์เพิ่มเติมที่พวกเขามักจะแข็งแกร่งโดยทั่วไปอยู่แล้ว

เห็นได้ชัดว่าจะต้องใช้พวกเขากับ resampling / bootstrap ตามด้วยตัวประมาณค่าเฉลี่ยไม่ใช่โดยตรงกับผลลัพธ์ดิบจากการสุ่มตัวอย่าง MC ของฟังก์ชันก่อนเฉลี่ย คุณสามารถตรวจสอบ L-estimators ทั่วไปและปรับหนึ่งในนั้นเพื่อรวมสองขั้นตอนนี้เป็นหนึ่งในการปฏิบัติงาน แต่ทางจิตใจการแจกแจงทั้งสองจะไม่สับสนแม้ว่า PDF ตัวประมาณจะสืบทอดคุณสมบัติบางอย่างตามธรรมชาติ integrability)

— ผลึก
แหล่งที่มา

+1 ฉันควรเพิ่มกฎจำนวนมากไม่จำเป็นต้องมีช่วงเวลาที่สองดังนั้นนี่เป็นคำแนะนำที่ดีอย่างสมบูรณ์

— mpiktas

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! ฉันต้องยอมรับว่าฉันอ่านข้อกำหนดเหล่านี้เป็นครั้งแรก แต่จากการค้นหาพวกเขาที่ WP ฉันคิดว่าคำตอบของคุณชี้ให้ฉันในทิศทางที่ถูกต้อง คุณหรือคนอื่นสามารถแนะนำบทความหรือหนังสือบางเล่มที่อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมได้หรือไม่

— cschwan

ฉันสังเกตเห็นว่าบางทีคำตอบของฉันอาจไม่ชัดเจน เนื่องจากคุณกำลังจำลองคุณไม่จำเป็นต้องทำการ resampling / bootstrapping จริงๆแล้วในทางทฤษฎีคุณสามารถเพิ่มตัวอย่างใหม่เพิ่มเติมแทนและรับการกระจายเชิงประจักษ์สำหรับตัวประมาณค่าเฉลี่ย เฉพาะในกรณีที่ทรัพยากรมีความกังวลคุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและการสุ่มตัวอย่างบางส่วนได้ใหม่ แต่สถิติจะไม่น่าสนใจหากทำได้ดี ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้าน Boostrap ดังนั้นฉันจะให้คำแนะนำแก่ผู้อื่นเพียงแค่ต้องการชี้ให้เห็นว่าคุณจำเป็นต้องทำมากกว่าสูตรที่ตรงไปตรงมา มุ่งเน้นที่การวัดการกระจายก่อนเพิ่มประสิทธิภาพในภายหลัง

— Quartz

ตัวประมาณค่าเฉลี่ยที่เสนอไม่มีความแปรปรวนแน่นอน มันไม่สำคัญว่าจะมีใครเพิ่มตัวอย่างเพิ่มเติมการกระจายเชิงประจักษ์ของตัวประมาณจะยังมีความแปรปรวนที่ไม่ จำกัด คุณสามารถยืนยันสิ่งนี้ด้วยการจำลองบางอย่าง

— rajb245

แน่นอนในความเป็นจริงนั่นคือสิ่งที่ถูกกล่าวถึงและเหตุผลที่ว่าทำไมเราจะใช้การวัดการกระจายตัวอื่น

— ควอตซ์