คำถามเกี่ยวกับน้ำหนักถ่วงแปรปรวน

สมมติว่าเราต้องการที่จะทำให้การอนุมานในสำนึกสังเกตของตัวแปรสุ่มซึ่งกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน\สมมติว่ามีเป็นอีกหนึ่งตัวแปรสุ่ม (ซึ่งก่อให้เกิดการสังเกตในทำนองเดียวกันเราจะเรียก ) ที่มีการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน\LetจะแปรปรวนของและY $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

ตอนนี้สมมติว่าเราสังเกตเห็นสัญญาณบน , โดยที่และสัญญาณบน , ที่2) สมมติว่าและมีความเป็นอิสระ $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

การกระจายตัวของมีเงื่อนไขบนและคืออะไร? $x$ $a$ $b$

สิ่งที่ฉันรู้จนถึงตอนนี้: การใช้น้ำหนักผกผัน - แปรปรวน, และ

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

ตั้งแต่และจะวาดร่วมกันควรนำข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับxนอกเหนือจากการตระหนักถึงสิ่งนี้ฉันติดอยู่ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชม! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis

— bad_at_math
แหล่งที่มา

นี่เป็นขั้นตอนแรกของการกรองคาลมาน คุณอาจดูที่มาและคิดเกี่ยวกับการได้รับ Kalman สำหรับการปรับปรุงประมาณการความแปรปรวนร่วมของรัฐ cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

ขอบคุณสำหรับการตอบกลับ! ฉันอ่านเอกสารในลิงค์ของคุณ แต่ฉันไม่เห็นการเชื่อมต่อกับตัวกรองคาลมาน โอกาสใดที่คุณสามารถทำอย่างละเอียด? ฉันขอขอบคุณความช่วยเหลือ!

— bad_at_math

@EngrStudent ถ้า OP ไม่คุ้นเคยกับตัวกรอง Kalman ฉันไม่เห็นว่ามันจะช่วยได้มากแค่ไหน บางทีคุณสามารถอธิบายวิธีจัดการกับปัญหาโดยไม่ต้องเรียกใช้ข้อมูลเฉพาะ (หรือศัพท์แสง) ที่เกี่ยวข้องกับ KF ได้ แต่อาจใช้ความเข้าใจของคุณเพื่อเป็นแนวทางในการตอบสนองต่อข้อมูลเฉพาะที่นี่

— Glen_b -Reinstate Monica

ข้ามการโพสต์ที่ math.SE ที่นี่

— Glen_b

ฉันไม่แน่ใจว่าจะใช้สูตรการถ่วงน้ำหนักความแปรปรวนแบบแปรปรวนกับที่นี่หรือไม่ อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าคุณอาจคำนวณการกระจายตัวแบบมีเงื่อนไขของให้และโดยสมมติว่า , ,และตามการกระจายตัวปกติหลายตัวแปรร่วม $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

ถ้าคุณคิดว่า (เข้ากันได้กับสิ่งที่ระบุไว้ในคำถาม) ที่ จากนั้นให้และคุณจะพบว่า

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (โปรดทราบว่าในข้างต้นจะถือว่าเป็นนัยโดยปริยายว่าและเป็นอิสระระหว่างกันและยังมีและ )

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

จากนี้คุณอาจพบว่าการกระจายตามเงื่อนไขของให้และโดยใช้คุณสมบัติมาตรฐานของการกระจายปกติหลายตัวแปร (ดูที่นี่ตัวอย่างเช่น: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ) $x$ $a$ $b$

— a.arfe
แหล่งที่มา