ผลรวมของผลต่างกำลังสอง t คืออะไร?

ปล่อยให้ถูกดึงออกมาจากการแจกแจงของนักเรียนโดยมีองศาอิสระสำหรับขนาดปานกลาง(พูดน้อยกว่า 100) กำหนด คือกระจายเกือบเป็นไคสแควร์กับองศาอิสระ? มีทฤษฎีบท จำกัด กลางสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มกำลังสองหรือไม่? $t_i$ $n$ $n$

T = \sum_{1 \leq i \leq k} t_{i}^{2}

$T = \sum_{1\le i \le k} t_i^2$

T

$T$

k

$k$

chi-squared central-limit-theorem t-distribution

— shabbychef
แหล่งที่มา

@suncoolsu: มันจะพูดว่า 'เกือบ' ...

— shabbychef

ขอโทษด้วย. ไม่เห็นว่า

— suncoolsu

คำตอบ:

ตอบคำถามแรก

เราอาจจะเริ่มต้นจากความจริงที่ระบุไว้โดย mpiktas ที่n) แล้วลองขั้นตอนที่ง่ายมากขึ้นในตอนแรก - การค้นหาสำหรับการกระจายของผลรวมของสองตัวแปรสุ่มกระจายโดยที่n) สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการคำนวณการบิดของตัวแปรสุ่มสองตัวหรือการคำนวณผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ $t^2 \sim F(1, n)$ $F(1,n)$

บทความโดยแสดงให้เห็น PCB ฟิลลิปที่เดาแรกของฉันเกี่ยวกับ "[ไหลมารวมกัน] ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับการ hypergeometric" เป็นความจริงแน่นอน หมายความว่าการแก้ปัญหาจะไม่สำคัญและกำลังดุร้ายนั้นซับซ้อน แต่เงื่อนไขที่จำเป็นในการตอบคำถามของคุณ ดังนั้นเนื่องจากได้รับการแก้ไขแล้วและคุณรวมการแจกแจงแบบ t เราไม่สามารถบอกได้ว่าผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นเช่นไร ถ้าไม่มีใครมีทักษะการเล่นที่ดีกับผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชั่น hypergeometric ไหลมารวมกัน $n$

— Dmitrij Celov
แหล่งที่มา

+1 สำหรับลิงค์ไม่ทราบว่าฟังก์ชั่นลักษณะของการแจกแจงแบบ F นั้นซับซ้อนมาก

— mpiktas

มันไม่ได้เป็นการประมาณที่ใกล้เคียง สำหรับขนาดเล็กความคาดหวังของเท่ากับ $n$ $T$ ในขณะที่ความคาดหวังของเท่ากับkเมื่อมีขนาดเล็ก (น้อยกว่า 10 พูด) ฮิสโทแกรมของและไม่มีรูปร่างเหมือนกันแสดงให้เห็นว่าการขยับและการลดขนาดยังคงไม่เกิดขึ้น งาน. $\frac{k n}{n-2}$ $\chi^2(k)$ $k$ $k$ $\log(T)$ $\log(\chi^2(k))$ $T$

สัญชาตญาณองศาขนาดเล็กของเสรีภาพของนักศึกษาเป็นหางหนัก การเน้นมันหนักหน่วงนั้น จำนวนเงินจึงจะเอียงมากขึ้น - มักจะมากมากขึ้นเบ้ - กว่าผลรวมของภาวะปกติแควร์ (คนกระจาย) การคำนวณและการจำลองมีความสำคัญ $t$ $\chi^2$

ภาพประกอบ (ตามที่ร้องขอ)

ข้อความแสดงแทน

ฮิสโทแกรมแต่ละภาพแสดงการจำลองที่เป็นอิสระจาก 100,000 การทดลองด้วยองศาอิสระที่ระบุ ( ) และการสรุป ( ) ซึ่งเป็นมาตรฐานตามที่อธิบายโดย @mpiktas ค่าของในแถวด้านล่างใกล้เคียงกับกรณี ดังนั้นคุณสามารถเปรียบเทียบกับโดยการสแกนแต่ละคอลัมน์ $n$ $k$ $n=9999$ $\chi^2$ $T$ $\chi^2$

โปรดทราบว่าไม่สามารถสร้างมาตรฐานได้เนื่องจากช่วงเวลาที่เหมาะสมนั้นไม่มีอยู่ การขาดความมั่นคงของรูปร่าง (ตามที่คุณสแกนจากซ้ายไปขวาในแถวใด ๆ หรือจากบนลงล่างลงคอลัมน์ใด ๆ ) มีการทำเครื่องหมายมากยิ่งขึ้นสำหรับ4 $n \lt 5$ $n \le 4$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันกลัวสิ่งนั้น แต่ฉันคิดว่าการสรุปจะนำหางมาบ้าง

— shabbychef

ฉันยังคิดว่าจะทำการทดลองแบบมอนติคาร์โลพยายามที่จะดูว่าการประมาณ

และ

ใกล้เคียงกับ

หรือ

ที่เราต้องการได้ที่นี่ แต่สำหรับขนาดเล็ก

และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ก็จะมีนกมากหนักแน่นอน เป็นไปได้ไหมที่คุณจะเพิ่มฮิสโตแกรมสองตัวนี้ที่นี่สำหรับคนขี้เกียจอย่างฉัน

n

$n$

k

$k$

χ^{2} (k)

$\chi^2(k)$

k (n)

$k(n)$

k

$k$

n

$n$

— Dmitrij Celov

@Dmitrij การจำลองเร็ว (ใช้เวลานานกว่าในการวาดฮิสโทแกรม) ดังนั้นฉันจึงเพิ่ม 12 รายการลงไป

— whuber

+1 สำหรับตัวเลข ภาพประกอบมักจะดูดีเสมอ

— Dmitrij Celov

$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

$Et_1^2$ $Var(t_1^2)$ $n$ $t_1^2$ $1$ $n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$

— mpiktas
แหล่งที่มา

Hotelling's T ^ 2: (f - d + 1) / fd T ^ 2 ∼ F (d, f + 1 - d)

— DWIN

T^{2}

$T^2$

T

$T$

T^{2}

$T^2$

F (1, n) + F (1, n)

$F(1,n)+F(1,n)$

ฉันเชื่อว่ามันจะลดสถานการณ์ของคุณเมื่อเมทริกซ์ความแปรปรวนเป็นแนวทแยง องค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมจากตัวอย่างควรอยู่ใกล้กับศูนย์ถ้ากลุ่มตัวอย่างมาจาก Normal แต่อาจไม่เท่ากับศูนย์ถ้ามาจาก t อย่างไรก็ตามคุณถามอะไรบางอย่างโดยประมาณดังนั้นฉันคิดว่าคำตอบน่าจะเป็น F ภายใต้เงื่อนไขนั้น

— DWIN

F (1, n)

$F(1,n)$

F

$F$