ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไรหากสามารถใช้ค่าปกติของข้อมูลได้

estimation standard-deviation normality-assumption

ฉันคิดว่าคุณกำลังมองหาการกระจายตัวของความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง ลิงก์นี้ไปยังส่วนหนึ่งในหน้า Wikipedia เกี่ยวกับความแปรปรวนในวันที่ 16:55, 21 สิงหาคม 2559 เนื่องจากนี่เป็นลิงก์ไปยัง Wikipedia บทความนี้อาจเปลี่ยนแปลงได้ในอนาคต ดังนั้นส่วนอาจไม่สะท้อนเนื้อหาที่คำตอบนี้อ้างถึงหลังจากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ดังนั้นการเชื่อมโยงไปยังหน้าประวัติศาสตร์ของหน้า Wikipedia จึงมีให้ที่นี่ พบบทความปัจจุบันเกี่ยวกับความแปรปรวน [ที่นี่] ( en.wikipedia.org/wik

คำตอบ:

ให้2) ดังที่แสดงในหัวข้อนี้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง $X_1, ..., X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})},

$s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}) },$

คือ

S D (s) = \sqrt{E ([E (s) - s]^{2})} = σ \sqrt{1 - \frac{2}{n - 1} \cdot {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}}

${\rm SD}(s) = \sqrt{ E \left( [E(s)- s]^2 \right) } = \sigma \sqrt{ 1 - \frac{2}{n-1} \cdot \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$

โดยที่คือฟังก์ชันแกมม่า ,คือขนาดตัวอย่างและคือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ตั้งแต่เป็นประมาณการที่สอดคล้องกันของนี้แสดงให้เห็นการเปลี่ยนกับในสมการข้างต้นจะได้รับการประมาณการที่สอดคล้องกันของ(s) $\Gamma(\cdot)$ $n$ $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ $s$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ ${\rm SD}(s)$

ถ้ามันเป็นตัวประมาณค่าที่คุณต้องการเราจะเห็นในหัวข้อนี้ว่าซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นเส้นตรงของความคาดหวัง $E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$

s \cdot \sqrt{\frac{n - 1}{2}} \cdot \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (n / 2)}

$s \cdot \sqrt{ \frac{n-1}{2} } \cdot \frac{\Gamma( \frac{n-1}{2} )}{ \Gamma(n/2) }$

ในฐานะที่เป็นประมาณการที่เป็นกลางจาก\ทั้งหมดนี้พร้อมกับความเป็นเส้นตรงของความคาดหวังให้ตัวประมาณที่เป็นกลางที่ : $\sigma$ ${\rm SD}(s)$

s \cdot \frac{Γ (\frac{n - 1}{2})}{Γ (n / 2)} \cdot \sqrt{\frac{n - 1}{2} - {(\frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})})}^{2}}

$s \cdot \frac{\Gamma( \frac{n-1}{2} )}{ \Gamma(n/2) } \cdot \sqrt{\frac{n-1}{2} - \left( \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \right)^2 }$

— มาโคร
แหล่งที่มา

+1 เป็นเรื่องดีที่ไม่เพียง แต่จะได้คำตอบที่ดีกว่าหลังจากผ่านไปเกือบสองปี แต่การตอบกลับที่ให้รายละเอียดที่เป็นประโยชน์มากกว่าการอ้างอิงที่อื่นในกระทู้นี้

— whuber

คุณลืมที่จะยกกำลังสองระยะทางในสูตรแรกหรือไม่?

— danijar

ฟังก์ชันแกมมายากที่จะคำนวณค่าที่ไม่ใช่เล็ก ๆ ของnฉันใช้การประมาณค่าของ Stirling ฉันได้รับซึ่งเป็นไปได้ในการคำนวณและบิต กะทัดรัดมากขึ้นการแสดงออกที่ชาญฉลาด

n

$n$

s \cdot \sqrt{e \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n - 1} - 1}

$s\cdot\sqrt{\mathrm{e}\cdot(1-\frac{1}{n})^{n-1}-1}$

— 59

น่าจะคุ้มค่าที่ชี้ให้เห็นว่า s (คำนวณในคำตอบของ @ Macro บางครั้งจะเรียกว่าเป็นข้อผิดพลาดมาตรฐานของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง.

— ฮาร์วีย์ Motulsky

สำหรับผู้ที่ต้องการรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นค่าประมาณที่ดีในระดับไม่กี่เปอร์เซ็นต์

s / \sqrt{2 (n - 1)}

$s/\sqrt{2(n-1)}$

— Syrtis Major

สมมติคุณสังเกต IID จากปกติที่มีค่าเฉลี่ยศูนย์และความแปรปรวน 2 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ประจักษ์) คือรากที่สองของตัวประมาณของ (ไม่เอนเอียงหรือไม่ใช่นั่นไม่ใช่คำถาม) ในฐานะตัวประมาณ (รับด้วย ),มีความแปรปรวนที่สามารถคำนวณได้ในทางทฤษฎี บางทีสิ่งที่คุณเรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจริง ๆ แล้วสแควร์รูทของความแปรปรวนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ ? มันไม่ใช่ตัวประมาณมันเป็นปริมาณเชิงทฤษฎี (เช่น $X_1,\dots,X_n$ $\sigma^2$ $\hat{\sigma}^2$ $\sigma^2$ $X_1,\dots,X_n$ $\hat{\sigma}$ $\sqrt{E[(\sigma-\hat{\sigma})^2]}$ $\sigma/\sqrt{n}$ รอการยืนยัน) ที่สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน!

— โรบินกีร์ด
แหล่งที่มา

ฟังก์ชันของตัวประมาณยังไม่ได้เป็นตัวประมาณใช่หรือไม่ ฉันยังไม่รู้ \ sigma เพียง X_i

\hat{σ} / n

$\hat{\sigma}/n$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\hat{σ} \frac{\sqrt{2}}{2 n}

$\hat{\sigma}\frac{\sqrt{2}}{2n}$

\frac{\hat{σ}}{\sqrt{2 n}}

$\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{2n}}$

-3

@Macro ให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ดีพร้อมสมการคำนวณ นี่คือการอธิบายทั่วไปมากขึ้นสำหรับคนคณิตศาสตร์น้อย

ฉันคิดว่าคำศัพท์ "SD ของ SD" นั้นทำให้หลายคนสับสน การคิดถึงช่วงความมั่นใจของ SD ง่ายกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คุณคำนวณจากกลุ่มตัวอย่างมีความแม่นยำเพียงใด โดยบังเอิญคุณอาจได้รับข้อมูลที่รวมเข้าด้วยกันอย่างใกล้ชิดทำให้ตัวอย่าง SD ต่ำกว่าประชากร SD มาก หรือคุณอาจได้รับค่าแบบสุ่มที่กระจัดกระจายกว่าประชากรโดยรวมทำให้ตัวอย่าง SD สูงกว่า SD ประชากร

การตีความ CI ของ SD นั้นตรงไปตรงมา เริ่มต้นด้วยสมมติฐานตามธรรมเนียมว่าข้อมูลของคุณสุ่มตัวอย่างและสุ่มตัวอย่างอย่างอิสระจากการแจกแจงแบบเกาส์เซียน ทวนซ้ำตัวอย่างนี้หลาย ๆ ครั้ง คุณคาดหวัง 95% ของช่วงความมั่นใจเหล่านั้นเพื่อรวม SD ประชากรจริง

ช่วงความมั่นใจ 95% ของ SD นั้นกว้างแค่ไหน ขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่าง (n) แน่นอน

n: 95% CI ของ SD

2: 0.45 * SD เป็น 31.9 * SD

3: 0.52 * SD ถึง 6.29 * SD

5: 0.60 * SD ถึง 2.87 * SD

10: 0.69 * SD ถึง 1.83 * SD

25: 0.78 * SD ถึง 1.39 * SD

50: 0.84 * SD ถึง 1.25 * SD

100: 0.88 * SD ถึง 1.16 * SD

500: 0.94 * SD ถึง 1.07 * SD

เครื่องคิดเลขเว็บฟรี

— Harvey Motulsky
แหล่งที่มา

ฉันสามารถทำ Monte Carlo ได้ฉันแค่อยากจะทำใน 'ความมีชีวิตชีวา' มากกว่านี้ คุณยังคงถูกต้องว่าการกระจายไม่ปกติดังนั้น sd นี้จะไร้ประโยชน์สำหรับการทดสอบ

สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าฉันไม่สบายใจกับคำสั่ง "ช่วงความมั่นใจที่ 95% ... น่าจะมี SD จริง" (หรือระบุไว้อย่างชัดเจนในหน้าเชื่อมโยง: "คุณมั่นใจได้ 95% ว่า CI ที่คำนวณจาก SD ตัวอย่างมี SD ประชากรจริง ") ฉันคิดว่าข้อความเหล่านี้เจ้าชู้ด้วยการเสริมความเข้าใจผิดที่เป็นที่นิยมดูที่นี่เช่นสำหรับการสนทนาที่เกี่ยวข้องกับประวัติย่อ

— gung - Reinstate Monica

"ฉันคิดว่าทั้งแนวคิดและคำศัพท์ของ" SD of SD "นั้นลื่นเกินไปที่จะรับมือ" ควรจะหมายถึงอะไร ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

— มาโคร

@Macro ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ ฉันเขียนใหม่อย่างมาก

— Harvey Motulsky

@gung ฉันเขียนใหม่เพื่ออธิบายช่วงความมั่นใจอย่างถูกต้อง

— Harvey Motulsky