การประมาณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติกในการออกแบบตัวควบคุมเคสเมื่อตัวแปรผลลัพธ์ไม่ใช่สถานะตัวควบคุม / ตัวควบคุม

พิจารณาการสุ่มตัวอย่างข้อมูลจากประชากรขนาดด้วยวิธีต่อไปนี้: สำหรับ $N$ $k=1, ..., N$

สังเกตบุคคล 'โรค' สถานะ 's $k$
หากพวกเขามีโรครวมพวกเขาในตัวอย่างที่มีความน่าจะเป็น $p_{k1}$
หากพวกเขาไม่ได้มีโรคที่รวมไว้ด้วยความน่าจะ{K0} $p_{k0}$

สมมติว่าคุณสังเกตตัวแปรและไบนารี่เวกเตอร์ทำนายผล , สำหรับอาสาสมัครทดลองด้วยวิธีนี้ ตัวแปรผลลัพธ์ไม่ใช่สถานะ "โรค" ฉันต้องการประเมินพารามิเตอร์ของตัวแบบการถดถอยโลจิสติก: $Y_i$ ${\bf X}_i$ $i=1, ..., n$

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

ทั้งหมดที่ฉันดูแลเกี่ยวกับการเป็นอัตราส่วน (log) ต่อรอง ${\boldsymbol \beta}$ เบต้า} การสกัดกั้นไม่เกี่ยวข้องกับฉัน

คำถามของฉันคือ: ฉันสามารถรับการประมาณที่เหมาะสมของ ${\boldsymbol \beta}$ โดยไม่สนใจความน่าจะเป็นการสุ่มตัวอย่าง $\{ p_{i1}, p_{i0} \}$ , $i=1, ..., n$ และปรับโมเดลให้เหมาะสม มันเป็นตัวอย่างแบบสุ่มธรรมดาเหรอ?

ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าคำตอบของคำถามนี้คือ "ใช่" สิ่งที่ฉันกำลังมองหาคือการอ้างอิงที่ตรวจสอบสิ่งนี้

มีสองเหตุผลหลักที่ฉันมั่นใจในคำตอบ:

ฉันได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับการจำลองสถานการณ์มากมายและไม่มีใครโต้แย้งเรื่องนี้และ
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าหากประชากรถูกควบคุมโดยแบบจำลองด้านบนแล้วรูปแบบที่ควบคุมข้อมูลตัวอย่างคือ

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = \log (p_{i 1}) - \log (p_{i 0}) + α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \log(p_{i1}) - \log(p_{i0}) + \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

หากความน่าจะเป็นของการสุ่มตัวอย่างไม่ได้ขึ้นอยู่กับดังนั้นสิ่งนี้จะแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนการสกัดกั้นอย่างง่ายและการประมาณจุดของจะไม่ได้รับผลกระทบอย่างชัดเจน แต่ถ้าออฟเซ็ตแตกต่างกันไปสำหรับแต่ละคนตรรกะนี้ใช้ไม่ได้เนื่องจากคุณจะได้รับการประเมินจุดที่แตกต่างกันอย่างแน่นอนแม้ว่าฉันจะคิดว่ามีบางสิ่งที่คล้ายกันก็ตาม $i$ ${\boldsymbol \beta}$

ที่เกี่ยวข้อง: กระดาษคลาสสิกโดย Prentice และ Pyke (1979)กล่าวว่าค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติกจากการควบคุมกรณี (มีสถานะโรคเป็นผล) มีการกระจายเช่นเดียวกับที่รวบรวมจากการศึกษาในอนาคต ฉันสงสัยว่าผลลัพธ์เดียวกันนี้จะนำไปใช้ที่นี่ แต่ฉันต้องยอมรับว่าฉันไม่เข้าใจกระดาษทุกบิตอย่างเต็มที่

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความคิดเห็น / การอ้างอิงใด ๆ

logistic case-control-study

— มาโคร
แหล่งที่มา

คุณระบุว่า "ตัวแปรผลลัพธ์ไม่ใช่สถานะโรค " อะไรบ่งบอก? ยินดีต้อนรับกลับสู่ CV, btw

Y_{i} = 1

$Y_i=1$

— gung - Reinstate Monica

Y_{i}

$Y_i$ เป็นตัวแปรที่แตกต่างกัน สิ่งที่ฉันหมายถึงคือตัวแปรที่กำหนดความน่าจะเป็นตัวอย่างของคุณ (ปกติสถานะของโรคในการควบคุมกรณี) ไม่เหมือนกับตัวแปรผลลัพธ์ - คิดว่าการวิเคราะห์รองของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่นสมมติว่าตัวอย่างถูกสร้างขึ้นโดยผู้ใช้ยาอย่างเป็นระบบและชุดเพิ่มเติม (จับคู่ความถี่, จับคู่โควาเรียตบางอย่าง) อย่างเป็นระบบ แต่ตัวแปรผลลัพธ์ที่คุณกำลังศึกษาคือการวัดพฤติกรรมอื่น ๆ ในกรณีนี้รูปแบบการสุ่มตัวอย่างเป็นสิ่งที่น่ารำคาญ ขอบคุณ btw!

— แมโคร

นี่คือรูปแบบของรูปแบบการเลือกในเศรษฐมิติ ความถูกต้องของการประมาณการโดยใช้ตัวอย่างที่เลือกไว้ที่นี่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ ขวา) นี่คือสถานะโรค 's $\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$ $D_i$ $i$

หากต้องการให้รายละเอียดเพิ่มเติมให้กำหนดสัญลักษณ์ต่อไปนี้: และ ; หมายถึงเหตุการณ์ที่อยู่ในตัวอย่าง นอกจากนี้สมมติว่าเป็นอิสระจากเพื่อความเรียบง่าย $\pi_{1}=\Pr\left(D_{i}=1\right)$ $\pi_{0}=\Pr\left(D_{i}=0\right)$ $S_{i}=1$ $i$ $D_{i}$ $X_{i}$

ความน่าจะเป็นของสำหรับหน่วยในตัวอย่างคือ ตามกฎหมายของการทำซ้ำที่มีการทำซ้ำ สมมติว่ามีเงื่อนไขเกี่ยวกับสถานะโรคและตัวแปรอื่น ๆผล เป็นอิสระจาก{i} ผลที่ตามมา, $Y_{i}=1$ $i$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & E (Y_{i} ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \\ = & E {E (Y_{i} ∣ X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) ∣ X_{i}, S_{i} = 1} \\ = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1, S_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0, S_{i} = 1), \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},S_{i}=1\right)\\ & = & \mathrm{{E}}\left\{ \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)\mid X_{i},S_{i}=1\right\} \\ & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1,S_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0,S_{i}=1\right), \end{eqnarray*}$

D_{i}

$D_{i}$

X_{i}

$X_{i}$

Y_{i}

$Y_{i}$

S_{i}

$S_{i}$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right). \end{eqnarray*}$ มันง่ายที่จะเห็นว่า ที่นี่และเป็นไปตามที่คุณกำหนด ดังนั้น,

Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} and Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} .

$\Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\mbox{ and }\Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}.$

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right).$ ถ้าเรามี และคุณสามารถละเว้นปัญหาการเลือกตัวอย่าง ในทางตรงกันข้ามถ้า , โดยทั่วไป ในบางกรณีให้พิจารณาโมเดลของ logit

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}),

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right),$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i})

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = \frac{e^{X_{i}^{'} α}}{1 + e^{X_{i}^{'} α}} and Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) = \frac{e^{X_{i}^{'} β}}{1 + e^{X_{i}^{'} β}} .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\frac{e^{X_{i}'\alpha}}{1+e^{X_{i}'\alpha}}\mbox{ and }\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)=\frac{e^{X_{i}'\beta}}{1+e^{X_{i}'\beta}}.$ แม้ว่าเมื่อและเป็นค่าคงที่ในการกระจายของผลลัพธ์จะไม่คงรูปแบบของ logit ที่สำคัญกว่านั้นการแทรกของพารามิเตอร์จะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง หวังว่าข้อโต้แย้งข้างต้นจะช่วยชี้แจงปัญหาของคุณเล็กน้อย

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

i

$i$

มันคืออยากจะรวมเป็นตัวแปรอธิบายเพิ่มเติมและประเมินรูปแบบขึ้นอยู่กับขวา) ในการพิสูจน์ความถูกต้องของการใช้เราต้องพิสูจน์ว่าซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่เป็นสถิติที่เพียงพอของ{i} หากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มตัวอย่างของคุณฉันไม่แน่ใจว่าจริงหรือไม่ ลองใช้สัญกรณ์นามธรรม ตัวแปรสังเกตได้สามารถดูได้ว่าเป็นฟังก์ชันสุ่มของและตัวแปรสุ่มอื่น ๆ $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $D_{i}$ $S_{i}$ $S_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ {i} แสดงว่าขวา) ถ้า เป็นอิสระจากเงื่อนไขบนและเรามี โดยนิยามของความเป็นอิสระ อย่างไรก็ตามหากไม่ได้เป็นอิสระจากหลังจากปรับเงื่อนไขในและ , มีข้อมูลที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับ และโดยทั่วไปไม่คาดหวังว่า $S_{i}=S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ ขวา) ดังนั้นในกรณี 'อย่างไรก็ตาม' ความไม่รู้ในการเลือกตัวอย่างอาจทำให้เข้าใจผิดสำหรับการอนุมาน ฉันไม่คุ้นเคยกับเอกสารการเลือกตัวอย่างในเศรษฐมิติ ฉันอยากจะแนะนำบทที่ 16 ของMicroeconometrics: methods and applications' by Cameron and Trivedi (especially the Roy model in that chapter). Also G. S. Maddala's classic bookตัวแปรที่ จำกัด และมีคุณภาพในสาขาเศรษฐมิติ 'คือการปฏิบัติที่เป็นระบบของปัญหาเกี่ยวกับการเลือกตัวอย่างและผลลัพธ์ที่ไม่ต่อเนื่อง

— semibruin
แหล่งที่มา

ขอบคุณ นี่คือคำตอบที่ดีและทำให้รู้สึกสมบูรณ์แบบ ในใบสมัครของฉันสมมติฐานว่าไม่เป็นจริง แต่มันจะเป็นเช่นเดียวกับดีในการเพิ่มเป็นปัจจัยบ่งชี้และพิจารณาการกระจายD_i) ฉันคิดว่าคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าคุณก็สบายดี นี่เป็นข้อสมมติฐานที่สมเหตุสมผลในกรณีของฉัน คุณคิดอย่างไร? BTW คุณจะมีข้อมูลอ้างอิงที่กล่าวถึงปัญหานี้ไหม ฉันไม่คุ้นเคยกับวรรณคดีเศรษฐมิติ

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 1) = P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 0)

$P(Y_i|X_i,D_i=1)=P(Y_i|X_i,D_i=0)$

D_{i}

$D_i$

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i})

$P(Y_i|X_i,D_i)$

P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) = P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 0)

$P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=1)=P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=0)$

— มาโคร

ฉันรู้สึกสบายใจที่จะเลือกกระบวนการพิจารณาคดีเป็นเบอนูลลีเช่นภายใต้สมมติฐานการสร้างข้อมูลนี้การทดลอง bernoulli นี้ไม่มีเงื่อนไขที่เป็นอิสระจากดังนั้นฉันคิดว่าเราสบายดี ฉันขอขอบคุณสำหรับความพยายามและข้อมูลเชิงลึกของคุณเกี่ยวกับปัญหานี้และฉันกำลังรับคำตอบ สมมติว่าไม่มีใครมาพร้อมกับการอ้างอิงที่แน่นอนที่ฉันกำลังมองหา (ฉันค่อนข้างจะสามารถ "อ้างอิง" ปัญหานี้ออกไปแทนที่จะพูดนอกเรื่องด้วยการอภิปรายเพิ่มเติม) ฉันจะมอบรางวัลให้คุณด้วย ไชโย

S_{i} | D_{i} = d, X_{i} = x \sim B e r n o u l l i (p (x, d))

$S_i | D_i=d, X_i=x \sim {\rm Bernoulli} \big( p(x, d) \big)$

Y_{i}

$Y_i$

— มาโคร

กระบวนการคัดเลือกนี้เหมาะกับกลยุทธ์ของคุณ ตามปัญหาการเลือกปัญหาของคุณจะกลายเป็นตัวอย่างของการขาดแบบสุ่ม (MAR) ในเอกสารข้อมูลที่ขาดหายไป ขอบคุณสำหรับรางวัลของคุณ

— semibruin