เหตุใดจึงใช้สแควร์รูทสำหรับการนับตัวอย่าง“ N” ในสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

9

ฉันพยายามเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของการเบี่ยงเบนมาตรฐาน

จากสูตร $\sigma= \sqrt{ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} N }$

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมเราควรลดจำนวนประชากร "N" ลงครึ่งหนึ่งนั่นคือสาเหตุที่เราต้องการที่จะ $\sqrt{N}$ เมื่อเราไม่ได้ทำ ${N^2}$ ? นั่นไม่บิดเบือนประชากรที่เรากำลังพิจารณาใช่หรือไม่

ไม่ควรเป็นสูตร $\sigma= \dfrac{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} } {N}$

standard-deviation

— Mahesh Subramaniya
แหล่งที่มา

10

คุณกำลังพยายามหาค่าเบี่ยงเบน "ทั่วไป" จากค่าเฉลี่ย

ความแปรปรวนคือ "ระยะทางยกกำลังสองเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ย"

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือสแควร์รูทของมัน

นั่นทำให้มันเบี่ยงเบนรากค่าเฉลี่ยกำลังสองจากค่าเฉลี่ย

ทำไมเราถึงใช้ค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ย? อะไรทำให้ความแตกต่างน่าสนใจ เหนือสิ่งอื่นใดเนื่องจาก ความจริงพื้นฐานเกี่ยวกับความแปรปรวน - ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องคือผลรวมของความแปรปรวนของแต่ละบุคคล (คำถามนี้ครอบคลุมในคำถามจำนวนมากเช่นที่นี่ ใน CrossValidated คุณลักษณะที่มีประโยชน์นี้ไม่ได้แชร์ตัวอย่างเช่นค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์
ทำไมต้องใช้สแควร์รูทของสิ่งนั้น เพราะมันอยู่ในหน่วยเดียวกับข้อสังเกตดั้งเดิม มันวัดชนิดของ 'ระยะทางปกติ' ชนิดพิเศษจากค่าเฉลี่ย (ดังที่กล่าวไว้ระยะทาง RMS) - แต่เนื่องจากคุณสมบัติความแปรปรวนข้างต้น - อันที่มีคุณสมบัติที่ดีบางอย่าง

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

7

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน

ความแปรปรวนคือระยะยกกำลังสองเฉลี่ยของข้อมูลจากค่าเฉลี่ย เนื่องจากค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วยจำนวนรายการที่รวมสูตรสำหรับความแปรปรวนคือ:

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}}{N}

$\text{Var}(X)=\text{E}[(X-\mu)^2] = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}$ ตั้งแต่นั้นมาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็แค่สแควร์รูทของสูตรการเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ:

S.D. (X) = \sqrt{Var (X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

$\text{S.D.}(X)=\sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}}$ ไม่มีอะไรที่ได้รับการเพิ่มหรือมีการเปลี่ยนแปลงเกี่ยวกับสมมติฐานหรือความแปรปรวนที่นี่เราก็เอารากที่สองของความแปรปรวนเนื่องจากว่าเป็นสิ่งที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

— gung - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

อาจจะกล่าวได้ว่าสูตรความแปรปรวนนี้เป็นจริงสำหรับเครื่องแบบแยกเท่านั้น มิฉะนั้นอาจสร้างความสับสนให้กับความแตกต่างระหว่างกลุ่มตัวอย่างและความแปรปรวนของประชากร

— เทย์เลอร์

@Taylor ฉันไม่ทราบว่าคุณหมายถึงอะไร สูตรสำหรับความแปรปรวนไม่เกี่ยวข้องกับการแจกแจง

— gung - Reinstate Monica

สูตรสำหรับความแปรปรวน (ตัวอย่าง) ไม่เกี่ยวข้องกับการแจกแจง ( en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#Definition )

— เทย์เลอร์

@Taylor ฉันยังไม่ทราบว่าคุณหมายถึงอะไร สูตรสำหรับความแปรปรวนไม่เกี่ยวข้องกับการแจกแจง เพื่ออ้างอิงจากหน้า Wikipedia "ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X คือค่าที่คาดหวังของการเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าเฉลี่ยของ X ...

Var (X) = E [(X - μ)^{2}]

$\operatorname{Var}( X ) = E⁡[(X − μ)^2]$ . คำจำกัดความนี้ครอบคลุมตัวแปรสุ่มที่สร้างขึ้นโดยกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องไม่ต่อเนื่องหรือผสมสูตรนี้ไม่เพียง แต่จะถือเป็นชุดที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น

— gung - Reinstate Monica

ใช่ถูกต้องถ้าคุณทำ

μ = E X

$\mu = EX$ แต่

E [(X - μ)^{2}]

$E[(X-\mu)^2]$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันสำหรับตัวแปรสุ่มใด ๆ

X

$X$ ,

\frac{1}{N} \sum_{i} (x_{i} - μ)^{2}

$\frac{1}{N}\sum_i(x_i - \mu)^2$ . สำหรับหนึ่งอันแรกคือค่าคงที่และที่สองคือการสุ่ม จริงๆแล้วมันยังไม่ชัดเจนว่าผลรวมจะผ่านการสนับสนุนของ

X

$X$ หรือจำนวนตัวอย่าง หากหลังมันแปลกที่คุณรู้

μ

$\mu$ ซึ่งหาได้ยากในทางปฏิบัติ ถ้าในอดีตใช่แล้วมันเป็นความจริงสำหรับเครื่องแบบที่ไม่ต่อเนื่อง (เพราะเป็นผลรวม) (เพราะน้ำหนักเป็นเครื่องแบบทั้งหมด)

— เทย์เลอร์

1

สิ่งแรกที่ต้องเข้าใจคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (STD) จะแตกต่างจากการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย ทั้งสองกำหนดคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันเกี่ยวกับข้อมูล

ซึ่งแตกต่างจากค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (std) น้ำหนักมากกว่าค่าที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยซึ่งจะทำโดยการยกกำลังสองค่าความแตกต่าง

เช่นสำหรับจุดข้อมูลสี่จุดต่อไปนี้:

\begin{array}{ccc} D a t a (x) & | x - m e a n | & (x - m e a n)^{2} \\ 2 & 2 & 4 \\ - 2 & 2 & 4 \\ - 6 & 6 & 36 \\ 6 & 6 & 36 \\ \sum x = 0 & \sum (| x - m e a n |) = 16 & \sum (x - m e a n)^{2} = 80 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Data (x)& |x - mean| & (x-mean)^2 \\ \hline 2 & 2 & 4\\ \hline -2 &2 &4\\ \hline -6 &6 &36\\ \hline 6 &6 &36\\ \hline \sum x =0 & \sum (|x-mean|) = 16 & \sum (x-mean)^2 = 80 \end{array}$

ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย (aad) $= 16/4 = 4.0$ และ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (std) = $\sqrt{80/4} = \sqrt 20 = 4.47$

ในข้อมูลมีจุดสองจุดซึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย 6 จุดและสองจุดซึ่งห่างจากค่าเฉลี่ย 2 จุด ดังนั้นการเบี่ยงเบนของ 4.47 จึงสมเหตุสมผลมากกว่า 4

เนื่องจากการสังเกตโดยรวมอยู่เสมอ $N$ สำหรับการคำนวณมาตรฐานเราไม่ได้ดำน้ำโดย $\sqrt N$ แต่เราหารความแปรปรวนทั้งหมดด้วย $N$ และนำสแควร์รูทของมันไปยังหน่วยเดียวกันกับข้อมูลดั้งเดิม

— aumpen
แหล่งที่มา

0

@Mahesh Subramaniya - นี้เป็นเพียงแค่บิดทางคณิตศาสตร์ เมื่อเรามีคุณค่าดั้งเดิมเช่น $a/b = (-)d$ . เราสามารถได้ค่าเดียวกันโดยใช้สมการสองตัวนี้ ${a}^2\diagup{b}=c$ และ $\sqrt{c\diagup{b}}=d$ .

เช่นทำกับ ${-5}\diagup{2}$ = $-2.5$ . แต่เราต้องการเพียงค่าไม่ใช่ลบ

ตอนนี้ ${-5}^2\diagup{2}=12.5$ . และ $\sqrt{12.5\diagup{2}}=2.5$

— Ellephy
แหล่งที่มา