จำนวนครั้งที่คาดว่าค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์จะเกินค่า

เมื่อพิจารณาลำดับของตัวแปรสุ่มของ iid ให้พูดว่าสำหรับฉันกำลังพยายามที่จะคาดเดาจำนวนครั้งที่ค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์จะเกินค่า, , ในขณะที่เรายังคงดึงตัวอย่างนั่นคือ: $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

หากเราสมมติว่าสำหรับบางอย่างเราสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffding ในการมาถึง $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

ข้อใดดูดี (อาจ) แต่จริง ๆ แล้วค่อนข้างจะหลวมมีวิธีใดที่ดีกว่าในการ จำกัด ค่านี้หรือไม่? ฉันคาดหวังว่าอาจจะมีวิธีหนึ่งเนื่องจากเหตุการณ์ที่แตกต่างกัน (สำหรับแต่ละ ) นั้นไม่ชัดเจนอย่างอิสระฉันไม่ได้ตระหนักถึงวิธีการใช้ประโยชน์จากการพึ่งพาอาศัยกันนี้ นอกจากนี้ยังเป็นการดีที่จะลบข้อ จำกัด ที่มากกว่าค่าเฉลี่ย $j$ $c$

แก้ไข : ข้อ จำกัด ในการเกินกว่าค่าเฉลี่ยสามารถลบออกได้ถ้าเราใช้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟดังนี้: $c$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$ ซึ่งเป็นแบบทั่วไป แต่แย่กว่าขอบเขตที่กล่าวถึงข้างต้นแม้ว่าจะชัดเจนว่าจะต้องแยกออกจากกันเมื่อใดก็ตามที่[X]

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— fairidox
แหล่งที่มา

คำจำกัดความของคุณไม่ได้หลอกลวงด้วยคำอธิบายของคุณ ถ้า " " ถูกถอดออกมามันจะเป็นที่คาดว่าจำนวนของ exceedances ของแต่ตามที่เขียนไว้ว่ามันคือการรวมกันเชิงเส้นของเวลา มันไม่ได้คาดหวังอย่างชัดแจ้งเพราะความน่าจะเป็นไม่ได้เกิดร่วมกัน ตัวอย่างเช่นเมื่อ , 2

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

— whuber

@ โฮ่โอ้ใช่แล้วจุดดีขอบคุณฉันแก้ไขมันไว้แล้ว

— fairidox

ฉันสังเกตเห็นคุณเปลี่ยนขอบเขตบนของคุณ ดูเหมือนว่าจะเป็นลบ ;-)

— whuber

ไม่ควรใช้ " " ในเลขชี้กำลังยกกำลังสอง? - ตกลงได้ง่ายขึ้นด้วยโดเมน [0,1]

j

$j$

— Alecos Papadopoulos

นี่เป็นวิธีที่ทำขึ้นด้วยมือและฉันขอขอบคุณสำหรับความคิดเห็นบางส่วน (และผู้วิจารณ์มักจะเป็นประโยชน์ที่สุด) หากฉันเข้าใจอย่างถูกต้อง OP จะคำนวณตัวอย่างหมายถึงโดยที่แต่ละตัวอย่างมีการสังเกต +1 ตัวอย่างก่อนหน้าจาก rv ใหม่แสดงว่าการกระจายของแต่ละค่าเฉลี่ยตัวอย่าง จากนั้นเราสามารถเขียน $\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} (1 - F_{j} (c)) = n - \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (c)

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

พิจารณาขนาดของกลุ่มตัวอย่างหลังจากที่การกระจายของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเป็นปกติเกือบแสดงมันG จากนั้นเราสามารถเขียน $m$ $\hat G$

T = n - \sum_{j = 1}^{m} F_{j} (c) - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c) < n - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c)

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

การแก้เราได้รับ โดยที่เป็นมาตรฐานปกติ cdf,คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกระบวนการ iid และคือค่าเฉลี่ย ใส่เข้าไปในขอบเขตและจัดเรียงใหม่ที่เราได้รับ $\hat G_j(c)$

{\hat{G}}_{j} (c) = 1 - Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (μ - c))

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < m + \sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

โปรดทราบว่าขอบเขตนี้ขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของกระบวนการด้วย นี่เป็นข้อผูกมัดที่ดีกว่าคำถามที่นำเสนอในคำถามหรือไม่ สิ่งนี้จะขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยตัวอย่างอย่างรวดเร็วว่า "ปกติ" จะกลายเป็น "เกือบปกติ" เพื่อให้เป็นตัวอย่างตัวเลขสมมติว่า 30 สมมติว่าตัวแปรสุ่มในเครื่องแบบ[0,1]แล้วและ12 พิจารณาค่าเบี่ยงเบน 10% จากค่าเฉลี่ยคือตั้งAแล้ว: สำหรับขอบเขตที่ฉันเสนอ (ซึ่งมีความหมายสำหรับ ) จะแน่นขึ้น สำหรับขอบเขต Hoeffding คือ $m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ ในขณะที่ถูกผูกไว้ผมเสนอเป็น36.2Hoeffding ผูกพันลู่ไปขณะที่ผูกผมเสนอให้ถ้าคุณเพิ่มความแตกต่างระหว่างสองขอบเขตลด แต่ยังคงมองเห็น: เพื่อการเบี่ยงเบน 20%,ที่ Hoeffding ผูกพันลู่ไปในขณะที่ ฉันขอเสนอข้อผูกมัดกับ (เช่นผลรวมของ cdfs ปกติมีส่วนน้อยมากกับขอบเขตโดยรวม) โดยทั่วไปค่อนข้างมากเราทราบว่าสำหรับ Hoeffding มุ่งไปที่ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$ ในขณะที่ฉันถูกผูกไว้กับ

A_{b} \to m

$A_b \rightarrow m$

เนื่องจากค่าขนาดเล็กของ (ซึ่งค่อนข้างเป็นกรณีที่น่าสนใจ)กลายเป็นจำนวนมากยังคงมีกรณีที่อาจมีประสิทธิภาพสูงกว่าในความหนาแน่นแม้ว่าตัวอย่างเป็นเช่นนั้นการกระจายตัวของตัวอย่างเฉลี่ยหมายถึงช้า การแจกแจงแบบปกติ $a$ $H_b$ $A_b$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

" (กล่าวคือไม่เกินขีด จำกัด ขนาดตัวอย่างที่สมมติว่าต้องการเพื่อให้การประมาณปกติในการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง) " คุณกำลังพูดถึงอะไรที่นี่?

— Glen_b -Reinstate Monica

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

จนกว่าคุณจะสามารถระบุภายใต้สถานการณ์ที่มันถือโปรดหลีกเลี่ยงการเรียกร้องสิ่งที่กฎของหัวแม่มือในความหมายทั่วไป รูปที่ 30 มีความอิสระอย่างสมบูรณ์ (โดยปกติแล้วจะอ่อนแอหรือแข็งแรงเกินไป) และ 30 ในกรณีของคุณก็คือผมเชื่อว่าความบังเอิญง่าย ๆ

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b "30" ไม่ได้เป็นเรื่องบังเอิญ - ฉันเพิ่งใช้มันเพื่อเป็นตัวอย่างของตัวเลข ฉันไม่คัดค้านเรื่องนี้ฉันไม่ชอบ "กฎของหัวแม่มือ" (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพวกเขาสงสัย) ฉันได้ทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่างในคำตอบของฉัน ขอบคุณสำหรับการป้อนข้อมูล

— Alecos Papadopoulos

@Glen_b ขอบคุณสำหรับความทรงจำที่ไม่คงที่ (เช่นยาว)!

— Alecos Papadopoulos