วิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบ 2 มิติด้วยค่าเฉลี่ย 0 ล้อมรอบด้วยขีด จำกัด

ปัญหาของฉันเป็นดังนี้: ฉันวาง 40 ลูกในคราวเดียวจากจุดหนึ่งไม่กี่เมตรเหนือพื้น ลูกบอลกลิ้งและมาพัก เมื่อใช้สายตาคอมพิวเตอร์ฉันคำนวณจุดศูนย์กลางมวลในระนาบ XY ฉันสนใจเฉพาะระยะทางจากจุดศูนย์กลางของมวลไปยังลูกบอลแต่ละลูกซึ่งคำนวณโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย ตอนนี้ฉันอยากรู้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้านเดียวจากศูนย์กลาง ดังนั้นฉันจะสามารถรู้ได้ว่ามีลูกบอลจำนวนหนึ่งอยู่ในรัศมี std หนึ่งลูกมากกว่าภายในรัศมี 2 * std เป็นต้น ฉันจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้านเดียวได้อย่างไร วิธีการปกติจะระบุว่าครึ่งหนึ่งของลูกบอลอยู่ใน "ด้านลบ" ของค่าเฉลี่ย 0 แน่นอนว่าไม่มีเหตุผลในการทดลองนี้ ฉันต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าลูกบอลเป็นไปตามการกระจายมาตรฐานหรือไม่ ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ

เพื่อบอกลักษณะการกระจายตัวแบบ 2 มิติรอบเซนทรอยด์คุณแค่ต้องการ (ราก) หมายถึงระยะทางกำลังสอง

$$\hat\sigma=\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_i\left((x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2\right)}.$$

ในสูตรนี้ $(x_i, y_i), i=1, 2, \ldots, n$ คือพิกัดจุดและเซนทรอยด์ (จุดเฉลี่ย) คืออะไร $(\bar{x}, \bar{y}).$

---

คำถามจะถามถึงการกระจายของระยะทาง เมื่อลูกบอลมีการกระจายตัวแบบ isotropic bivariate ปกติรอบเซนทรอยด์ของพวกเขา - ซึ่งเป็นสมมติฐานมาตรฐานและมีเหตุผลทางร่างกาย - ระยะกำลังสองเป็นสัดส่วนกับการแจกแจงไคสแควร์ที่มีอิสระสององศา (หนึ่งสำหรับแต่ละพิกัด) นี่เป็นผลโดยตรงของการนิยามหนึ่งของการแจกแจงแบบไคสแควร์เป็นผลรวมของกำลังสองของตัวแปรปกติมาตรฐานอิสระเพราะ

$$x_i - \bar{x} = \frac{n-1}{n}x_i - \sum_{j\ne i}\frac{1}{n}x_j$$ เป็นการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรอิสระอิสระที่มีความคาดหวัง $$\mathbb{E}[x_i - \bar{x}] = \frac{n-1}{n}\mathbb{E}[x_i] -\sum_{j\ne i}\frac{1}{n}\mathbb{E}[x_j] = 0.$$ การเขียนความแปรปรวนร่วมของ $x_i$ เช่น $\sigma^2$, $$\mathbb{E}[\left(x_i -\bar{x}\right)^2]=\text{Var}(x_i - \bar{x}) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\text{Var}(x_i) + \sum_{j\ne i}\left(\frac{1}{n}\right)^2\text{Var}(x_j) = \frac{n-1}{n}\sigma^2.$$ ข้อสันนิษฐานของ anisotropy คือ $y_j$ มีการกระจายตัวเช่นเดียวกับ $x_i$ และเป็นอิสระจากพวกเขาดังนั้นผลลัพธ์ที่เหมือนกันจึงมีไว้สำหรับการกระจายของ $(y_j - \bar{y})^2$. สิ่งนี้กำหนดค่าคงที่ของสัดส่วน: สี่เหลี่ยมของระยะทางมีการแจกแจงแบบไคสแควร์พร้อมอิสระสององศา$\frac{n-1}{n}\sigma^2$.

การทดสอบที่รุนแรงที่สุดของสมการเหล่านี้เป็นกรณี $n=2$สำหรับส่วนที่แล้ว $\frac{n-1}{n}$ แตกต่างจากมากที่สุด $1$. โดยจำลองการทดลองทั้งสองแบบสำหรับ$n=2$ และ $n=40$และการทำกราฟฮิสโตแกรมของระยะทางไกลด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่ปรับขนาด (สีแดง) เราสามารถตรวจสอบทฤษฎีนี้ได้

แต่ละแถวแสดงข้อมูลเดียวกัน: ด้านซ้ายแกน x คือลอการิทึม ทางด้านขวาจะแสดงระยะทางกำลังสองที่เกิดขึ้นจริง คุณค่าที่แท้จริงของ$\sigma$ สำหรับการจำลองเหล่านี้ถูกตั้งค่าเป็น $1$.

ผลลัพธ์เหล่านี้มีไว้สำหรับ 100,000 รอบด้วย $n=2$ และ 50,000 ซ้ำด้วย $n=40$. ข้อตกลงระหว่างฮิสโทแกรมและความหนาแน่นไคสแควร์นั้นยอดเยี่ยม

---

แม้ว่า $\sigma^2$ไม่เป็นที่รู้จักสามารถประเมินได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่นระยะทางกำลังสองเฉลี่ยควรเป็น$\frac{n-1}{n}\sigma^2$ คูณด้วยค่าเฉลี่ยของ $\chi^2_2$, ซึ่งเป็น $2$. กับ$n=40$ตัวอย่างเช่นประมาณ $\sigma^2$ เช่น $\frac{40}{39}/2$คูณระยะกำลังสองเฉลี่ย ดังนั้นการประมาณ$\sigma$ อยากจะเป็น $\sqrt{40/78}$คูณระยะทาง RMS การใช้ค่านิยมของ$\chi^2_2$ การกระจายเราสามารถพูดได้ว่า:

• ประมาณ 39% ของระยะทางจะน้อยกว่า $\sqrt{39/40}\hat\sigma$เนื่องจาก 39% ของ $\chi^2_2$ การกระจายน้อยกว่า $1$.

• ประมาณ 78% ของระยะทางจะน้อยกว่า $\sqrt{3}$ ครั้ง $\sqrt{39/40}\hat\sigma$เพราะ 78% ของ $\chi^2_2$ การกระจายน้อยกว่า $3$.

ดังนั้นสำหรับหลาย ๆ อย่างที่คุณต้องการใช้แทน $1$ หรือ $3$. เป็นการตรวจสอบในแบบจำลองสำหรับ$n=40$ วางแผนไว้ก่อนหน้านี้สัดส่วนที่แท้จริงของระยะทางกำลังสองน้อยกว่า $1, 2, \ldots, 10$ ครั้ง $\frac{n-1}{n}\hat\sigma^2$ มี

0.3932 0.6320 0.7767 0.8647 0.9178 0.9504 0.9700 0.9818 0.9890 0.9933

สัดส่วนทางทฤษฎีคือ

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

ข้อตกลงเป็นเลิศ

---

นี่คือRรหัสในการดำเนินการและวิเคราะห์แบบจำลอง

f <- function(n, n.iter, x.min=0, x.max=Inf, plot=TRUE) {
  #
  # Generate `n.iter` experiments in which `n` locations are generated using
  # standard normal variates for their coordinates.
  #
  xy <- array(rnorm(n*2*n.iter), c(n.iter,2,n))
  #
  # Compute the squared distances to the centers for each experiment.
  #
  xy.center <- apply(xy, c(1,2), mean)
  xy.distances2 <- apply(xy-array(xy.center, c(n.iter,2,n)), c(1,3), 
                         function(z) sum(z^2))
  #
  # Optionally plot histograms.
  #
  if(plot) {
    xy.plot <- xy.distances2[xy.distances2 >= x.min & xy.distances2 <= x.max]

    hist(log(xy.plot), prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of log squared distance, n=", n),
         xlab="Log squared distance")
    curve(dchisq(n/(n-1) * exp(x), df=2) * exp(x) * n/(n-1), 
          from=log(min(xy.plot)), to=log(max(xy.plot)), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)

    hist(xy.plot, prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of squared distance, n=", n),
         xlab="Squared distance")
    curve(n/(n-1) * dchisq(n/(n-1) * x, df=2), 
          from=min(xy.plot), to=max(xy.plot), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)  
  }
  return(xy.distances2)
}
#
# Plot the histograms and compare to scaled chi-squared distributions.
#
par(mfrow=c(2,2))
set.seed(17)
xy.distances2 <- f(2, 10^5, exp(-6), 6)
xy.distances2 <- f(n <- 40, n.iter <- 50000, exp(-6), 12)
#
# Compare the last simulation to cumulative chi-squared distributions.
#
sigma.hat <- sqrt((n / (2*(n-1)) * mean(xy.distances2)))
print(cumsum(tabulate(cut(xy.distances2, 
                    (0:10) * (n-1)/n * sigma.hat^2))) / (n*n.iter), digits=4)
print(pchisq(1:10, df=2), digits=4)

ฉันคิดว่าคุณมีบางสิ่งที่สับสนเล็กน้อย จริงอยู่ที่ระยะทางไม่สามารถลบได้ แต่นั่นไม่ส่งผลต่อการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน แม้ว่ามันจะหมายถึงการกระจายตัวของระยะทางไม่เป็นปกติอย่างแน่นอนแต่ก็ยังสามารถปิดได้ แต่แม้ว่ามันจะไกลจากปกติก็ยังมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นอกจากนี้ยังไม่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน "ด้านเดียว" คือคุณอาจคิดถึงการทดสอบสมมติฐาน (ซึ่งอาจเป็นด้านเดียวหรือสองด้าน) ในชื่อเรื่องของคุณคุณบอกว่าค่าเฉลี่ยคือ 0 แต่ระยะทางเฉลี่ยจะไม่เท่ากับ 0 (เว้นแต่ว่าลูกบอลอยู่ในกอง 40 ลูกสูง!) และคุณบอกว่ามีข้อ จำกัด - อาจมีข้อ จำกัด ถ้าลูกตก ห้องหนึ่งแล้วพวกเขาไม่สามารถอยู่ห่างจากศูนย์กลางได้ไกลกว่าผนังที่ใกล้ที่สุด แต่ถ้าลูกบอลบางลูกกระเด้งกับกำแพงนั่นจะไม่กระทบอะไร

ดังนั้นเมื่อคุณมี 40 ระยะทางคุณจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (และค่าเฉลี่ยมัธยฐาน, ค่าพิสัยระหว่างควอไทล์และอื่น ๆ ) โดยใช้วิธีมาตรฐาน นอกจากนี้คุณยังสามารถทำพล็อตของระยะทาง (เช่นพล็อตปกติแบบควอไทล์, พล็อตแบบกล่อง) เพื่อดูว่ามันกระจายแบบปกติหรือไม่

เป็นเวลานานแล้วที่สิ่งนี้ถูกถาม แต่คำตอบของคำถามก็คือนี่คือการแจกแจงแบบ 2 มิติที่ชื่อการกระจาย Rayleigh นี่คือสมมติฐานคือปัจจัยรูปร่าง Rayleigh เท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของพิกัด X และ Y ในทางปฏิบัติค่าของปัจจัยรูปร่างจะถูกคำนวณจากค่าเฉลี่ยรวมของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ X และ Y

เริ่มต้นด้วย

$$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$$ และ $$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$$

ใช้การแจกแจงแบบปกติ bivariant

$$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)$$

แปลไปยังจุด

$$(\mu_x, \mu_y)$$ และสมมติว่า $$\rho = 0$$ .

ยังสมมติว่า

$$\sigma_x^2 = \sigma_y^2$$ ดังนั้นแทนที่ด้วย $$\sigma^2$$

ดังนั้นการกระจายแบบ 2 มิติจะแสดงเป็นรัศมีรอบจุด

$$(\mu_x, \mu_y)$$ ซึ่งเป็นที่รู้จักในฐานะผู้จัดจำหน่ายเรย์ลี

$$PDF(r; \sigma) = \frac{r}{\sigma^2 } \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$ ที่ไหน $$\sigma = \sigma_x = \sigma_y$$ และ $$r_i = \sqrt{(x_i - \mu_x)^2 + (y_i - \mu_y)^2}$$

$$CDF(r; \sigma) = 1 - \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$

แน่นอนว่านี่คือการกระจายอย่างต่อเนื่อง สำหรับตัวอย่างของลูกบอลเพียง 40 ลูกไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน คุณต้องทำการวิเคราะห์มอนติคาร์โลด้วยตัวอย่างลูกบอล 40 ลูก เทย์เลอร์, นางสาว & กรับส์, แฟรงค์อี (1975) "การแจกแจงความน่าจะเป็นโดยประมาณสำหรับการแพร่กระจายสุดขีด"พบการประมาณค่าสำหรับการแจกแจงแบบไคและบันทึกปกติที่เหมาะกับการกระจายตัวของตัวอย่าง

---

แก้ไข - แม้จะมีข้อสงสัยของ Wuber สัดส่วนทางทฤษฎีที่เขาคำนวณคือ:

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

จากฟังก์ชัน CDF ค่า Sigma สะสมสำหรับ r (เป็น sigmas) เท่ากับช่วงจาก:

0-1, 0-2, 0-3, ... , 0-10

คือ:

0.3935, 0.6321, 0.7769, 0.8647, 0.9179, 0.9502, 0.9698, 0.9817, 0.9889, 0.9933

การแจกแจงแบบปกติทั้งค่าบวกและลบจะสมเหตุสมผลถ้าคุณรู้ว่าการแจกแจงแบบปกตินี้ใช้สำหรับรัศมีหรือ "ระยะทางจากเซนทรอยด์" ตัวแปร, มุม, สุ่มและกระจายอย่างสม่ำเสมอจาก 0-pi