คำจำกัดความของเวลาความสัมพันธ์อัตโนมัติ (สำหรับขนาดตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ)

ฉันได้พบคำจำกัดความสองข้อในวรรณคดีสำหรับช่วงเวลาของความสัมพันธ์อัตโนมัติของอนุกรมเวลาที่ไม่คงที่:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

ที่เป็นอัตที่ล่าช้าk $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

โปรแกรมประยุกต์หนึ่งของเวลาอัตคือการหา "ขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ": ถ้าคุณมีสังเกตของอนุกรมเวลาและคุณรู้ว่าเวลาของอัตแล้วคุณสามารถหลอกว่าคุณมี$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

ตัวอย่างอิสระแทนมีความสัมพันธ์กันเพื่อวัตถุประสงค์ในการหาค่าเฉลี่ย การประมาณจากข้อมูลนั้นไม่ใช่เรื่องไร้สาระ แต่มีวิธีการสองสามวิธี (ดูThompson 2010 )$n$$\tau$

คำนิยามที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์ดูเหมือนจะพบได้บ่อยในวรรณคดี แต่ก็ยอมรับว่าเป็นไปได้ของ<1 ใช้ R และแพ็คเกจ "coda":τ a < $\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

ฟังก์ชั่น "effectiveSize" ใน "coda" ใช้คำจำกัดความของเวลาความสัมพันธ์อัตโนมัติที่เทียบเท่ากับด้านบน มีบางแพคเกจ R อื่น ๆ ออกมีที่มีประสิทธิภาพการคำนวณขนาดของกลุ่มตัวอย่างหรืออัตเวลาและทุกคนที่ผมได้พยายามผลให้สอดคล้องกับการนี้ว่า AR (1) กระบวนการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบ AR มีมากขึ้นตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพกว่าความสัมพันธ์ อนุกรมเวลา ดูเหมือนว่าจะแปลก $\tau_a$

เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในนิยามของเวลาของความสัมพันธ์อัตโนมัติ$\tau_b$

คำจำกัดความที่ถูกต้องของเวลาของความสัมพันธ์อัตโนมัติคืออะไร? มีบางอย่างผิดปกติหรือไม่ที่ฉันเข้าใจขนาดตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพหรือไม่ ผลลัพธ์ที่ปรากฏข้างต้นดูเหมือนว่ามันจะต้องเป็นผิด ... สิ่งที่เกิดขึ้น?$n_\text{eff} > n$

ข้อแรกคำจำกัดความที่เหมาะสมของ "ขนาดตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ" คือ IMO ที่เชื่อมโยงกับคำถามที่เฉพาะเจาะจง ถ้ามีการกระจายตัวเหมือนกันกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 1 ค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์ เป็นตัวประมาณค่าที่เป็นกลาง\แต่แล้วความแปรปรวนของมันล่ะ? สำหรับอิสระตัวแปรแปรปรวนเป็น1} สำหรับอนุกรมเวลาที่นิ่งนิ่งความแปรปรวนของคือ μ μ = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$μn-1 μ

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$nneff=n/τan - 1 eff nneffneff=n/τ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ ประมาณที่ถูกต้องสำหรับขนาดใหญ่พอที่nหากเรากำหนดความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์สำหรับอนุกรมเวลาที่อยู่นิ่ง ๆ จะอยู่ที่ประมาณซึ่งเป็นความแปรปรวนเดียวกัน ราวกับว่าเรามีตัวอย่างอิสระดังนั้นเป็นคำจำกัดความที่เหมาะสมหากเราขอความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์ มันอาจไม่เหมาะสมสำหรับวัตถุประสงค์อื่น$n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

ด้วยความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างการสังเกตเป็นไปได้อย่างแน่นอนว่าความแปรปรวนอาจน้อยกว่า ( ) นี่เป็นเทคนิคการลดความแปรปรวนที่เป็นที่รู้จักกันดีในการบูรณาการ Monto Carlo: หากเราแนะนำความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างตัวแปรแทนที่จะเป็นความสัมพันธ์ 0 เราสามารถลดความแปรปรวนได้โดยไม่ต้องเพิ่มขนาดตัวอย่าง n eff > $n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

ดู http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

และ

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

สำหรับขนาดตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ ฉันคิดว่าการกำหนดทางเลือกโดยใช้อัตราส่วนของความแปรปรวนตัวอย่างและความแปรปรวนของห่วงโซ่มาร์คอฟแบบอะซิมโทติคผ่านค่าเฉลี่ยแบทช์เป็นตัวประมาณที่เหมาะสมกว่า