ความสัมพันธ์ที่สามารถบรรลุได้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบเลขชี้กำลัง

ช่วงของความสัมพันธ์ที่สามารถบรรลุได้สำหรับคู่ของตัวแปรสุ่มแบบกระจายและโดยที่คืออะไร พารามิเตอร์อัตรา?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Let (resp. \ โร _ {\ สูงสุด} ) หมายถึงต่ำ (resp. บน) ผูกพันของความสัมพันธ์ระหว่างสำเร็จX_1และX_2 ขอบเขต\ rho _ {\ min}และ\ rho _ {\ max}จะมาถึงเมื่อX_1และX_2ตามลำดับ countermonotonic และ comonotonic (ดูที่นี่ )$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

ขอบเขตล่าง
เพื่อกำหนดขอบเขตล่างเราสร้างตัวแปรเลขชี้กำลังเป็นคู่คู่และคำนวณความสัมพันธ์ของพวกเขา$\rho_{\min}$

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่กล่าวถึงในที่นี้และการแปลงอินทิกรัลแบบน่าจะเป็นวิธีที่สะดวกในการสร้างตัวแปรสุ่มและเช่นที่พวกเขาเป็น countermonotonic โปรดจำไว้ว่าฟังก์ชันการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคือดังนั้นฟังก์ชันควอนไทล์คือ-q)$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

ปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มกระจายอย่างสม่ำเสมอจากนั้นจะกระจายอย่างสม่ำเสมอและตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีอัตราและตามลำดับ นอกจากนี้ยังมี countermonotonic ตั้งแต่และและฟังก์ชั่นและกำลังเพิ่มและยกเลิกการลบตามลำดับ$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

ตอนนี้ขอคำนวณความสัมพันธ์ของและX_2ด้วยคุณสมบัติของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเรามี , ,และ2} นอกจากนี้เรายังมี โดยที่$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของการกระจายชุดมาตรฐาน เพื่อความเท่าเทียมกันสุดท้ายที่ผมอาศัยในWolframAlpha

ดังนั้น โปรดทราบว่าขอบล่างไม่ได้ขึ้นอยู่กับอัตราและและความสัมพันธ์ไม่เคยถึงแม้ว่าขอบทั้งสองจะเท่ากัน (เช่นเมื่อ )

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

ขอบเขตบน
เพื่อกำหนดขอบเขตบนเราทำตามวิธีการที่คล้ายกันกับคู่ของตัวแปรเลขยกกำลัง comonotonic ตอนนี้ให้และโดยที่ และซึ่งทั้งสองฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น ดังนั้นตัวแปรสุ่มเหล่านี้เป็น comonotonic และทั้งสองกระจาย exponentialy มีอัตราและ\$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

เรามี ดังนั้น ในทำนองเดียวกันกับที่ต่ำกว่าผูกพันผูกพันบนไม่ขึ้นอยู่กับอัตราและ\

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$