กระบวนการ AR (1) ที่มีข้อผิดพลาดในการวัดที่ต่างกัน

1. ปัญหา

ฉันมีการวัดตัวแปรโดยที่ซึ่งฉันมีการแจกแจงได้รับผ่าน MCMC ซึ่งสำหรับความเรียบง่ายฉันจะถือว่าเป็น gaussian ของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 $y_t$ $t=1,2,..,n$ $f_{y_t}(y_t)$ $\mu_t$ $\sigma_t^2$

ฉันมีแบบจำลองทางกายภาพสำหรับการสังเกตเหล่านั้นพูดแต่ส่วนที่เหลือดูเหมือนจะมีความสัมพันธ์; โดยเฉพาะอย่างยิ่งผมมีเหตุผลทางกายภาพที่จะคิดว่าขั้นตอนจะพอเพียงที่จะคำนึงถึงความสัมพันธ์และผมวางแผนที่จะได้รับค่าสัมประสิทธิ์ของความพอดีผ่าน MCMC ซึ่งฉันต้องการโอกาส ฉันคิดว่าวิธีการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย แต่ฉันไม่แน่ใจ (ดูเหมือนง่ายมากที่ฉันคิดว่าฉันขาดอะไรไป) $g(t)$ $r_t = \mu_t-g(t)$ $AR(1)$

2. ได้รับโอกาส

โพรเซสเป็นศูนย์สามารถเขียนเป็น: โดยที่ฉันจะถือว่า2) ดังนั้นพารามิเตอร์ที่จะประมาณคือ (ในกรณีของฉันฉันต้องเพิ่มพารามิเตอร์ของรุ่นแต่นั่นไม่ใช่ปัญหา) สิ่งที่ฉันสังเกตคือตัวแปร ที่ฉันสมมติว่าและเป็นที่รู้จัก ( ข้อผิดพลาดในการวัด) เนื่องจากเป็นกระบวนการแบบเกาส์จึงเป็นเช่นกัน โดยเฉพาะฉันรู้ว่า $AR(1)$

X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}, (1)

$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$

ε_{t} \sim N (0, σ_{w}^{2})

$\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$

θ = {ϕ, σ_{w}^{2}}

$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$

g (t)

$g(t)$

R_{t} = X_{t} + η_{t}, (2)

$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$

η_{t} \sim N (0, σ_{t}^{2})

$\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$

σ_{t}^{2}

$\sigma_t^2$

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_t$

X_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}]),

$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$ ดังนั้น ความท้าทายต่อไปคือการได้รับสำหรับ1 หากต้องการรับการแจกแจงของตัวแปรสุ่มนี้ให้สังเกตว่าใช้ eq ฉันสามารถเขียน ใช้ eq และใช้คำจำกัดความของ eq ฉันสามารถเขียน ใช้ eq ในนิพจน์สุดท้ายนี้จากนั้นฉันได้รับ ดังนั้น

R_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2}) .

$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$

R_{t} | R_{t - 1}

$R_t|R_{t-1}$

t \neq 1

$t\neq 1$

(2)

$(2)$

X_{t - 1} = R_{t - 1} - η_{t - 1} . (3)

$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$

(2)

$(2)$

(1)

$(1)$

R_{t} = X_{t} + η_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t} + η_{t} .

$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$

(3)

$(3)$

R_{t} = ϕ (R_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$

R_{t} | R_{t - 1} = ϕ (r_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$ ดังนั้น ในที่สุดฉันสามารถเขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็น ที่คือการแจกแจงของตัวแปรที่ฉันเพิ่งกำหนด, .ie, การกำหนด และกำหนด

R_{t} | R_{t - 1} \sim N (ϕ r_{t - 1}, σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}) .

$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$

L (θ) = f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) \prod_{t = 2}^{n} f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}),

$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

σ^{' 2} = σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2},

$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$

f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{' 2}}} exp (- \frac{r_{1}^{2}}{2 σ^{' 2}}),

$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$

σ^{2} (t) = σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}

$\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$

f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} (t)}} exp (- \frac{(r_{t} - ϕ r_{t - 1})^{2}}{2 σ^{2} (t)})

$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$

3. คำถาม

ที่มาของฉันตกลงไหม ฉันไม่มีทรัพยากรที่จะเปรียบเทียบนอกเหนือจากการจำลอง (ซึ่งดูเหมือนจะเห็นด้วย) และฉันไม่ใช่นักสถิติ!
มีสิ่งใดที่ได้รับมาในวรรณคดีสำหรับหรือการเข้าหรือไม่? $MA(1)$ $ARMA(1,1)$ การศึกษาความโดยทั่วไปที่สามารถระบุเฉพาะกรณีนี้จะเป็นสิ่งที่ดี $ARMA(p,q)$

— Néstor
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้มีทางออกสำหรับคุณ แต่ฉันคิดว่านี่เป็นปัญหาตัวแปรข้อผิดพลาด ฉันได้เห็นสิ่งนี้ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์มหภาคโดย Thomas Sergent (หนังสือยุค 1980) คุณอาจต้องการดูที่หนึ่ง

— วัด

ขอบคุณสำหรับอินพุต @Metrics ฉันจะตรวจสอบหนังสือ!

— Néstor

คำตอบ:

คุณกำลังติดตามขวา แต่คุณได้ทำผิดพลาดในการสืบมากระจายของรับ : หมายถึงเงื่อนไขไม่ได้{t-1} มันคือโดยที่เป็นค่าประมาณดีที่สุดของคุณจากช่วงก่อนหน้า ค่าของมีข้อมูลจากการสังเกตก่อนหน้านี้เช่นเดียวกับ{t-1} (หากต้องการดูสิ่งนี้ให้พิจารณาสถานการณ์ที่และน้อยมากดังนั้นคุณจึงประเมินค่าเฉลี่ยคงที่ได้อย่างมีประสิทธิภาพหลังจากการสังเกตจำนวนมากความไม่แน่นอนเกี่ยวกับของคุณจะน้อยกว่ามาก $R_t$ $R_{t-1}$ $\phi r_{t-1}$ $\phi \widehat{x}_{t-1}$ $\widehat{x}_{t-1}$ $X$ $\widehat{x}_{t-1}$ $r_{t-1}$ $\sigma_w$ $\phi$ $X$ $\sigma_{\eta}$ .) นี้สามารถทำให้เกิดความสับสนในตอนแรกเพราะคุณสังเกตและไม่Xนั่นก็หมายความว่าคุณกำลังติดต่อกับรูปแบบของรัฐพื้นที่ $R$ $X$
ใช่มีกรอบการทำงานทั่วไปมากสำหรับการใช้แบบจำลองเชิงเส้นแบบเกาส์กับข้อสังเกตที่มีเสียงดังที่เรียกว่าตัวกรองคาลมาน สิ่งนี้ใช้ได้กับทุกสิ่งที่มีโครงสร้าง ARIMA และรุ่นอื่น ๆ อีกมากมาย การเปลี่ยนแปลงเวลานั้นใช้ได้สำหรับตัวกรองคาลมาน แต่ก็ไม่ได้สุ่ม รุ่นที่มีตัวอย่างเช่นความผันผวนของ Stochastic นั้นต้องการวิธีการทั่วไปที่มากกว่า เพื่อดูว่าตัวกรองคาลมานที่ได้มาลองเดอร์บิน-คูปแมนหรือบทที่ 3 ของฮาร์วีย์ ในสัญกรณ์ฮาร์วีย์, รุ่นของคุณมี , , , ,และQ $\sigma_{\eta}$ $Z=1$ $d=c=0$ $H_t = \sigma_{\eta,t}^2$ $T=\phi$ $R=1$ $Q=\sigma^2_w$

— เจมี่ฮอลล์
แหล่งที่มา

สวัสดีเจมี่ขอบคุณสำหรับข้อมูลของคุณ ความเห็นสองสามข้อ: 1. ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนั้น ที่จริงแล้วความพยายามครั้งแรกของฉันเป็นวิธีแก้ปัญหา แต่ทั้งสัญชาตญาณและแบบจำลองของฉันไม่เห็นด้วย สิ่งนี้คือฉันไม่ได้สังเกต จริง ๆฉันสังเกต ; บวกคุณสามารถพิสูจน์ (ทางคณิตศาสตร์) ว่าค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขของตัวแปรสุ่ม (โปรดทราบว่าไม่ใช่ ) จริงๆแล้ว ? 2. คุณสามารถอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้ตัวกรองคาลมานกับปัญหานี้ได้หรือไม่?

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_{t}$

R_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}

$R_{t}|R_{t-1}=r_{t-1}$

R_{t} | X_{t - 1} = x_{t - 1}

$R_{t}|X_{t-1}=x_{t-1}$

ϕ {\hat{x}}_{t - 1}

$\phi \hat{x}_{t-1}$

— Néstor

สวัสดี Nestor ฉันได้แก้ไขคำตอบเพื่อตอบความคิดเห็นของคุณ หวังว่าจะช่วย

— Jamie Hall

สวัสดีเจมี่: ประมาณจุดที่สองก็โอเคขอบคุณ :-)! อย่างไรก็ตามฉันยังไม่เห็นจุดแรกของคุณ คุณช่วยชี้ให้ฉันดูเป็นทางการได้ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการทราบว่าส่วนใดของการให้เหตุผลของฉันผิด (และทำไม)!

— Néstor

คุณข้ามขั้นตอน: การกระจายของรับr_1มันคือโดยที่คือความแปรปรวนที่คุณคำนวณในขั้นตอนแรกและเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสองเท่าของและ 2 (นี่ก็เหมือนกับการอัพเดตแบบเบย์ด้วยไฟล์ PDF แบบเกาส์เซียนสองตัว) สมการของคุณ (3) ถูกต้องเป็นทางการ แต่คุณทิ้งข้อมูลโดยใช้สิ่งนั้นแทนที่จะใช้})

X_{1}

$X_1$

R_{1}

$R_1$

N (\frac{σ_{x, 1}^{2}}{(σ_{x, 1}^{2} + σ_{η, 1}^{2})} r_{1}, σ_{x, 2}^{2})

$N(\frac{\sigma^2_{x,1}}{(\sigma^2_{x,1}+\sigma^2_{\eta,1})} r_1, \sigma^2_{x,2})$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{x, 2}^{2}

$\sigma_{x,2}^2$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{η, 1}^{2}

$\sigma_{\eta,1}^2$

p (X_{t - 1} | R_{1 : t - 1})

$p(X_{t-1} | R_{1:t-1})$

— Jamie Hall

-1

สุจริตคุณควรเขียนโค้ดนี้ใน BUGs หรือ STAN และไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับมันจากที่นั่น ถ้านี่เป็นคำถามเชิงทฤษฎี

— DavidShor
แหล่งที่มา

(-1) ตอบสนองนี้; นี่เป็นคำถามเชิงทฤษฎีอย่างชัดเจน ;-) ลองพิจารณาปรับปรุงว่าทำไมคุณคิดว่าฉันควรเขียนโค้ดใน BUGs หรือ STAN และคำถามเดิมนั้นเกี่ยวข้องกับอะไร?

— Néstor