การเปลี่ยนแปลงอัตโนมัติของกระบวนการ ARMA (2,1) - ได้รับแบบจำลองการวิเคราะห์สำหรับ

ฉันต้องได้รับนิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชัน autocovarianceของกระบวนการ ARMA (2,1) แสดงโดย:$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

ดังนั้นฉันรู้ว่า:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

ดังนั้นฉันสามารถเขียน:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

จากนั้นเพื่อให้ได้รุ่นวิเคราะห์ของฟังก์ชัน autocovariance ฉันต้องแทนที่ค่า - 0, 1, 2 ... จนกว่าฉันจะได้รับการสอบถามซ้ำที่ถูกต้องสำหรับทั้งหมดที่มากกว่าจำนวนเต็มบางส่วน$k$$k$

ดังนั้นฉันแทนและทำงานผ่านเพื่อรับ:$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

ตอนนี้ฉันสามารถลดความซับซ้อนของคำศัพท์สองคำแรกจากนั้นให้แทนที่เหมือนเมื่อก่อน:$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

จากนั้นฉันก็คูณเทอมแปดนั่นคือ:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

ดังนั้นฉันเหลือต้องแก้ไขข้อกำหนดที่เหลืออีกสี่ข้อ ฉันต้องการใช้ตรรกะเดียวกันสำหรับบรรทัด 1, 2, 5 และ 6 ตามที่ฉันใช้กับบรรทัดที่ 4 และ 7 - ตัวอย่างเช่นสำหรับบรรทัดที่ 1:

E [ ϵ t - 1 ] = $\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$เพราะ 0$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

ในทำนองเดียวกันสำหรับบรรทัดที่ 2, 5 และ 6 แต่ฉันมีโซลูชันตัวแบบที่แนะนำการแสดงออกของลดความซับซ้อนของ:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการทำให้เข้าใจง่ายของฉันตามที่อธิบายไว้ข้างต้นจะคิดถึงคำที่มีค่าสัมประสิทธิ์ - ซึ่งภายใต้ตรรกะของฉันควรเป็น 0 ตรรกะของฉันเป็นความผิดหรือวิธีการแก้ปัญหาแบบที่ฉันพบไม่ถูกต้องหรือไม่$\phi_1$

วิธีแก้ปัญหาที่ทำงานยังแนะนำว่า "analogously"สามารถพบได้ใน:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

และสำหรับ :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

ฉันหวังว่าคำถามจะชัดเจน ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมมาก ขอบคุณล่วงหน้า.

นี่เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยของฉันและไม่ได้เตรียมความพร้อมสำหรับการสอบหรือหลักสูตรใด ๆ

หากกระบวนการ ARMA เป็นสาเหตุมีสูตรทั่วไปที่ให้ค่าสัมประสิทธิ์ autocovariance

พิจารณาสาเหตุกระบวนการ ที่เป็นเสียงสีขาวกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 โดยคุณสมบัติ causality กระบวนการสามารถเขียนเป็น ที่หมายถึง -weights$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

สมการเอกพันธ์ทั่วไปสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ autocovariance ของสาเหตุกระบวนการคือ โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

ความผิดพลาดในการคำนวณของคุณในคำถามเดิมของคุณนั้นอยู่ที่

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

คุณไม่สามารถแยกความคาดหวัง -และไม่เป็นอิสระ$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

ตกลง. ดังนั้นขั้นตอนการเขียนโพสต์จริง ๆ แล้วชี้ให้ฉันเห็นวิธีการแก้ปัญหา

พิจารณาเงื่อนไขความคาดหวังที่ 1, 2, 5 และ 6 จากด้านบนที่ฉันคิดว่าควรเป็น 0

สำหรับคำที่ 5 - - และ 6 - : แน่นอน ศูนย์เพราะและเป็นอิสระจากและ0$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

อย่างไรก็ตามคำที่ 1 และ 2 ดูเหมือนว่าความคาดหวังนั้นเป็นของตัวแปรที่สัมพันธ์กันสองตัว ดังนั้นให้พิจารณานิพจน์สำหรับและดังนี้:$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

และระยะเวลาการเรียกคืน 1 -ขวา] หากเราคูณทั้งสองด้านของนิพจน์สำหรับด้วยจากนั้นใช้ความคาดหวังเป็นที่ชัดเจนว่าทุกแง่มุมทางด้านขวายกเว้นค่าสุดท้ายกลายเป็นศูนย์ (เพราะค่าของ ,และเป็นอิสระจากและ ) เพื่อให้:$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

ดังนั้นระยะที่ 1 จะกลายเป็น 2 สำหรับคำศัพท์ 2 ควรชัดเจนว่าด้วยตรรกะเดียวกันเงื่อนไขทั้งหมดเป็นศูนย์$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

ดังนั้นคำตอบของแบบจำลองดั้งเดิมนั้นถูกต้อง

อย่างไรก็ตามถ้าใครสามารถแนะนำวิธีอื่นในการหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (แม้ว่ายุ่ง) ฉันก็ยินดีที่จะได้ยินมัน!