การเปลี่ยนแปลงอัตโนมัติของกระบวนการ ARMA (2,1) - ได้รับแบบจำลองการวิเคราะห์สำหรับ


13

ฉันต้องได้รับนิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชัน autocovarianceของกระบวนการ ARMA (2,1) แสดงโดย:γ(k)

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt

ดังนั้นฉันรู้ว่า:

γ(k)=E[yt,ytk]

ดังนั้นฉันสามารถเขียน:

γ(k)=ϕ1E[yt1ytk]+ϕ2E[yt2ytk]+θ1E[ϵt1ytk]+E[ϵtytk]

จากนั้นเพื่อให้ได้รุ่นวิเคราะห์ของฟังก์ชัน autocovariance ฉันต้องแทนที่ค่า - 0, 1, 2 ... จนกว่าฉันจะได้รับการสอบถามซ้ำที่ถูกต้องสำหรับทั้งหมดที่มากกว่าจำนวนเต็มบางส่วนkk

ดังนั้นฉันแทนและทำงานผ่านเพื่อรับ:k=0

γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt1yt]+ϕ2E[yt2yt]+θ1E[ϵt1yt]+E[ϵtyt]

ตอนนี้ฉันสามารถลดความซับซ้อนของคำศัพท์สองคำแรกจากนั้นให้แทนที่เหมือนเมื่อก่อน:yt

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt1(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]

จากนั้นฉันก็คูณเทอมแปดนั่นคือ:

+θ1ϕ1E[ϵt1yt1]+θ1ϕ2E[ϵt1yt2]+θ12E[(ϵt1)2]=θ12σϵ2+θ1E[ϵt1ϵt]=θ1E[ϵt1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt1]+ϕ2E[ϵtyt2]+θ1E[ϵtϵt1]=θ1E[ϵt]E[ϵt1]=0+E[(ϵt)2]=σϵ2

ดังนั้นฉันเหลือต้องแก้ไขข้อกำหนดที่เหลืออีกสี่ข้อ ฉันต้องการใช้ตรรกะเดียวกันสำหรับบรรทัด 1, 2, 5 และ 6 ตามที่ฉันใช้กับบรรทัดที่ 4 และ 7 - ตัวอย่างเช่นสำหรับบรรทัดที่ 1:

E [ ϵ t - 1 ] = 0θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0เพราะ 0E[ϵt1]=0

ในทำนองเดียวกันสำหรับบรรทัดที่ 2, 5 และ 6 แต่ฉันมีโซลูชันตัวแบบที่แนะนำการแสดงออกของลดความซับซ้อนของ:γ(0)

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σϵ2+σϵ2

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการทำให้เข้าใจง่ายของฉันตามที่อธิบายไว้ข้างต้นจะคิดถึงคำที่มีค่าสัมประสิทธิ์ - ซึ่งภายใต้ตรรกะของฉันควรเป็น 0 ตรรกะของฉันเป็นความผิดหรือวิธีการแก้ปัญหาแบบที่ฉันพบไม่ถูกต้องหรือไม่ϕ1

วิธีแก้ปัญหาที่ทำงานยังแนะนำว่า "analogously"สามารถพบได้ใน:γ(1)

γ(1)=ϕ1γ(0)+ϕ2γ(1)+θ1σϵ2

และสำหรับ :k>1

γ(k)=ϕ1γ(k1)+ϕ2(k2)

ฉันหวังว่าคำถามจะชัดเจน ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมมาก ขอบคุณล่วงหน้า.

นี่เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยของฉันและไม่ได้เตรียมความพร้อมสำหรับการสอบหรือหลักสูตรใด ๆ

คำตอบ:


8

หากกระบวนการ ARMA เป็นสาเหตุมีสูตรทั่วไปที่ให้ค่าสัมประสิทธิ์ autocovariance

พิจารณาสาเหตุกระบวนการ ที่เป็นเสียงสีขาวกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 โดยคุณสมบัติ causality กระบวนการสามารถเขียนเป็น ที่หมายถึง -weightsARMA(p,q)

yt=i=1pϕiyt1+j=1qθjϵtj+ϵt,
ϵtσϵ2
yt=j=0ψjϵtj,
ψjψ

สมการเอกพันธ์ทั่วไปสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ autocovariance ของสาเหตุกระบวนการคือ โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น ARMA(p,q)

γ(k)ϕ1γ(k1)ϕpγ(kp)=0,kmax(p,q+1),
γ(k)j=1pϕjγ(kj)=σϵ2j=kqθjψjk,0k<max(p,q+1).

2

ความผิดพลาดในการคำนวณของคุณในคำถามเดิมของคุณนั้นอยู่ที่

θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0(mistaken)

คุณไม่สามารถแยกความคาดหวัง -และไม่เป็นอิสระE[ϵt1yt1]ϵt1yt1


อย่างที่คุณเห็นจากการอัปเดตของฉัน (ด้านล่าง) ฉันรู้เรื่องนี้หลังจากโพสต์เสร็จ - แต่ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือของคุณ!
อุทกวิทยา

1

ตกลง. ดังนั้นขั้นตอนการเขียนโพสต์จริง ๆ แล้วชี้ให้ฉันเห็นวิธีการแก้ปัญหา

พิจารณาเงื่อนไขความคาดหวังที่ 1, 2, 5 และ 6 จากด้านบนที่ฉันคิดว่าควรเป็น 0

สำหรับคำที่ 5 - - และ 6 - : แน่นอน ศูนย์เพราะและเป็นอิสระจากและ0E[ϵtyt1]E[ϵtyt2]yt1yt2ϵtE[ϵt]=0

อย่างไรก็ตามคำที่ 1 และ 2 ดูเหมือนว่าความคาดหวังนั้นเป็นของตัวแปรที่สัมพันธ์กันสองตัว ดังนั้นให้พิจารณานิพจน์สำหรับและดังนี้:yt1yt2

yt1=ϕ1yt2+ϕ2yt3+θ1ϵt2+ϵt1yt2=ϕ1yt3+ϕ2yt4+θ1ϵt3+ϵt2

และระยะเวลาการเรียกคืน 1 -ขวา] หากเราคูณทั้งสองด้านของนิพจน์สำหรับด้วยจากนั้นใช้ความคาดหวังเป็นที่ชัดเจนว่าทุกแง่มุมทางด้านขวายกเว้นค่าสุดท้ายกลายเป็นศูนย์ (เพราะค่าของ ,และเป็นอิสระจากและ ) เพื่อให้:ϕ1θ1E[ϵt1yt1]yt1ϵt1yt2yt3ϵt2ϵt1E[ϵt1]=0

E[ϵt1yt1]=E[(ϵt1)2]=σϵ2

ดังนั้นระยะที่ 1 จะกลายเป็น 2 สำหรับคำศัพท์ 2 ควรชัดเจนว่าด้วยตรรกะเดียวกันเงื่อนไขทั้งหมดเป็นศูนย์+ϕ1θ1σϵ2

ดังนั้นคำตอบของแบบจำลองดั้งเดิมนั้นถูกต้อง

อย่างไรก็ตามถ้าใครสามารถแนะนำวิธีอื่นในการหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (แม้ว่ายุ่ง) ฉันก็ยินดีที่จะได้ยินมัน!

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.