เนื่องจากจุดประสงค์ที่นี่น่าจะได้รับการประมาณที่ถูกต้องและเป็นประโยชน์ของการกระจายก่อนหน้าควรสอดคล้องกับข้อกำหนดการกระจายของประชากรที่มาจากตัวอย่าง สิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าเรา "คำนวณ" การใช้ตัวอย่างก่อนหน้า - สิ่งนี้จะทำให้ความถูกต้องของกระบวนการทั้งหมดเป็นโมฆะ เราจะรู้ว่าประชากรจากการที่กลุ่มตัวอย่างมาเป็นประชากรของตัวแปรสุ่ม IID เครื่องแบบแต่ละตั้งแต่ในtheta] นี่คือสมมติฐานที่ได้รับการบำรุงรักษาและเป็นส่วนหนึ่งของข้อมูลก่อนหน้านี้ที่เรามี (และไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับตัวอย่างกล่าวคือมีการรับรู้ส่วนย่อยของตัวแปรสุ่มเหล่านี้)θ[ 0 , θ ]
ทีนี้สมมติว่าประชากรนี้ประกอบด้วยตัวแปรสุ่ม (ในขณะที่ตัวอย่างของเราประกอบด้วยสำนึกของตัวแปรสุ่ม ) การบำรุงรักษาสมมติฐานบอกเราว่า
ม.n < mn
สูงสุดฉัน= 1 , . . , n{Xผม} ≤สูงสุดJ = 1 , . . , ม{XJ} ≤ θ
แสดงว่าแน่น * จากนั้นเรามีซึ่งสามารถเขียน
สูงสุดฉัน= 1 , . . , n{Xผม} ≡X* * * *θ ≥X* * * *
θ = cX* * * *c ≥ 1
ฟังก์ชันความหนาแน่นของของ iid Uniform rv มีค่าเป็นคือ
สูงสุดยังไม่มีข้อความ[ 0 , θ ]
ฉX* * * *(x* * * *) = N(x* * * *)ยังไม่มีข้อความ- 1θยังไม่มีข้อความ
สำหรับการสนับสนุนและศูนย์อื่น ๆ จากนั้นโดยใช้และการใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเราได้รับการแจกแจงก่อนหน้าสำหรับที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่เก็บรักษาไว้:
[ 0 , θ ]θ = cX* * * *θ
ฉพี( θ ) = N(θค)ยังไม่มีข้อความ- 1θยังไม่มีข้อความ1ค=ยังไม่มีข้อความคยังไม่มีข้อความθ- 1θ ∈ [x* * * *,∞]
ซึ่งอาจไม่เหมาะสมหากเราไม่ระบุค่าคงที่อย่างเหมาะสม แต่ความสนใจของเราอยู่ที่การมีหลังที่เหมาะสมสำหรับและเราไม่ต้องการ จำกัด ค่าที่เป็นไปได้ของ (นอกเหนือจากข้อ จำกัด โดยนัยจากสมมติฐานที่เก็บรักษาไว้) ดังนั้นเราจึงปล่อยไม่ตั้งใจ
จากนั้นเขียนด้านหลังคือcθθc
X={x1,..,xn}
f(θ∣X)∝θ−NNcNθ−1⇒f(θ∣X)=ANcNθ−(N+1)
สำหรับค่าคงที่ normalizing A เราต้องการ
∫Sθฉ( θ ∣ X ) dθ = 1 ⇒∫∞x* * * *Aยังไม่มีข้อความคยังไม่มีข้อความθ- ( N+ 1 )dθ = 1
⇒ยังไม่มีข้อความคยังไม่มีข้อความ1- Nθ- N||∞x* * * *= 1 ⇒ A = ( cx* * * *)ยังไม่มีข้อความ
การแทรกเข้าไปด้านหลัง
ฉ( θ ∣ X ) = ( cx* * * *)ยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความคยังไม่มีข้อความθ- ( N+ 1 )= N(x* * * *)ยังไม่มีข้อความθ- ( N+ 1 )
โปรดทราบว่าคงบึกบึนของการกระจายก่อนได้ยกเลิกการอำนวยความสะดวกจากค
หลังสรุปข้อมูลทั้งหมดที่ว่ากลุ่มตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงสามารถให้เราเกี่ยวกับค่าของ\ถ้าเราต้องการได้ค่าเฉพาะสำหรับเราสามารถคำนวณค่าที่คาดหวังของ posterior ได้อย่างง่ายดาย
θθ
E( θ ∣ X ) =∫∞x* * * *θ N(x* * * *)ยังไม่มีข้อความθ- ( N+ 1 )dθ = -ยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความ- 1(x* * * *)ยังไม่มีข้อความθ- N+ 1||∞x* * * *=ยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความ- 1x* * * *
มีปรีชาในผลลัพธ์นี้ไหม? เมื่อจำนวนการเพิ่มขึ้นของมีโอกาสมากขึ้นที่การรับรู้สูงสุดในหมู่พวกเขาจะใกล้ชิดกับขอบเขตบนของพวกเขา - ซึ่งเป็นสิ่งที่ค่าเฉลี่ยหลังของสะท้อน: ถ้าพูด ,แต่ถ้า . นี่แสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์ของเราเกี่ยวกับการเลือกก่อนหน้านี้มีเหตุผลและสอดคล้องกับปัญหาในมือ แต่ไม่จำเป็นต้อง "ดีที่สุด" ในบางแง่มุมXθθยังไม่มีข้อความ= 2 ⇒ E(θ∣X)=2x∗N=10⇒E(θ∣X)=109x∗