การประมาณพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ: ไม่เหมาะสมมาก่อน

เรามีตัวอย่าง Nจากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอโดยที่ไม่ทราบประมาณจากข้อมูล $X_i$ $[0,\theta]$ $\theta$ $\theta$

ดังนั้นกฎของเบย์ ...

$f(\theta | {X_i}) = \frac{f({X_i}|\theta)f(\theta)}{f({X_i})}$

และโอกาสก็คือ:

$f({X_i}|\theta) = \prod_{i=1}^N \frac{1}{\theta}$ (แก้ไข: เมื่อ $0 \le X_i \le \theta$ สำหรับทั้งหมด $i$ และ 0 เป็นอย่างอื่น - ขอบคุณ whuber)

แต่ไม่มีข้อมูลอื่น ๆ เกี่ยวกับ $\theta$ ดูเหมือนว่าก่อนหน้านี้ควรมีสัดส่วน $1$ (เช่นรูปแบบเดียวกัน) หรือ $\frac{1}{L}$ (Jeffreys ก่อนหน้า?) ใน $[0,\infty]$ แต่อินทิกรัลของฉันไม่ มาบรรจบกันและฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการอย่างไร ความคิดใด ๆ

— จะ
แหล่งที่มา

ความน่าจะเป็นของคุณไม่ถูกต้องมันจะเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่น้อยกว่าที่ใหญ่ที่สุดx_i

θ

$\theta$

X_{i}

$X_i$

— whuber

คุณสามารถแสดงให้เห็นว่าคุณกำลังรวมอินทิเกรตหรือไม่?

ใช่แล้วฉันเดาว่าฉันไม่รู้วิธีจัดการกับสิ่งที่ไม่เหมาะสมมาก่อน เช่นฉันต้องการเขียน

f [X_{i}] = \int_{Θ} f (X_{i} | θ) f (θ) d θ

$f[X_i] = \int_\Theta f(X_i|\theta)f(\theta)d\theta$

— จะ

สำหรับสิ่งที่ไม่เหมาะสมก่อน = =และสำหรับคุณได้รับเนื่องจากเกือบแน่นอนเป็นไปได้ว่าอินทิเกรตจะมาบรรจบกัน

f [X_{i}] = \int_{Θ} f (X_{i} | θ) f (θ) d θ

$f[X_i] = \int_\Theta f(X_i|\theta)f(\theta)d\theta$

\int_{max (X_{i})}^{\infty} θ^{- N} d θ

$\int_{\max(X_i)}^\infty \theta^{-N}d\theta$

max (X_{i})^{1 - N} / (N - 1)

$\max(X_i)^{1-N}/(N-1)$

f (θ) \propto 1 / θ

$f(\theta)\propto 1/\theta$

max (X_{i})^{- N} / N .

$\max(X_i)^{-N}/N.$

max X_{i} > 0

$\max{X_i}\gt 0$

— whuber

หลังอ้างอิงจากเบอร์นาร์โดคือพาเรโต - ดูแคตตาล็อกของนักบวชที่ไม่เกี่ยวกับศาสนา

— Stéphane Laurent

คำตอบ:

สิ่งนี้ได้สร้างการอภิปรายที่น่าสนใจ แต่โปรดทราบว่าจริงๆแล้วมันไม่ได้สร้างความแตกต่างให้กับคำถามที่น่าสนใจ โดยส่วนตัวฉันคิดว่าเพราะเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนอาร์กิวเมนต์กลุ่มการเปลี่ยนแปลงมีความเหมาะสมนำไปสู่ก่อนหน้า $\theta$

\begin{matrix} p (θ | I) = \frac{θ^{- 1}}{\log (\frac{U}{L})} \propto θ^{- 1} & L < θ < U \end{matrix}

$\begin{array}& p(\theta|I)=\frac{\theta^{-1}}{\log\left(\frac{U}{L}\right)}\propto\theta^{-1} & L<\theta<U\end{array}$

การแจกจ่ายนี้มีรูปแบบเดียวกันภายใต้การลดขนาดของปัญหา (ความน่าจะเป็นยังคงเป็น "ไม่เปลี่ยนแปลง" ภายใต้การลดขนาด) เคอร์เนลนี้ก่อนสามารถจะได้มาโดยการแก้สมการทำงาน(y) ค่าขึ้นอยู่กับปัญหาและสำคัญมากถ้าขนาดตัวอย่างเล็กมาก (เช่น 1 หรือ 2) ด้านหลังเป็นพาเรโตที่ถูกตัดทอนโดย: $f(y)=y^{-1}$ $af(ay)=f(y)$ $L,U$

\begin{matrix} p (θ | D I) = \frac{N θ^{- N - 1}}{(L^{*})^{- N} - U^{- N}} & L^{*} < θ < U & where & L^{*} = m a x (L, X_{(N)}) \end{matrix}

$\begin{array}\\ p(\theta|DI)=\frac{N\theta^{-N-1}}{ (L^{*})^{-N}-U^{-N}} & L^{*}<\theta<U & \text{where} & L^{*}=max(L,X_{(N)}) \end{array}$ โดยที่คือ Nth สถิติการสั่งซื้อหรือมูลค่าสูงสุดของตัวอย่าง เราได้ค่าเฉลี่ยด้านหลังของ ถ้าเรา ชุดและที่เราได้รับ exression ง่าย(N)}

X_{(N)}

$X_{(N)}$

E (θ | D I) = \frac{N ((L^{*})^{1 - N} - U^{1 - N})}{(N - 1) ((L^{*})^{- N} - U^{- N})} = \frac{N}{N - 1} L^{*} (\frac{1 - {[\frac{L^{*}}{U}]}^{N - 1}}{1 - {[\frac{L^{*}}{U}]}^{N}})

$E(\theta|DI)= \frac{ N((L^{*})^{1-N}-U^{1-N}) }{ (N-1)((L^{*})^{-N}-U^{-N}) }=\frac{N}{N-1}L^{*}\left(\frac{ 1-\left[\frac{L^{*}}{U}\right]^{N-1} }{ 1-\left[\frac{L^{*}}{U}\right]^{N} }\right)$

U \to \infty

$U\to\infty$

L \to 0

$L\to 0$

E (θ | D I) = \frac{N}{N - 1} X_{(N)}

$E(\theta|DI)=\frac{N}{N-1}X_{(N)}$

แต่ตอนนี้สมมติว่าเราใช้ข้อมูลทั่วไปที่มากกว่าก่อนกำหนดโดย (โปรดทราบว่าเรารักษาขีด จำกัดเพื่อให้แน่ใจว่าทุกอย่างเหมาะสม - ไม่มีคณิตศาสตร์เอกพจน์แล้ว ) หลังนั้นก็เป็นเช่นเดียวกับข้างต้น แต่มีแทนที่ด้วย - ให้0 ทำซ้ำการคำนวณข้างต้นเราเป็นค่าเฉลี่ยด้านหลังของ $p(\theta|cI)\propto\theta^{-c-1}$ $L,U$ $N$ $c+N$ $c+N\geq 0$

E (θ | D ผม) = \frac{ยังไม่มีข้อความ + ค}{ยังไม่มีข้อความ + ค - 1} X_{(ยังไม่มีข้อความ)}

$E(\theta|DI)=\frac{N+c}{N+c-1}X_{(N)}$

ดังนั้นเครื่องแบบก่อนหน้า ( ) จะให้การประมาณโดยมีเงื่อนไขว่า (หมายถึงไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับ ) นี่แสดงให้เห็นว่าการถกเถียงที่นี่เป็นเพียงเล็กน้อยว่าจะใช้หรือเป็นตัวหารในการประมาณค่าความแปรปรวนหรือไม่ $c=-1$ $\frac{N-1}{N-2}X_{(N)}$ $N\geq 2$ $N=2$ $N$ $N-1$

อาร์กิวเมนต์หนึ่งกับการใช้งานของชุดที่ไม่เหมาะสมก่อนในกรณีนี้ก็คือว่าหลังเป็นที่ไม่เหมาะสมเมื่อมันเป็นสัดส่วนกับ1} แต่สิ่งนี้สำคัญถ้าหรือมีขนาดเล็กมาก $N=1$ $\theta^{-1}$ $N=1$

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

เนื่องจากจุดประสงค์ที่นี่น่าจะได้รับการประมาณที่ถูกต้องและเป็นประโยชน์ของการกระจายก่อนหน้าควรสอดคล้องกับข้อกำหนดการกระจายของประชากรที่มาจากตัวอย่าง สิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าเรา "คำนวณ" การใช้ตัวอย่างก่อนหน้า - สิ่งนี้จะทำให้ความถูกต้องของกระบวนการทั้งหมดเป็นโมฆะ เราจะรู้ว่าประชากรจากการที่กลุ่มตัวอย่างมาเป็นประชากรของตัวแปรสุ่ม IID เครื่องแบบแต่ละตั้งแต่ในtheta] นี่คือสมมติฐานที่ได้รับการบำรุงรักษาและเป็นส่วนหนึ่งของข้อมูลก่อนหน้านี้ที่เรามี (และไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับตัวอย่างกล่าวคือมีการรับรู้ส่วนย่อยของตัวแปรสุ่มเหล่านี้) $\theta$ $[0,\theta]$

ทีนี้สมมติว่าประชากรนี้ประกอบด้วยตัวแปรสุ่ม (ในขณะที่ตัวอย่างของเราประกอบด้วยสำนึกของตัวแปรสุ่ม ) การบำรุงรักษาสมมติฐานบอกเราว่า $m$ $n<m$ $n$

\underset{ผม = 1, . . ., n}{สูงสุด} {X_{ผม}} \leq \underset{J = 1, . . ., ม.}{สูงสุด} {X_{J}} \leq θ

$\max_{i=1,...,n}\{X_i\}\le \max_{j=1,...,m}\{X_j\} \le \theta$

แสดงว่าแน่น * จากนั้นเรามีซึ่งสามารถเขียน $\max_{i=1,...,n}\{X_i\} \equiv X^*$ $\theta \ge X^*$

θ = ค X^{* * * *} ค \geq 1

$\theta = cX^*\qquad c\ge 1$

ฟังก์ชันความหนาแน่นของของ iid Uniform rv มีค่าเป็นคือ $\max$ $N$ $[0,\theta]$

ฉ_{X^{* * * *}} (x^{* * * *}) = ยังไม่มีข้อความ \frac{(x^{* * * *})^{ยังไม่มีข้อความ - 1}}{θ^{ยังไม่มีข้อความ}}

$f_{X^*}(x^*) = N\frac {(x^*)^{N-1}}{\theta^N}$

สำหรับการสนับสนุนและศูนย์อื่น ๆ จากนั้นโดยใช้และการใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเราได้รับการแจกแจงก่อนหน้าสำหรับที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่เก็บรักษาไว้: $[0,\theta]$ $\theta = cX^*$ $\theta$

f_{p} (θ) = N \frac{(\frac{θ}{c})^{N - 1}}{θ^{N}} \frac{1}{c} = \frac{N}{c^{N}} θ^{- 1} θ \in [x^{*}, \infty]

$f_p(\theta) = N\frac {(\frac{\theta}{c})^{N-1}}{\theta^N}\frac 1c = \frac {N}{c^N} \theta^{-1}\qquad \theta \in [x^*, \infty]$

ซึ่งอาจไม่เหมาะสมหากเราไม่ระบุค่าคงที่อย่างเหมาะสม แต่ความสนใจของเราอยู่ที่การมีหลังที่เหมาะสมสำหรับและเราไม่ต้องการ จำกัด ค่าที่เป็นไปได้ของ (นอกเหนือจากข้อ จำกัด โดยนัยจากสมมติฐานที่เก็บรักษาไว้) ดังนั้นเราจึงปล่อยไม่ตั้งใจ จากนั้นเขียนด้านหลังคือ $c$ $\theta$ $\theta$ $c$
$\mathbf X = \{x_1,..,x_n\}$

f (θ | X) α θ^{- ยังไม่มีข้อความ} \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ค^{ยังไม่มีข้อความ}} θ^{- 1} \Rightarrow ฉ (θ | X) = A \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ค^{ยังไม่มีข้อความ}} θ^{- (ยังไม่มีข้อความ + 1)}

$f(\theta \mid \mathbf X)\; \propto\; \theta^{-N}\frac {N}{c^N} \theta^{-1} \Rightarrow f(\theta \mid \mathbf X) = A\frac {N}{c^N} \theta^{-(N+1)}$

สำหรับค่าคงที่ normalizing A เราต้องการ

\int_{S_{θ}} ฉ (θ | X) d θ = 1 \Rightarrow \int_{x^{* * * *}}^{\infty} A \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ค^{ยังไม่มีข้อความ}} θ^{- (ยังไม่มีข้อความ + 1)} d θ = 1

$\int_{S_{\theta}}f(\theta \mid \mathbf X)d\theta =1 \Rightarrow \int_{x^*}^{\infty}A\frac {N}{c^N} \theta^{-(N+1)}d\theta =1$

\Rightarrow A \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ค^{ยังไม่มีข้อความ}} \frac{1}{- ยังไม่มีข้อความ} θ^{- ยังไม่มีข้อความ} |_{x^{* * * *}}^{\infty} = 1 \Rightarrow A = (ค x^{* * * *})^{ยังไม่มีข้อความ}

$\Rightarrow A\frac {N}{c^N}\frac {1}{-N}\theta^{-N}\Big |_{x^*}^{\infty} = 1 \Rightarrow A = (cx^*)^N$

การแทรกเข้าไปด้านหลัง

ฉ (θ | X) = (ค x^{* * * *})^{ยังไม่มีข้อความ} \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ค^{ยังไม่มีข้อความ}} θ^{- (ยังไม่มีข้อความ + 1)} = ยังไม่มีข้อความ (x^{* * * *})^{ยังไม่มีข้อความ} θ^{- (ยังไม่มีข้อความ + 1)}

$f(\theta \mid \mathbf X) = (cx^*)^N\frac {N}{c^N} \theta^{-(N+1)} = N(x^*)^N\theta^{-(N+1)}$

โปรดทราบว่าคงบึกบึนของการกระจายก่อนได้ยกเลิกการอำนวยความสะดวกจาก $c$

หลังสรุปข้อมูลทั้งหมดที่ว่ากลุ่มตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงสามารถให้เราเกี่ยวกับค่าของ\ถ้าเราต้องการได้ค่าเฉพาะสำหรับเราสามารถคำนวณค่าที่คาดหวังของ posterior ได้อย่างง่ายดาย $\theta$ $\theta$

E (θ | X) = \int_{x^{* * * *}}^{\infty} θ ยังไม่มีข้อความ (x^{* * * *})^{ยังไม่มีข้อความ} θ^{- (ยังไม่มีข้อความ + 1)} d θ = - \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ยังไม่มีข้อความ - 1} (x^{* * * *})^{ยังไม่มีข้อความ} θ^{- ยังไม่มีข้อความ + 1} |_{x^{* * * *}}^{\infty} = \frac{ยังไม่มีข้อความ}{ยังไม่มีข้อความ - 1} x^{* * * *}

$E(\theta\mid \mathbf X) = \int_{x^*}^{\infty}\theta N(x^*)^N\theta^{-(N+1)}d\theta = -\frac{N}{N-1}(x^*)^N\theta^{-N+1}\Big |_{x^*}^{\infty} = \frac{N}{N-1}x^*$

มีปรีชาในผลลัพธ์นี้ไหม? เมื่อจำนวนการเพิ่มขึ้นของมีโอกาสมากขึ้นที่การรับรู้สูงสุดในหมู่พวกเขาจะใกล้ชิดกับขอบเขตบนของพวกเขา - ซึ่งเป็นสิ่งที่ค่าเฉลี่ยหลังของสะท้อน: ถ้าพูด ,แต่ถ้า . นี่แสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์ของเราเกี่ยวกับการเลือกก่อนหน้านี้มีเหตุผลและสอดคล้องกับปัญหาในมือ แต่ไม่จำเป็นต้อง "ดีที่สุด" ในบางแง่มุม $X$ $\theta$ $\theta$ $N=2 \Rightarrow E(\theta\mid \mathbf X) = 2x^*$ $N=10 \Rightarrow E(\theta\mid \mathbf X) = \frac{10}{9}x^*$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

การอ้างอิงข้อมูลก่อนหน้านี้ฟังดูแปลกสำหรับฉัน คุณจะปรับวิธีนี้ได้อย่างไร

— whuber

ฉันไม่มีอะไรขัดกับความจริงที่ว่าก่อนหน้านี้ของคุณไม่ใช่ "ดีที่สุด" ฉันพูดอะไรแบบนั้นที่ไหน? ฉันแค่พยายามที่จะเข้าใจแนวทางของคุณ ฉันยังไม่เข้าใจความเท่าเทียมกันนี้ หากมีค่าคงที่ในความเสมอภาคนั่นหมายความว่าทั้งและนั้นไม่ใช่แบบสุ่มหรือไม่? โดยวิธีที่คุณไม่ได้ใช้ความจริงที่ว่าในการสืบทอดมาจากก่อนหน้านี้คุณ? (cc @whuber)

c

$c$

θ = c X^{*}

$\theta=cX^*$

X^{*}

$X^*$

θ

$\theta$

c \geq 1

$c \geq 1$

— Stéphane Laurent

และการสนับสนุนของคุณก่อนขึ้นอยู่กับข้อมูลหรือไม่ ( )

θ \in [x^{*}, \infty [

$\theta \in [x^*, \infty[$

— Stéphane Laurent

ก่อนขึ้น (แม้ว่านี้เป็นเพียงผ่านการสนับสนุน) กับข้อมูลเสียงผิด: คุณไม่สามารถรู้สูงสุดของกลุ่มตัวอย่างก่อนที่กลุ่มตัวอย่างได้รับการสร้าง ยิ่งกว่านั้นคุณอ้างว่านั้นเกือบจะเท่าเทียมกันแน่นอนโดยมีทั้งและสุ่ม (ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์ ) แต่นี่ก็หมายความว่าการกระจายหลังของ (ซึ่งเป็นเงื่อนไขการจำหน่ายของรับตัวอย่าง) คือมวล Dirac ที่ * และนี่ขัดแย้งกับการกระจายตัวแบบหลังของคุณ ... (ไม่มีตัวอักษรเหลือ ... )

θ = c X^{*}

$\theta = cX^*$

θ

$\theta$

X^{*}

$X^*$

1

$1$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

c x^{*}

$cx^*$

— Stéphane Laurent

การกระจายหลังของเป็นแรคที่หมายความว่ามี * ทฤษฎีบทของเบย์ไม่ใช่สาเหตุ คุณทำลายทุกอย่างด้วยการสมมติว่า * นี่หมายถึงดังนั้นการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของได้รับคือมวล Dirac ที่ในขณะที่สมมติฐานดั้งเดิมคือการกระจายนี้คือการกระจายแบบสม่ำเสมอบน .

θ

$\theta$

c x^{*}

$cx^*$

θ

$\theta$

c x^{*}

$cx^*$

θ = c X^{*}

$\theta = cX^*$

X^{*} = θ / c

$X^*=\theta/c$

X^{*}

$X^*$

θ

$\theta$

θ / c

$\theta/c$

(0, θ)

$(0,\theta)$

— Stéphane Laurent

ทฤษฎีบทการกระจายก่อนหน้าแบบสม่ำเสมอ (กรณีช่วงเวลา):

"ถ้าผลรวมของข้อมูลของคุณเกี่ยวกับภายนอกไปยังข้อมูลถูกจับโดยข้อเสนอเดียว จากนั้นสเปคก่อนหน้านี้ที่เป็นไปได้ภายในทางตรรกะของคุณคือ $\theta$ $D$

B = {{Possible values for θ} = {the interval (a, b)}, a < b}

$B=\{\{\text{Possible values for } \theta\}=\{\text{the interval } (a,b)\},a<b\}$

f (θ) = Uniform (a, b)

$f(\theta)=\text{Uniform}(a,b)$

ดังนั้นข้อมูลจำเพาะก่อนหน้าของคุณควรสอดคล้องกับของเจฟฟรีย์ก่อนหากคุณเชื่อในทฤษฎีบทข้างต้นอย่างแท้จริง "

ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทการกระจายก่อนหน้าของเครื่องแบบ:

อีกทางหนึ่งคุณสามารถระบุการกระจายก่อนหน้าของคุณเป็นการกระจายแบบ Pareto ซึ่งเป็นการกระจายแบบคอนจูเกตสำหรับเครื่องแบบ อย่างไรก็ตามหากคุณใช้การแจกแจงแบบ Pareto คุณจะต้องระบุพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบ Pareto ในบางวิธี $f(\theta)$

ก่อนอื่นคุณพูดว่า "คำตอบที่เป็นไปได้ทางตรรกะเท่านั้นที่เป็นไปได้" คือการแจกแจงแบบเดียวกันแล้วคุณจะเสนอทางเลือกอื่นต่อไป นั่นฟังดูไร้เหตุผลและไม่สอดคล้องกับฉัน :-)

— whuber

ฉันไม่เห็นด้วย ตัวอย่างเช่นเป็น setเมื่อ PDF ของคือสำหรับ 3 แต่ตามทฤษฎีบท "ซึ่งมี pdf เป็นในช่วงเวลานั้น กล่าวโดยย่อแม้ว่าข้อเสนอจะไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าปัญหาได้รับการแปรสภาพเป็นอย่างไรบทสรุปของ "ทฤษฎีบท" ก็ขึ้นอยู่กับการแปรสภาพด้วยเหตุที่มันไม่ชัดเจน

B

$B$

{θ | θ^{3} \in (a^{3}, b^{3})} .

$\{\theta | \theta^3\in(a^3, b^3)\}.$

Θ \sim Uniform (a, b),

$\Theta\sim\text{Uniform}(a,b),$

Ψ = Θ^{3}

$\Psi=\Theta^3$

1 / (3 ψ^{2 / 3} (b - a))

$1/(3\psi^{2/3}(b-a))$

a^{3} < ψ < b^{3}

$a^3\lt \psi\lt b^3$

Ψ \sim Uniform (a^{3}, b^{3})

$\Psi\sim\text{Uniform}(a^3,b^3)$

1 / (b^{3} - a^{3})

$1/(b^3-a^3)$

— whuber

BabakP: ใครจะพูดได้ว่านี่เป็นทฤษฎีบท ? ทฤษฎีบทเป็นข้ออ้างทางคณิตศาสตร์พร้อมหลักฐานทางคณิตศาสตร์ "ทฤษฎีบท" นี้จะเรียกว่า "หลักการ" ที่เหมาะสมกว่า แต่มันไม่สมเหตุสมผลเพราะมันขัดแย้งกันดังที่แสดงโดย @whuber

— Stéphane Laurent

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง BabakP ฉันต้องการจะชี้ให้เห็นว่า "ภาพร่างหลักฐาน" เป็นของปลอม เดรเปอร์แบ่งช่วงเวลาเป็นจำนวน จำกัด ของค่าที่เว้นระยะเท่ากันและ "ผ่านไปยังขีด จำกัด " ทุกคนสามารถแบ่งช่วงเวลาออกเป็นค่าระยะห่างที่ใกล้เคียงกับความหนาแน่นใดที่พวกเขาชอบและในทำนองเดียวกันผ่านถึงขีด จำกัด การผลิตได้อย่างสมบูรณ์แบบโดยพลการ "ไปได้เฉพาะในรายละเอียดก่อนเหตุผล-ภายในสอดคล้อง." สิ่งชนิดนี้ - คือการใช้คณิตศาสตร์ที่ไม่ดีในความพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่ Bayesians มีเหตุผล - ให้การวิเคราะห์ Bayesian ชื่อที่ไม่ดี (undeservedly) (cc @ Stéphane.)

— whuber

@ Stéphaneโปรดอภัยความรู้สึกไม่รู้สึกตัวของฉัน ( insensibilité ) - ฉันชื่นชมความสามารถของคุณในการโต้ตอบที่นี่เป็นภาษาที่สองและไม่ใช้คำที่คลุมเครือ! เป็นการหลอกลวงคำคุณศัพท์ที่มาจากศัพท์สแลงของสหรัฐอเมริกาอายุ 200 ปีอ้างถึงเครื่องจักรสำหรับการปลอมแปลงเงิน ในกรณีนี้มันเป็นเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์สำหรับทฤษฎีการปลอมแปลง :-)

— whuber