ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวดของฟอนนอยมันน์

ให้แสดงถึงความเสี่ยงของ Bayes ของตัวประมาณด้วยความเคารพก่อนหน้านี้ , ให้แสดงถึงชุดของนักบวชทั้งหมดในพื้นที่พารามิเตอร์และให้แสดงถึงชุดของ กฎการตัดสินใจทั้งหมด (อาจจะสุ่ม) $r(\pi, \delta)$ $\delta$ $\pi$ $\Pi$ $\Theta$ $\Delta$

การตีความทางสถิติของความไม่เท่าเทียมกันของ minimax ของ John von Neumann ระบุไว้ว่า

sup_{π \in Π} inf_{δ \in Δ} r (π, δ) \leq inf_{δ \in Δ} sup_{π \in Π} r (π, δ),

$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$

รับประกันความเสมอภาคอย่างเข้มงวดสำหรับ $\delta'$ และ $\pi'$ เมื่อ $\Theta$ และ $\Delta$ ทั้งสองมี จำกัด

บางคนสามารถให้ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมที่ความไม่เท่าเทียมนั้นเข้มงวดได้หรือไม่?

bayesian decision-theory risk

— กรงขัง
แหล่งที่มา

มีตัวอย่างคณิตศาสตร์หมดจดในฟอรั่มคณิตศาสตร์

— ซีอาน

ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียม von Neumann ที่เข้มงวดเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชันความเสี่ยงเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับบางค่า (โดยที่ค่าเดิมคือ "ต่ำ" และอันหลังคือ "สูง"): $r$ $r_0 < r_1$

\begin{matrix} \forall π \in Π, \exists δ \in Δ : & r (π, δ) = r_{0}, & (1) \\ \forall δ \in Δ, \exists π \in Π : & r (π, δ) = r_{1} . & (2) \end{matrix}

$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$

เงื่อนไขแรกบอกว่าโดยไม่คำนึงถึงก่อนมีกฎการตัดสินใจที่มีความเสี่ยงต่ำเสมอซึ่งให้r_0 เงื่อนไขที่สองกล่าวว่าไม่ว่ากฎการตัดสินใจจะมีความเสี่ยงสูงก่อนเสมอซึ่งให้r_1 $r_0$ $\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$ $r_1$ $\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

อีกวิธีในการระบุสถานการณ์นี้คือไม่มีกฎการตัดสินใจ (เลือกก่อนที่จะเห็นก่อนหน้านี้) ที่รับประกันความเสี่ยงต่ำสำหรับทุก ๆ ก่อน (บางครั้งมันจะมีความเสี่ยงสูง) แต่สำหรับทุก ๆ ครั้งก่อนมีกฎการตัดสินใจบางอย่าง ก่อนหน้า) ที่รับประกันความเสี่ยงต่ำ ในคำอื่น ๆ ในการสั่งซื้อที่จะกำหนดต่ำที่ถูกผูกไว้กับความเสี่ยงที่เราต้องปรับตัวเข้ากับกฎการตัดสินใจของเราไปก่อน

ตัวอย่าง: ตัวอย่างง่าย ๆ ของสถานการณ์แบบนี้เกิดขึ้นเมื่อคุณมีคู่ของนักบวชที่อนุญาตและกฎการตัดสินใจที่อนุญาตคู่พร้อมกับเมทริกซ์ความเสี่ยงดังนี้: $\pi_0, \pi_1$ $\delta_0, \delta_1$

\begin{array}{ll} r (π_{0}, δ_{0}) = r_{0} & r (π_{1}, δ_{0}) = r_{1}, \\ r (π_{0}, δ_{1}) = r_{1} & r (π_{1}, δ_{1}) = r_{0} . \end{array}

$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$

ในกรณีนี้ไม่มีกฎการตัดสินใจที่รับประกันความเสี่ยงต่ำกว่านักบวชทั้งสอง แต่สำหรับแต่ละก่อนมีกฎการตัดสินใจที่มีความเสี่ยงต่ำ สถานการณ์นี้เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นซึ่งให้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดในความไม่เท่าเทียมกันของ von Neumann

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา