การถดถอยของ x กับ y ดีกว่า y ใน x ในกรณีนี้หรือไม่

เครื่องมือที่ใช้ในการวัดระดับกลูโคสในเลือดของบุคคลนั้นจะถูกตรวจสอบจากกลุ่มตัวอย่าง 10 คน นอกจากนี้ยังมีการวัดระดับด้วยวิธีการทางห้องปฏิบัติการที่แม่นยำมาก เครื่องมือวัดจะถูกแทนด้วย x การวัดขั้นตอนในห้องปฏิบัติการนั้นเขียนด้วย y

โดยส่วนตัวแล้วฉันคิดว่า y on x นั้นถูกต้องมากขึ้นเพราะความตั้งใจที่จะใช้เครื่องมือการอ่านเพื่อทำนายการอ่านในห้องปฏิบัติการ และ y on x ลดข้อผิดพลาดของการคาดคะเนดังกล่าว

แต่คำตอบที่ให้คือ x กับ y

เอกสารห้องปฏิบัติการจำนวนมากโดยเฉพาะการทดลองทดสอบเครื่องมือใช้ x ในการถดถอย

พวกเขายืนยันว่าจากการรวบรวมข้อมูลในการทดสอบเงื่อนไข y ถูกควบคุมและรับ x จากการอ่านอุปกรณ์ (แนะนำข้อผิดพลาดบางอย่างในนั้น) นี่คือรูปแบบทางกายภาพดั้งเดิมของการทดลองดังนั้นข้อผิดพลาด x ~ y + จึงเหมาะสมกว่า

เพื่อลดข้อผิดพลาดในการทดสอบบางครั้ง y ถูกควบคุมในสภาพเดียวกันจากนั้นจึงวัด x หลายครั้ง (หรือการทดสอบซ้ำ) ขั้นตอนนี้อาจช่วยให้คุณเข้าใจตรรกะที่อยู่เบื้องหลังพวกเขาและค้นหา x ~ y + error ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ตามปกติแล้วการวิเคราะห์ที่แตกต่างกันจะตอบคำถามต่าง ๆ ทั้งและX  ใน  Yสามารถใช้ได้ที่นี่คุณเพียงแค่ต้องการให้แน่ใจว่าการวิเคราะห์ของคุณตรงกับคำถามที่คุณต้องการตอบ (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมตามบรรทัดเหล่านี้คุณอาจต้องการอ่านคำตอบของฉันที่นี่: อะไรคือความแตกต่างระหว่างการถดถอยเชิงเส้นบน Y กับ X และ X กับ Y? )$Y\text{ on }X$$X\text{ on }Y$

คุณมีสิทธิที่ว่าถ้าสิ่งที่คุณต้องการจะทำคือการคาดการณ์ส่วนใหญ่มีแนวโน้มค่าที่กำหนดความรู้ของXคุ้มค่าคุณจะถอยหลังY  บน  X แต่ถ้าคุณต้องการที่จะเข้าใจว่ามาตรการเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆ ที่คุณอาจต้องการที่จะใช้ข้อผิดพลาดในตัวแปรเข้าใกล้เนื่องจากคุณเชื่อว่ามีข้อผิดพลาดในการวัดX $Y$$X$$Y\text{ on }X$$X$

บนมืออื่น ๆ , ถอย (และสมมติYเป็นอย่างดีปราศจากข้อผิดพลาด - สิ่งที่เรียกว่ามาตรฐานทองคำ ) ช่วยให้คุณเพื่อศึกษาคุณสมบัติการวัดX ตัวอย่างเช่นคุณสามารถกำหนดได้ว่าตราสารจะเอนเอียงหรือไม่เนื่องจากมูลค่าที่แท้จริงเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) โดยการประเมินว่าฟังก์ชันนั้นเป็นแบบตรงหรือโค้ง $X\text{ on }Y$$Y$$X$

เมื่อพยายามที่จะเข้าใจคุณสมบัติของเครื่องมือวัดความเข้าใจธรรมชาติของความผิดพลาดการวัดที่มีความสำคัญมากและนี้สามารถทำได้โดยการถอย Y ตัวอย่างเช่นเมื่อตรวจสอบ homoscedasticity คุณสามารถตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดการวัดแตกต่างกันไปตามฟังก์ชั่นของระดับของมูลค่าที่แท้จริงของการสร้าง มันมักจะเป็นกรณีที่มีเครื่องมือที่มีข้อผิดพลาดการวัดที่ปลายสุดของช่วงมากกว่าในช่วงกลางของช่วงที่ใช้งานได้ (เช่น 'จุดหวาน' ของมัน) ดังนั้นคุณสามารถกำหนดสิ่งนี้หรืออาจกำหนดสิ่งที่เหมาะสมที่สุด ช่วงคือ คุณสามารถประมาณจำนวนเงินได้$X\text{ on }Y$ของข้อผิดพลาดการวัดในเครื่องมือของคุณด้วยค่าเฉลี่ยของข้อผิดพลาดกำลังสอง (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เหลือ); แน่นอนว่าสิ่งนี้ถือว่าเป็นเนื้อเดียวกัน แต่คุณสามารถรับการประมาณที่จุดแตกต่างของผ่านการปรับฟังก์ชั่นที่ราบรื่นเช่นเส้นโค้งไปยังส่วนที่เหลือ $Y$

จากการพิจารณาเหล่านี้ฉันคาดว่านั้นดีกว่า แต่แน่นอนขึ้นอยู่กับเป้าหมายของคุณ $X\text{ on }Y$

การทำนายและการพยากรณ์

ใช่คุณถูกต้องเมื่อคุณมองว่านี่เป็นปัญหาของการคาดการณ์การถดถอยแบบ Y-on-X จะให้แบบจำลองแก่คุณซึ่งได้รับการวัดจากเครื่องมือคุณสามารถทำการประเมินห้องปฏิบัติการที่ถูกต้องโดยไม่ต้องทำอะไร .

อีกวิธีหนึ่งถ้าคุณสนใจในจากนั้นคุณต้องการการถดถอยแบบ Y-on-X$E[Y|X]$

สิ่งนี้อาจดูแย้งง่ายเพราะโครงสร้างข้อผิดพลาดไม่ใช่ "ของจริง" สมมติว่าวิธีการในห้องทดลองเป็นวิธีที่ปราศจากข้อผิดพลาดมาตรฐานทองคำจากนั้นเรา "รู้" ว่ารูปแบบการกำเนิดข้อมูลที่แท้จริงคือ

$X_i = \beta Y_i + \epsilon_i$

โดยที่และϵ ฉันมีการกระจายแบบอิสระเหมือนกันและE [ ϵ ] = $Y_i$$\epsilon_i$$E[\epsilon]=0$

เราสนใจที่จะได้ค่าประมาณที่ดีที่สุดของ ] เนื่องจากข้อสันนิษฐานอิสระของเราเราสามารถจัดเรียงใหม่ข้างต้น:$E[Y_i|X_i]$

$Y_i = \frac{X_i - \epsilon}{\beta}$

ตอนนี้การรับความคาดหวังจากเป็นสิ่งที่ขนดก$X_i$

$E[Y_i|X_i] = \frac{1}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} E[\epsilon_i|X_i]$

ปัญหาคือเทอมX i ] - มันเท่ากับศูนย์หรือไม่? มันไม่สำคัญเพราะคุณไม่สามารถมองเห็นมันได้และเราเป็นเพียงแค่การสร้างแบบจำลองคำเชิงเส้นตรง การพึ่งพาระหว่างϵและXสามารถดูดซึมเข้าสู่ค่าคงที่ที่เราประมาณได้$E[\epsilon_i|X_i]$$\epsilon$$X$

อย่างชัดเจนโดยไม่สูญเสียความเป็นปรกติที่เราสามารถทำได้

$\epsilon_i = \gamma X_i + \eta_i$

Where ตามคำนิยามดังนั้นตอนนี้เรามี$E[\eta_i|X] = 0$

$Y_I = \frac{1}{\beta} X_i - \frac{\gamma}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} \eta_i$

$Y_I = \frac{1-\gamma}{\beta} X_i - \frac{1}{\beta} \eta_i$

ซึ่งเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดของ OLS เนื่องจากอยู่ภายนอก มันไม่สำคัญว่าในน้อยคำว่าข้อผิดพลาดยังมีβตั้งแต่ค่าβมิได้σเป็นที่รู้จักกันอยู่แล้วและจะต้องถูกประเมิน เราสามารถแทนที่ค่าคงที่เหล่านั้นด้วยค่าใหม่และใช้วิธีการปกติ$\eta$$\beta$$\beta$$\sigma$

$Y_I = {\alpha} X_i + \eta_i$

ขอให้สังเกตว่าเราไม่ได้ประมาณปริมาณที่ฉันเขียนไว้ตอนแรก - เราได้สร้างแบบจำลองที่ดีที่สุดที่เราสามารถใช้ X เป็นพร็อกซีสำหรับ Y ได้$\beta$

การวิเคราะห์เครื่องมือ

คนที่ตั้งคำถามนี้กับคุณอย่างชัดเจนไม่ต้องการคำตอบข้างต้นเนื่องจากพวกเขาบอกว่า X-on-Y เป็นวิธีที่ถูกต้องดังนั้นทำไมพวกเขาถึงต้องการได้? มีแนวโน้มมากที่สุดที่พวกเขากำลังพิจารณาภารกิจทำความเข้าใจเกี่ยวกับเครื่องมือ ตามที่กล่าวไว้ในคำตอบของวินเซนต์ถ้าคุณต้องการทราบเกี่ยวกับพวกเขาต้องการเครื่องมือทำงาน X-on-Y เป็นวิธีที่จะไป

กลับไปที่สมการแรกข้างต้น:

$X_i = \beta Y_i + \epsilon_i$

ผู้ตั้งคำถามอาจคิดถึงการสอบเทียบ เครื่องมือได้รับการกล่าวถึงว่าจะทำการสอบเทียบเมื่อมีความคาดหวังเท่ากับมูลค่าที่แท้จริงนั่นคือฉัน เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะสอบเทียบXคุณต้องไปหาβและเพื่อให้การสอบเทียบเครื่องมือที่คุณต้องทำ X-on-Y ถดถอย$E[X_i|Y_i] = Y_i$$X$$\beta$

การหดตัว

$Y$$E[Y|X]$$\gamma$$E[Y|X]$$Y$. สิ่งนี้นำไปสู่แนวความคิดเช่น Bay-Regression-to-the-Mean และ Bay Empirical

ตัวอย่างใน R วิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจกับสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่คือการสร้างข้อมูลและลองใช้วิธีการต่างๆ โค้ดด้านล่างเปรียบเทียบ X-on-Y กับ Y-on-X สำหรับการคาดการณ์และการสอบเทียบและคุณจะเห็นได้อย่างรวดเร็วว่า X-on-Y นั้นไม่ดีสำหรับแบบจำลองการทำนาย แต่เป็นขั้นตอนที่ถูกต้องสำหรับการปรับเทียบ

library(data.table)
library(ggplot2)

N = 100
beta = 0.7
c = 4.4

DT = data.table(Y = rt(N, 5), epsilon = rt(N,8))
DT[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

YonX = DT[, lm(Y~X)]   # Y = alpha_1 X + alpha_0 + eta
XonY = DT[, lm(X~Y)]   # X = beta_1 Y + beta_0 + epsilon


YonX.c = YonX$coef[1]   # c = alpha_0
YonX.m = YonX$coef[2]   # m = alpha_1

# For X on Y will need to rearrage after the fit.
# Fitting model X = beta_1 Y + beta_0
# Y = X/beta_1 - beta_0/beta_1

XonY.c = -XonY$coef[1]/XonY$coef[2]      # c = -beta_0/beta_1
XonY.m = 1.0/XonY$coef[2]  # m = 1/ beta_1

ggplot(DT, aes(x = X, y =Y)) + geom_point() +  geom_abline(intercept = YonX.c, slope = YonX.m, color = "red")  +  geom_abline(intercept = XonY.c, slope = XonY.m, color = "blue")

# Generate a fresh sample

DT2 = data.table(Y = rt(N, 5), epsilon = rt(N,8))
DT2[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

DT2[, YonX.predict := YonX.c + YonX.m * X]
DT2[, XonY.predict := XonY.c + XonY.m * X]

cat("YonX sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((YonX.predict - Y)^2)])
cat("XonY sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((XonY.predict - Y)^2)])

# Generate lots of samples at the same Y

DT3 = data.table(Y = 4.0, epsilon = rt(N,8))
DT3[, X := 0.7*Y + c + epsilon]

DT3[, YonX.predict := YonX.c + YonX.m * X]
DT3[, XonY.predict := XonY.c + XonY.m * X]

cat("Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4: ", DT3[, mean(YonX.predict)])
cat("Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4: ", DT3[, mean(XonY.predict)])

ggplot(DT3) + geom_density(aes(x = YonX.predict), fill = "red", alpha = 0.5) + geom_density(aes(x = XonY.predict), fill = "blue", alpha = 0.5) + geom_vline(x = 4.0, size = 2) + ggtitle("Calibration at 4.0")

เส้นการถดถอยสองเส้นถูกพล็อตบนข้อมูล

จากนั้นผลรวมของความคลาดเคลื่อนกำลังสองสำหรับ Y นั้นถูกวัดเพื่อให้พอดีกับตัวอย่างใหม่

> cat("YonX sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((YonX.predict - Y)^2)])
YonX sum of squares error for prediction:  77.33448
> cat("XonY sum of squares error for prediction: ", DT2[, sum((XonY.predict - Y)^2)])
XonY sum of squares error for prediction:  183.0144

อีกวิธีหนึ่งสามารถสร้างตัวอย่างที่ Y คงที่ (ในกรณีนี้ 4) จากนั้นค่าเฉลี่ยของการประมาณเหล่านั้น ตอนนี้คุณจะเห็นว่าเครื่องทำนาย Y-on-X นั้นไม่ได้รับการสอบเทียบอย่างมีค่าคาดว่าจะต่ำกว่า Y มากเครื่องทำนาย X-on-Y นั้นได้รับการปรับเทียบอย่างดีโดยมีค่าที่คาดไว้ใกล้เคียงกับ Y

> cat("Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4: ", DT3[, mean(YonX.predict)])
Expected value of X at a given Y (calibrated using YonX) should be close to 4:  1.305579
> cat("Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4: ", DT3[, mean(XonY.predict)])
Expected value of X at a gievn Y (calibrated using XonY) should be close to 4:  3.465205

การกระจายของการทำนายทั้งสองสามารถเห็นได้ในพล็อตความหนาแน่น

ขึ้นอยู่กับสมมติฐานของคุณเกี่ยวกับความแปรปรวนของ X และความแปรปรวนของ Y สำหรับกำลังสองน้อยที่สุด หาก Y มีแหล่งที่มาของความแปรปรวนเพียงอย่างเดียวและ X มีค่าความแปรปรวนเป็นศูนย์ให้ใช้ X เพื่อประเมิน Y หากสมมติฐานเป็นวิธีอื่น ๆ (X มีความแปรปรวนเพียงอย่างเดียวและ Y มีค่าความแปรปรวนเป็นศูนย์) จากนั้นใช้ Y เพื่อประมาณ X

ถ้าทั้ง X และ Y จะถือว่ามีความแปรปรวนแล้วคุณอาจต้องพิจารณารวมแควน้อย

คำอธิบายที่ดีของ TLS ถูกเขียนขึ้นที่ลิงค์นี้ บทความนี้มุ่งเน้นไปที่การซื้อขาย แต่ส่วนที่ 3 ทำได้ดีในการอธิบาย TLS

แก้ไข 1 (09/10/2013) ========================================= ======

เดิมทีฉันคิดว่านี่เป็นปัญหาการบ้านบางอย่างดังนั้นฉันจึงไม่ได้เจาะจงเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับ "คำตอบ" สำหรับคำถามของ OP แต่หลังจากอ่านคำตอบอื่น ๆ ดูเหมือนว่าตกลงเพื่อรับรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

การอ้างอิงส่วนหนึ่งของคำถามของ OP:

".... นอกจากนี้ยังมีการวัดระดับโดยใช้กระบวนการทางห้องปฏิบัติการที่แม่นยำมาก ....

ข้อความข้างต้นบอกว่ามีสองการวัดหนึ่งจากเครื่องมือและหนึ่งจากขั้นตอนการปฏิบัติการ คำแถลงยังแสดงถึงความแปรปรวนของกระบวนการทางห้องปฏิบัติการต่ำเมื่อเทียบกับความแปรปรวนของเครื่องมือ

อ้างจากคำถามของ OP ก็คือ:

".... การวัดขั้นตอนการตรวจทางห้องปฏิบัติการนั้นเขียนโดย y ..... "

ดังนั้นจากสองข้อความข้างต้น Y จึงมีความแปรปรวนต่ำกว่า ดังนั้นเทคนิคที่มีข้อผิดพลาดน้อยที่สุดคือการใช้ Y เพื่อประมาณ X คำตอบที่ให้มานั้นถูกต้อง