เป็นไปได้อย่างไรที่ Poisson GLM ยอมรับหมายเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม?

ฉันตกตะลึงกับความจริงที่ว่า Poisson GLM ยอมรับตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม! ดู:

ข้อมูล (เนื้อหาของdata.txt):

1   2001    0.25  1
1   2002    0.5   1
1   2003    1     1
2   2001    0.25  1
2   2002    0.5   1
2   2003    1     1

สคริปต์ R:

t        <- read.table("data.txt")
names(t) <- c('site', 'year', 'count', 'weight')
tm       <- glm(count ~ 0 + as.factor(site) + as.factor(year), data = t, 
                family = "quasipoisson")  # also works with family="poisson"
years    <- 2001:2003
plot(years, exp(c(0, tail(coef(tm), length(years)-1))), type = "l")

ดัชนีปีผลเป็น "คาดว่า" คือในปีที่ผ่าน1-2-42001-2003

แต่เป็นไปได้อย่างไรที่ Poisson GLM ใช้ตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม? การแจกแจงปัวซงเป็นจำนวนเต็มเสมอ!

r generalized-linear-model poisson-distribution poisson-regression

— อยากรู้อยากเห็น
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายสิ่งที่คุณต้องการรู้ได้อย่างแน่นอน? อัลกอริธึมที่เหมาะสมเกี่ยวข้องกับวิธีที่ไม่ใช่จำนวนเต็มอย่างไร หรือทำไม R ไม่ตรวจสอบว่าการตอบสนองเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ หรือว่ามีอะไรผิดปกติในผลลัพธ์เมื่อไม่ได้ระบุจำนวนเต็ม?

— Momo

@ โมโมใช่คำถามเหล่านี้น่าสนใจ!

— อยากรู้อยากเห็น

โปรดแก้ไขคำถามของคุณเพื่อสะท้อนว่า คุณมีแนวโน้มที่จะได้รับคำตอบที่ดีด้วยวิธีนี้

— Momo

ไม่ว่าสิ่งนี้จะเป็นเรื่องจริงตามจริงfamily="poisson"เช่นกัน แต่โปรดทราบว่าตัวอย่างของคุณไม่ใช่ Poisson GLM เนื่องจากคุณกำลังใช้งานquasipoissonครอบครัวซึ่งขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนอยู่แล้วดังนั้นในนั้น กรณีไม่ควรแปลกใจที่จะใช้หมายเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

— Aaron - Reinstate Monica

ต่อไปนี้เป็นข้อมูลอ้างอิงบางส่วนเกี่ยวกับสาเหตุที่อาจมีเหตุผล

— Dimitriy V. Masterov

คำตอบ:

แน่นอนว่าคุณถูกต้องแล้วว่าการแจกแจงแบบปัวซองนั้นถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็มเท่านั้น อย่างไรก็ตามการสร้างแบบจำลองทางสถิติเป็นศิลปะของการประมาณที่ดี (" แบบจำลองทั้งหมดผิด ") และมีบางครั้งที่เหมาะสมที่จะปฏิบัติต่อข้อมูลที่ไม่ใช่จำนวนเต็มราวกับว่ามันเป็น [ประมาณ] ปัวซอง

ตัวอย่างเช่นหากคุณส่งผู้สังเกตการณ์สองคนออกไปเพื่อบันทึกข้อมูลการนับเดียวกันอาจเกิดขึ้นได้ว่าผู้สังเกตการณ์ทั้งสองไม่เห็นด้วยกับการนับเสมอ - คนหนึ่งอาจพูดว่ามีบางสิ่งเกิดขึ้น 3 ครั้งในขณะที่อีกคนบอกว่ามันเกิดขึ้น 4 ครั้ง เป็นเรื่องที่ดีที่จะมีตัวเลือกให้ใช้ 3.5 เมื่อปรับค่าสัมประสิทธิ์ปัวซองของคุณให้เหมาะสมแทนที่จะต้องเลือกระหว่าง 3 และ 4

การคำนวณแบบแฟคทอเรียลในปัวซองนั้นทำให้ดูเหมือนยากที่จะทำงานกับผู้ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่มีการวางนัยทั่วไปอย่างต่อเนื่องของแฟคทอเรียล นอกจากนี้การดำเนินการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับ Poisson ไม่ได้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นแฟกทอ, เมื่อคุณลดความซับซ้อนของการแสดงออก

— zkurtz
แหล่งที่มา

สำหรับการตอบสนองหากคุณถือว่าลอการิทึมของความคาดหวังของมันคือการรวมกันเชิงเส้นของทำนาย และความแปรปรวนของมันเท่ากับความคาดหวัง แล้วประมาณการที่สอดคล้องกันสำหรับการถดถอย สัมประสิทธิ์สามารถรับได้โดยการแก้สมการคะแนนสำหรับแบบจำลองปัวซอง: $y$ $\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}\vec{x}$

E Y_{i} = \exp β^{T} x_{i}

$\operatorname{E}Y_i=\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}$

Var Y_{i} = E Y_{i}

$\operatorname{Var}Y_i=\operatorname{E}Y_i$

β

$\vec\beta$

\sum_{i}^{n} x_{i} (y_{i} - \exp β^{T} x_{i}) = 0

$\sum_i^n{\vec{x}_i\left(y_i-\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}\right)}=0$ แน่นอนความสอดคล้องไม่ได้หมายความถึงความถูกต้องของการทดสอบหรือช่วงความเชื่อมั่นใด ๆ ; โอกาสที่ไม่ได้ระบุ

สิ่งนี้ตามมาจากวิธีการของช่วงเวลาที่เราเรียนรู้ที่โรงเรียน & นำไปสู่การประมาณสมการทั่วไป

@ Aaron ชี้ให้เห็นว่าคุณใช้ quasi-Poisson พอดีในรหัสของคุณ นั่นหมายถึงความแปรปรวนเป็นสัดส่วนกับค่าเฉลี่ย

Var Y_{i} = ϕ E Y_{i}

$\operatorname{Var}Y_i=\phi\operatorname{E}Y_i$

$\phi$

— Scortchi - Reinstate Monica
แหล่งที่มา