การแจกจ่าย

เมื่อวันก่อนฉันวิ่งผ่านความหนาแน่นนี้ มีใครบางคนตั้งชื่อนี้หรือไม่?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

ความหนาแน่นไม่ จำกัด ที่จุดกำเนิดและมันยังมีหางที่เป็นไขมัน ฉันเห็นว่ามันใช้เป็นการกระจายก่อนหน้านี้ในบริบทที่คาดว่าการสังเกตจำนวนมากจะเล็กแม้ว่าค่าขนาดใหญ่ก็คาดหวังเช่นกัน

distributions probability

— John D. Cook
แหล่งที่มา

จากความอยากรู้อยากเห็นคุณได้รับการอ้างถึงแหล่งที่มาซึ่งคุณเห็นสิ่งนี้ตั้งแต่แรก

— JMS

JMS: "ตัวประมาณเกือกม้าสำหรับสัญญาณเบาบาง" โดย Carvalho, Polson และ Scott ฉันเห็นว่ามันเป็นสิ่งพิมพ์ แต่อาจได้รับการตีพิมพ์ใน Biometrika ในตอนนี้ พวกเขาไม่เคยใช้สิ่งนี้มาก่อน แต่ความหนาแน่นด้านบนเป็นค่าประมาณของกรณีพิเศษก่อนหน้า

— John D. Cook

มันได้รับการตีพิมพ์: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017

— fabians

กรณีพิเศษใดที่คุณประมาณ ฉันอ่านแล้ว แต่ไม่สามารถเกี่ยวข้องกับนิพจน์ของคุณกับนิพจน์ที่ให้ไว้ในบทความ ...

— fabians

@fabians: กรณีที่ฉันมีอยู่ในใจคือ sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 ในทฤษฎีบทที่ 1 มันบอกว่าความหนาแน่นของเกือกม้าถูกล้อมรอบด้านบนและด้านล่างโดยการบันทึกหลายรายการ (1 + c / x ^ 2) ดังนั้นการกระจายที่ผมพูดถึงข้างต้นนั้นอาจทำให้ความหนาแน่นของเกือกม้าง่ายกว่าการประมาณ

— John D. Cook

คำตอบ:

แน่นอนแม้กระทั่งช่วงเวลาแรกยังไม่มีอยู่ CDF ของการแจกจ่ายนี้มอบให้โดย

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x เข้าสู่ระบบ (บาป (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

สำหรับและโดยสมมาตรสำหรับ 0ไม่ว่าจะเป็นเรื่องนี้หรือการแปลงใด ๆ ก็ตามที่ดูคุ้นเคยกับฉัน (ความจริงที่ว่าเราสามารถได้รับแบบฟอร์มปิดสำหรับ CDF ในแง่ของฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาอย่างรุนแรงแล้ว จำกัด ความเป็นไปได้ แต่ลักษณะที่ค่อนข้างชัดเจนและซับซ้อนของรูปแบบปิดนี้อย่างรวดเร็วออกกฎการกระจายมาตรฐานหรือการเปลี่ยนแปลงมาตรฐาน แน่นอนอาร์กแทนเจนต์คือ CDF ของ Cauchy (นักเรียน $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$ ) การกระจายซึ่งแสดง CDF นี้เป็นเวอร์ชั่นที่ถูกรบกวนของการแจกจ่าย Cauchy ซึ่งแสดงเป็นเส้นประสีแดง

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— whuber
แหล่งที่มา

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

@ โฮเบอร์แม้ว่าฉันคิดว่าฉันเห็นว่าคุณมาจากไหนเกี่ยวกับคำแถลงของคุณเกี่ยวกับ cdfs ที่มีรูปแบบปิด (คำแนะนำ: Louiville) ฉันจะขอเตือนด้วยคำพูดนั้น การแจกจ่าย Cauchy นั้นเป็น "counterexample" ในส่วนที่เกี่ยวข้อง

— พระคาร์ดินัล

@cardinal ฉันไม่เข้าใจประเด็นที่คุณพูดถึงการแจกจ่าย Cauchy ฉันใช้เฉพาะรูปแบบของ CDF เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหาที่แคบลงและเป็นเป้าหมายสำหรับการค้นหา CDF สะดวกกว่า PDF เล็กน้อยเนื่องจากง่ายต่อการดูว่าจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเปลี่ยนตัวแปร และใช่ความสัมพันธ์ที่คุณสังเกตเห็นชัดเจน แต่ฉันเลือกที่จะเขียน CDF ในรูปแบบนี้เนื่องจากการปรากฏตัวของอาร์คแทนเจนต์ในเทอมอื่น (ซึ่งแสดงถึงการแทนที่ x = tan (u))

— whuber

@whuber บางทีฉันอาจจะดีกว่าที่จะขอความกระจ่างมากกว่าที่จะสมมติ อะไรคือประเด็นของคุณเกี่ยวกับความคิดเห็นของคุณว่ารูปแบบปิด cdf รุนแรง จำกัด โอกาส?

— พระคาร์ดินัล

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

อาจจะไม่.

ฉันไม่พบมันในรายการการแจกแจงที่ครอบคลุมค่อนข้างนี้:

Leemis และ McQuestion 2008 Univariate การกระจายความสัมพันธ์ สถิติอเมริกัน 62 (1) 45:53

— อาเบะ
แหล่งที่มา