“ โซลูชั่นแบบปิด” หมายความว่าอย่างไร

82

ฉันเจอคำว่า "วิธีแก้ปัญหาแบบปิด" ค่อนข้างบ่อย โซลูชันแบบปิดหมายความว่าอย่างไร วิธีการหนึ่งที่กำหนดว่ามีวิธีการแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับปัญหาที่กำหนด? การค้นหาออนไลน์ฉันพบข้อมูลบางอย่าง แต่ไม่มีสิ่งใดในบริบทของการพัฒนาตัวแบบ / วิธีแก้ปัญหาเชิงสถิติหรือความน่าจะเป็น

ฉันเข้าใจความถดถอยเป็นอย่างดีดังนั้นหากมีใครสามารถอธิบายแนวคิดโดยอ้างอิงจากการถดถอยหรือการปรับตัวแบบมันจะง่ายต่อการบริโภค :)

— arjsgh21
แหล่งที่มา

4

คำถามนี้ดูเหมือนจะเป็นแม่เหล็กสำหรับคำตอบที่มีคุณภาพต่ำในบางเวลา ฉันคิดว่าบางทีมันควรได้รับการปกป้องในตอนนี้

— Glen_b

37

"สมการบอกว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาแบบปิดถ้ามันแก้ปัญหาที่กำหนดในแง่ของฟังก์ชั่นและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จากชุดที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปตัวอย่างเช่นผลรวมอนันต์จะไม่ถือว่าเป็นรูปแบบปิดอย่างไรก็ตาม ตัวเลือกของสิ่งที่จะเรียกรูปแบบปิดและสิ่งที่ไม่ได้ค่อนข้างตามอำเภอใจตั้งแต่ฟังก์ชั่น "รูปแบบปิด" ใหม่สามารถกำหนดได้เพียงในแง่ของผลรวมอนันต์ - หมาป่าอัลฟ่า

และ

"ในวิชาคณิตศาสตร์นิพจน์จะกล่าวว่าเป็นนิพจน์แบบปิดหากสามารถแสดงออกเชิงวิเคราะห์ในแง่ของจำนวน จำกัด ของฟังก์ชั่น" ที่รู้จักกันดี "บางอย่างโดยทั่วไปฟังก์ชั่นที่รู้จักกันดีเหล่านี้จะถูกกำหนดให้เป็นหน้าที่ระดับประถมศึกษา ค่าคงที่, ตัวแปรหนึ่งตัว x, การทำงานเบื้องต้นของเลขคณิต (+ - ×÷), รากที่ n, เลขชี้กำลังและลอการิทึม ของนิพจน์แบบปิด " - วิกิพีเดีย

ตัวอย่างของการแก้ปัญหาแบบปิดในการถดถอยเชิงเส้นจะเป็นสมการกำลังสองน้อยที่สุด

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y

$\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^Ty$

พิจารณาว่าสถานการณ์การถดถอยทั้งหมดสามารถใช้เป็นปัญหาในการแก้ระบบสมการเมื่อใดจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิด? ปัญหาที่ไม่ถูกต้องหรือห่างเหินจะต้องใช้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณดังนั้นกรณีที่ไม่มีโซลูชันแบบปิดไม่มีอยู่จริงหรือไม่? วิธีการเกี่ยวกับเมื่อหนึ่งใช้โคตรลาดคอนจูเกตกับ regularization

— arjsgh21

ฉันพบว่าการสนทนานี้มีประโยชน์ - ลิงก์

— arjsgh21

@ arjsgh21 คุณยังต้องการคำชี้แจงเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของคำว่าโซลูชั่นแบบปิดหรือไม่ เนื่องจากคำถามใหม่ของคุณดูเหมือนจะเกี่ยวกับเวลาที่มีการแก้ปัญหาแบบปิด (หรือไม่) ในปัญหาการถดถอยซึ่งเป็นหัวข้อใหม่ทั้งหมดและควรจะถามว่าเป็นคำถามใหม่ในความคิดของฉัน

ขอบคุณ BabakP ฉันคิดว่าฉันเข้าใจแล้วตอนนี้โดยอ้างอิงจากการถดถอยและอย่างอื่น

— arjsgh21

1

มันทำให้ฉันสับสนว่าทำไม CrossValidated เป็น "ฟอรัมแลกเปลี่ยนเท่านั้น" ที่สนับสนุนคำตอบที่ทำให้งงงวย แต่ถูกต้องตลอดเวลาสำหรับคำตอบที่ให้ความเข้าใจ คำตอบที่ดีที่สุดของการครอบตัดปัจจุบันคือ @ Luca และไม่ได้รับการชื่นชม จริงมันให้ลิงค์เท่านั้น แต่เป็นลิงค์ที่เข้าใจง่าย คำตอบที่ไม่เหมาะสมนี้ช่วยแก้ปัญหาสำหรับผู้ที่รู้คำตอบแล้ว :(

— Mike Williamson

17

ขั้นตอนการประมาณค่าส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพารามิเตอร์ที่ลด (หรือเพิ่ม) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์บางอย่าง ตัวอย่างเช่นด้วย OLS เราจะลดผลรวมของส่วนที่เหลือกำลังสองน้อยที่สุด ด้วยการประเมินความน่าจะเป็นสูงสุดเราจะเพิ่มฟังก์ชั่นบันทึกความเป็นไปได้สูงสุด ความแตกต่างคือเรื่องเล็กน้อย: การย่อขนาดสามารถถูกแปลงเป็นการขยายให้ใหญ่สุดโดยใช้ฟังก์ชันลบของวัตถุประสงค์

บางครั้งปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ทางพีชคณิตทำให้เกิดวิธีแก้ปัญหาแบบปิด ด้วย OLS คุณจะแก้ปัญหาระบบการสั่งซื้อครั้งแรกและรับสูตรที่คุ้นเคย (แม้ว่าคุณอาจต้องใช้คอมพิวเตอร์เพื่อประเมินคำตอบ) ในกรณีอื่น ๆ นี่เป็นไปไม่ได้ในทางคณิตศาสตร์และคุณต้องค้นหาค่าพารามิเตอร์โดยใช้คอมพิวเตอร์ ในกรณีนี้คอมพิวเตอร์และอัลกอริทึมมีบทบาทที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างกำลังสองน้อยที่สุดคือไม่เชิงเส้น คุณไม่ได้สูตรที่ชัดเจน สิ่งที่คุณได้รับคือสูตรที่คุณต้องใช้คอมพิวเตอร์เพื่อนำไปใช้ สูตรอาจเริ่มต้นด้วยการเดาเริ่มต้นว่าพารามิเตอร์อาจเป็นอย่างไรและแตกต่างกันอย่างไร จากนั้นคุณลองใช้การรวมกันของพารามิเตอร์ต่างๆและดูว่าอันไหนให้ค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ต่ำสุด / สูงสุด นี่เป็นวิธีการที่ดุร้ายและใช้เวลานาน ตัวอย่างเช่น, $10^5$

หรือคุณอาจเริ่มต้นด้วยการเดาและปรับแต่งการเดาในบางทิศทางจนกว่าการปรับปรุงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะน้อยกว่าค่าบางค่า สิ่งเหล่านี้มักจะเรียกว่าวิธีการไล่ระดับสี (แม้ว่าจะมีวิธีอื่นที่ไม่ได้ใช้การไล่ระดับสีเพื่อเลือกทิศทางที่จะเข้าไปเช่นอัลกอริทึมทางพันธุกรรมและการจำลองการหลอม) ปัญหาบางอย่างเช่นการรับประกันนี้คุณจะพบคำตอบที่ถูกต้องอย่างรวดเร็ว (ฟังก์ชันวัตถุประสงค์กำลังสอง) คนอื่นไม่รับประกันเช่นนั้น คุณอาจกังวลว่าคุณติดอยู่กับคนท้องถิ่นมากกว่าคนทั่วโลกที่ดีที่สุดดังนั้นคุณจึงลองเดาการคาดเดาครั้งแรก คุณอาจพบว่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันอย่างดุร้ายทำให้คุณมีค่าเหมือนกันของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ดังนั้นคุณจึงไม่ทราบว่าจะเลือกชุดใด

E [y] = \exp {α}

$\begin{equation} E[y]=\exp\{\alpha\} \end{equation}$

Q_{N} (α) = - \frac{1}{2 N} \sum_{i}^{N} {(y_{i} - \exp {α})}^{2}

$\begin{equation} Q_N(\alpha)=-\frac{1}{2N} \sum_i^N \left( y_i - \exp\{\alpha\} \right)^2 \end{equation}$

$\alpha^* = \ln \bar y$ $\ln (\bar y + k)$

— Dimitriy V. Masterov
แหล่งที่มา

คุณคิดว่า "วิเคราะห์" กับ "รูปแบบปิด" โดยนัยในประโยคสุดท้ายหรือไม่?

— whuber

2

ฉันคิดว่าเหมือนกันแล้ว: mathworld.wolfram.com/Analytic.html

— Dimitriy V. Masterov

คุณเห็นความคิดเห็นที่ไม่ชัดเจนในตอนท้ายของหน้า MathWorld หรือไม่? ปัญหาคือในบริบทปัจจุบัน "วิเคราะห์" สามารถเข้าใจได้อย่างสมเหตุสมผลในหลายวิธี นอกจากนี้ "การวิเคราะห์" และ "การวิเคราะห์" ไม่ได้หมายถึงสิ่งเดียวกัน (เช่น "ประวัติศาสตร์" และ "ประวัติศาสตร์" มีความหมายต่างกัน)

— whuber

ฉันไม่ทราบว่ามี "ความแตกต่างของโซลูชันการวิเคราะห์", "โซลูชันการวิเคราะห์" และ "รูปแบบปิด" แตกต่างกัน แม ธ เวิลด์ไม่ได้มีรายการที่แยกต่างหากสำหรับการวิเคราะห์และกำหนดวิธีการแก้ปัญหาการวิเคราะห์ในการแก้ไขปัญหาเป็นหนึ่งที่สามารถเขียนในรูปแบบ "ปิด" ในแง่ของฟังก์ชั่นที่รู้จักกันคง ฯลฯ .. เมกะวัตต์กล่าวว่าการวิเคราะห์และการวิเคราะห์สายพันธุ์ ความแตกต่างระหว่างประวัติศาสตร์และประวัติศาสตร์นั้นถูกต้อง แต่ฉันไม่ได้ทำตามสิ่งที่เกี่ยวข้องกับกรณีนี้ หากฉันผิดโปรดแก้ไขให้ถูกต้อง

— Dimitriy V. Masterov

2

ในบริบททางคณิตศาสตร์หลายเรื่อง "การวิเคราะห์" เป็นคำที่แม่นยำของศิลปะที่นำไปใช้กับฟังก์ชั่นใด ๆ ในประเทศที่แสดงออกได้อย่างชัดเจนในฐานะชุดพลังงานที่มีรัศมีการบรรจบเป็นบวกในขณะที่ "การวิเคราะห์" ในวงกว้าง ตามที่ระบุไว้ในใบเสนอราคาของ BabakP "รูปแบบปิด" ได้รับความหมายเฉพาะในบริบทของกระบวนการที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับการรวมค่า (มักจะถือว่าเป็นระดับประถมศึกษา แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันยอดเยี่ยม)

— whuber

13

ฉันคิดว่าเว็บไซต์นี้ให้สัญชาตญาณง่าย ๆ ข้อความที่ตัดตอนมาคือ:

โซลูชันแบบปิด (หรือนิพจน์แบบปิด) คือสูตรใด ๆ ที่สามารถประเมินได้ในจำนวน จำกัด ของการดำเนินการมาตรฐาน ... วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขคือการประมาณค่าใด ๆ ที่สามารถประเมินได้ในจำนวน จำกัด ของการดำเนินการมาตรฐาน โซลูชันแบบปิดและโซลูชันตัวเลขมีความคล้ายคลึงกันซึ่งทั้งคู่นั้นสามารถประเมินได้ด้วยการดำเนินงานมาตรฐานจำนวน จำกัด พวกเขาแตกต่างกันในการแก้ปัญหาแบบปิดที่แน่นอนในขณะที่วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขเป็นเพียงประมาณ

— Luca Bertinetto
แหล่งที่มา

2

ในขณะที่ให้ลิงก์เท่านั้นนี่เป็นคำตอบที่เป็นประโยชน์ที่สุดอย่างแน่นอน

— Mike Williamson

2

การรวมคำพูดของเวย์นเข้ากับลิงก์ค่อนข้างดีขึ้นแน่นอนคำตอบ

— Glen_b

2

ยิ่งไปกว่านั้นลิงค์ของ Luca ก็ตายไปแล้ว

— Naramsim

-2

กำลังมองหาคำศัพท์ที่วางหรือคำฟุ่มเฟือยที่เจ็บปวดที่กำหนดความหมายอย่างจริงจัง? ฉันจะเข้าใจคำศัพท์ที่สามารถพบได้ทั่วไปในทุกที่ สมมติว่าคุณต้องการโซลูชันแบบปิดของสแควร์รูทของ 8 โซลูชันแบบปิดคือ 2 * (2) ^ 1/2 หรือสองคูณสแควร์รูทของสอง นี่คือตรงกันข้ามกับวิธีแก้ปัญหาแบบไม่ปิด 2.8284 (ดูวิกิพีเดียสแควร์รูทของ 2 เพื่อดูมากกว่าที่ 69 ตำแหน่งทศนิยมนั้นแม่นยำภายใน 1 / 10,000) หนึ่งถูกกำหนดอย่างแน่นอนในแง่คณิตศาสตร์ในขณะที่คนอื่นไม่ได้ โซลูชันแบบฟอร์มปิดให้คำตอบที่แน่นอนและคำตอบที่ไม่ใช่แบบฟอร์มปิดเป็นการประมาณ แต่คุณสามารถรับโซลูชันแบบปิดที่ไม่ใช่ปิดได้ใกล้เคียงกับโซลูชันแบบปิดตามที่คุณต้องการ ฟังดูเป็นเรื่องง่าย แต่ถ้าคุณต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ก็แค่คำนวณให้ละเอียดมากขึ้น

— Cheesepipe
แหล่งที่มา

3

นี่คือการใช้คำว่า "ฟอร์มปิด" ที่ผิดปกติ คุณสามารถให้การอ้างอิงได้หรือไม่?

— whuber

1

ไม่แน่ใจว่าฉันสามารถให้เอกสารสนับสนุนระดับเพียงพอที่จะชนะการอภิปรายในเรื่องนี้โดยไม่ต้องทำงานมากกว่าที่ฉันตั้งใจจะทำ แต่นี่จะไป ดูที่ Wikipedia สำหรับการแสดงออกของรูปแบบปิด ในสองส่วนสุดท้ายนั้นจะอธิบายถึงวิธีการแก้ปัญหาแบบฟอร์มที่ปิดไม่จำเป็นต้องใช้เพราะการคำนวณเชิงตัวเลขสามารถใช้ในการประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาและส่วนต่อไปนี้ที่อธิบายว่าโปรแกรมคณิตศาสตร์บางโปรแกรมพยายามสร้างวิธีการแก้ปัญหาแบบปิด การแก้ปัญหาแบบปิดมีความแม่นยำ (ออกจากพื้นที่)

— Cheesepipe

5

Wikipedia นั้นใช้ได้ดีสำหรับการอ้างอิง ในกรณีนี้ดูเหมือนว่าคุณอาจมี "นิพจน์แบบฟอร์มปิด" กับ "หมายเลขแบบฟอร์มปิด" แบบรวม พวกเขาไม่ได้หมายถึงสิ่งเดียวกัน

— whuber

-2

รูปแบบปิด = ปิด (หน้าที่) แบบฟอร์ม

ปิดหมายความว่าไม่มีอะไรเพิ่มเติมสามารถเข้าไปข้างใน; นั่นคือไม่มีทางเลือก => โซลูชันเดียวเท่านั้น => มีเพียงหนึ่งฟังก์ชันที่สามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างผลลัพธ์และตัวทำนายได้

— Vivek Astvansh
แหล่งที่มา

3

นี่ก็เป็นการใช้คำผิดปกติเช่นกัน คุณสามารถให้ตัวอย่างของการใช้ในบริบทนี้ได้ไหม ฉันประหลาดใจเป็นส่วนใหญ่เพราะมักได้ยินรูปแบบปิด / ไม่มีรูปแบบปิดเกี่ยวกับอินทิกรัลซึ่งไม่มีผลหรือตัวทำนาย

— Matt Krause