สูตรความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงหลายตัวแปร - เบอโนลลี

ฉันต้องการสูตรสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการแจกแจงแบบ N-Variate Bernoulliได้รับความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบเดี่ยวและคู่ขององค์ประกอบ{IJ} ฉันสามารถให้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมของกัน P ( X i = 1 ) = p i P ( X i = 1 ∧ X j = 1 ) = p i j$X\in\{0,1\}^n$$P(X_i=1)=p_i$$P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$$X$

ฉันได้เรียนรู้แล้วว่ามีอยู่จริงมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับการกระจายจำนวนมากที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่กำหนด ฉันกำลังมองหาที่ยอมรับในเช่นเดียวกับ Gaussian คือการกระจายแบบบัญญัติสำหรับและค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่กำหนด { 0 , 1 } n R $\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$$R^n$

ตัวแปรสุ่มที่รับค่าในเป็นตัวแปรสุ่มแบบแยก การกระจายของมันจะถูกอธิบายอย่างเต็มที่โดยน่าจะเป็น กับ n ความน่าจะเป็นและคุณให้เป็นผลรวมของสำหรับบางดัชนี{i}$\{0,1\}^n$$p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$$\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$$p_{i}$$p_{ij}$$p_{\mathbf{i}}$$\mathbf{i}$

ตอนนี้ดูเหมือนว่าคุณต้องการอธิบายโดยใช้และเท่านั้น มันเป็นไปไม่ได้โดยไม่ต้องสมมติว่าคุณสมบัติบางอย่างบน{i}} หากต้องการดูลองที่จะได้รับว่าลักษณะการทำงานของXถ้าเรารับเราจะได้$p_{\mathbf{i}}$$p_i$$p_{ij}$$p_{\mathbf{i}}$$X$$n=3$

$$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$$ เป็นไปไม่ได้ที่จะจัดเรียงนิพจน์นี้ใหม่เพื่อให้หายไป สำหรับตัวแปรสุ่ม gaussian ฟังก์ชันคุณสมบัติขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมเท่านั้น ฟังก์ชั่นลักษณะเฉพาะกำหนดการแจกแจงแบบเฉพาะดังนั้นนี่คือสาเหตุที่เกาส์นสามารถอธิบายได้อย่างไม่เหมือนใครโดยใช้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมเท่านั้น อย่างที่เราเห็นสำหรับตัวแปรสุ่มนี่ไม่ใช่กรณี$p_{\mathbf{i}}$$X$

 

ดูกระดาษต่อไปนี้:

JL Teugels, การแสดงบางส่วนของหลายตัวแปร Bernoulli และทวินามกระจาย , วารสารการวิเคราะห์หลายตัวแปรฉบับ 32, ไม่มี 2, ก.พ. 1990, 256–268

นี่คือนามธรรม:

Multivariate แต่ vectorized version สำหรับ Bernoulli และการแจกแจงแบบทวินามถูกสร้างขึ้นโดยใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์ Kronecker จากเมทริกซ์แคลคูลัส การแจกแจงตัวแปรหลายตัว Bernoulli เป็นการสร้างแบบจำลองที่กำหนดพารามิเตอร์ซึ่งเป็นทางเลือกสำหรับโมเดลเชิงเส้นล็อกแบบดั้งเดิมสำหรับตัวแปรไบนารี

ฉันไม่รู้ว่าการกระจายตัวที่เกิดขึ้นนั้นเรียกว่าอะไรหรือแม้กระทั่งมีชื่อ แต่มันก็ทำให้ฉันเห็นได้ชัดว่าวิธีตั้งค่านี้คือคิดว่าแบบจำลองที่คุณจะใช้เป็นแบบจำลอง 2 × 2 × 2 × …× 2 ตารางโดยใช้แบบจำลองการบันทึกเชิงเส้น (ปัวซองการถดถอย) เมื่อคุณทราบว่าการโต้ตอบลำดับที่ 1 เท่านั้นเป็นธรรมดาที่จะถือว่าการโต้ตอบลำดับสูงกว่าทั้งหมดเป็นศูนย์

การใช้รูปแบบของผู้ถามนี่ทำให้แบบจำลอง:

$$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$$