ความหนาแน่นสูงเกินไปสำหรับโมเดล Gamma-Poisson แบบลำดับชั้น

ในรูปแบบลำดับชั้นของข้อมูลที่ มันดูเหมือนจะเป็นเรื่องปกติในทางปฏิบัติเพื่อเลือกค่า (ว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงแกมมาประมาณตรงกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของข้อมูล (เช่น Clayton และ Kaldor, 1987 "Empirical Bayes Estimates ของความเสี่ยงสัมพัทธ์ตามมาตรฐานอายุสำหรับการทำแผนที่โรค" Biometrics ) เห็นได้ชัดว่านี่เป็นเพียงโซลูชันเฉพาะกิจแต่เนื่องจากมันจะเกินความเชื่อมั่นของนักวิจัยในพารามิเตอร์$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$และความผันผวนเล็กน้อยในข้อมูลที่รับรู้อาจมีผลต่อความหนาแน่นของแกมม่าแม้ว่ากระบวนการสร้างข้อมูลพื้นฐานจะยังคงเหมือนเดิม

นอกจากนี้ในการวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์ (2nd Ed) Gelman เขียนว่าวิธีนี้คือ " เลอะเทอะ ;" ในหนังสือและบทความนี้ (เริ่มต้นที่ 3232) เขาแนะนำว่าควรเลือกความหนาแน่น hyperpriorในแบบที่คล้ายกับตัวอย่างเนื้องอกหนู (เริ่มต้นที่ 130)$p(\alpha, \beta)$

แม้ว่าจะเป็นที่ชัดเจนว่ายอมรับได้ตราบใดที่มันสร้างความหนาแน่นของหลังที่ จำกัด แต่ฉันไม่พบตัวอย่างของความหนาแน่น hyperprior ที่นักวิจัยได้ใช้สำหรับปัญหานี้ในอดีต ฉันจะซาบซึ้งอย่างยิ่งถ้ามีคนชี้ให้ฉันไปที่หนังสือหรือบทความที่ใช้ความหนาแน่นสูงเกินไปเพื่อประเมินแบบจำลอง Poisson-Gamma เป็นการดีที่ฉันสนใจในที่ค่อนข้างแบนและจะถูกครอบงำโดยข้อมูลในตัวอย่างเนื้องอกหนูหรือการอภิปรายเปรียบเทียบข้อกำหนดทางเลือกหลายประการและการแลกเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับแต่ละ$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

ไม่ได้ตอบคำถามจริงๆเพราะฉันไม่ได้ชี้ให้คุณเห็นหนังสือหรือบทความที่ใช้ไฮเปอร์ไทรซ์ แต่เป็นการอธิบายและเชื่อมโยงกับสิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับพารามิเตอร์ของแกมม่า

ครั้งแรกที่ทราบว่า Poisson-แกมมานำไปสู่รูปแบบเมื่อเป็นแบบบูรณาการเพื่อการกระจายทวินามเชิงลบกับพารามิเตอร์และเบต้า) พารามิเตอร์ที่สองอยู่ในช่วง(0,1)หากคุณต้องการไม่เป็นทางการ Jeffreys ก่อนหน้านี้ในอาจเหมาะสม คุณสามารถใส่ก่อนหน้าโดยตรงบนหรือทำงานผ่านการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่จะได้รับ:$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

หรือคุณสามารถทราบว่าคือพารามิเตอร์ขนาดสำหรับการแจกแจงแกมมาและทั่วไปที่ฟรีย์ก่อนสำหรับพารามิเตอร์ระดับคือ1อาจพบว่ามันแปลกที่ Jeffreys ก่อนหน้าสำหรับนั้นแตกต่างกันระหว่างสองรุ่น แต่รุ่นนั้นไม่เท่ากัน อันแรกคือการแจกแจงของและอีกอันสำหรับการกระจายของ\ ข้อโต้แย้งในความโปรดปรานของอดีตคือสมมติว่าไม่มีการจัดกลุ่มข้อมูลจะถูกกระจายลบเน่า Binomialดังนั้นให้วาง Priors บนและโดยตรง$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$เป็นสิ่งที่ต้องทำ ตัวอย่างเช่น OTOH ถ้าคุณมีกลุ่มข้อมูลที่การสังเกตในแต่ละกลุ่มมีเหมือนกันคุณต้องสร้างแบบจำลองอย่างใดดังนั้นการรักษาเป็นพารามิเตอร์สเกลของการแจกแจงแกมม่า ดูเหมือนจะเหมาะสมกว่า (ความคิดของฉันในหัวข้อที่อาจเป็นที่ถกเถียงกัน)$\lambda$$\lambda$$\beta$

พารามิเตอร์แรกสามารถแก้ไขได้ผ่าน Jeffreys priors หากเราใช้เทคนิคทั่วไปในการพัฒนา Jeffreys priors สำหรับแต่ละพารามิเตอร์อย่างอิสระจากนั้นสร้างข้อต่อ (ไม่ใช่ Jeffreys) ก่อนหน้านี้เป็นผลิตภัณฑ์ของนักบวชพารามิเตอร์เดี่ยวสองตัวเราจะได้รับพารามิเตอร์รูปร่างของการแจกแจงแกมม่าก่อน :$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

ที่ฟังก์ชั่น polygamma2} อึดอัดใจ แต่ไม่สามารถปรับได้ คุณสามารถรวมสิ่งนี้กับหนึ่งในบรรดานักบวชของ Jeffreys ด้านบนเพื่อรับการกระจายที่ไม่ได้มีส่วนร่วมก่อนหน้านี้ การรวมเข้ากับก่อนหน้านี้สำหรับพารามิเตอร์ Gamma scale ทำให้มีการอ้างอิงก่อนหน้านี้สำหรับพารามิเตอร์ Gamma$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

หากเราต้องการไปยังเส้นทางเต็ม Jeffreys สร้าง Jeffreys จริงก่อนพารามิเตอร์ Gamma เราจะได้รับ:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

อย่างไรก็ตาม Jeffreys priors สำหรับพารามิเตอร์หลายมิติมักจะมีคุณสมบัติที่ไม่ดีเช่นเดียวกับคุณสมบัติการบรรจบกันที่ไม่ดี (ดูลิงค์ไปยังการบรรยาย ) ฉันไม่รู้ว่านี่เป็นกรณีของ Gamma หรือไม่ แต่การทดสอบจะให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์บ้าง

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับนักบวชสำหรับแกมมาดูที่หน้า 13-14 ของแคตตาล็อกของนักบวชที่ไม่ให้ข้อมูล Yang และ Berger มีการกระจายอื่น ๆ อยู่ในนั้นเช่นกัน สำหรับภาพรวมของฟรีย์และการอ้างอิงไพรเออร์ที่นี่คือบางส่วนเอกสารประกอบการบรรยาย