สัญกรณ์ห้อยในความคาดหวัง

ความหมายที่แท้จริงของสัญกรณ์ห้อยคืออะไรในความคาดหวังตามเงื่อนไขในกรอบของทฤษฎีการวัด? ห้อยเหล่านี้จะไม่ปรากฏในความหมายของความคาดหวังที่มีเงื่อนไข แต่เราอาจจะเห็นเช่นในหน้าของวิกิพีเดียนี้ (โปรดทราบว่ามันไม่ได้เป็นอย่างนั้นเสมอไปในสองสามเดือนก่อนหน้านี้ ) $\mathbb{E}_X[f(X)]$

สิ่งที่ควรเป็นเช่นความหมายของกับและ ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— เอมิ
แหล่งที่มา

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าใครบางคนจะพูดสอดกับคำจำกัดความที่เป็นทางการอย่างไม่เป็นทางการความคาดหวังทั้งหมดเป็นความคาดหวังมากกว่าการกระจายของ (/ ความคาดหวังเกี่ยวกับ) ตัวแปรสุ่มบางอย่าง (อาจหลายตัวแปร) ไม่ว่าจะมีการระบุไว้อย่างชัดเจน ในหลายกรณีมันชัดเจน (หมายถึงมากกว่า ) บางครั้งก็จำเป็นต้องแยกแยะ พิจารณากฎความแปรปรวนทั้งหมดเช่น:ขวา]

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องระบุไว้ในกฎหมายว่าด้วยความแปรปรวนทั้งหมด? ในฐานะที่เป็นสำหรับบางมันไม่ได้เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นมากกว่า ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— โทมัส Ahle

@ThomasAhle คุณพูดถูก - "จำเป็น" แข็งแกร่งเกินไปสำหรับคำนั้น ในขณะที่พูดอย่างเคร่งครัดควรมีความชัดเจน แต่บ่อยครั้งที่ความสับสนสำหรับผู้อ่านที่ไม่ได้ทำงานกับมันดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะต้องมีความชัดเจนมากกว่าปกติ มีการแสดงออกบางอย่างเกี่ยวกับความคาดหวังที่คุณไม่สามารถมั่นใจได้โดยไม่ได้ระบุ แต่นั่นไม่ใช่หนึ่งในนั้น

— Glen_b

ในนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มมากกว่าหนึ่งตัวสัญลักษณ์เพียงอย่างเดียวไม่ได้ชี้แจงเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มที่เป็นค่าที่คาดไว้ "ที่ทำ" ตัวอย่างเช่น $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ หรือ

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

ทั้ง เมื่อมีตัวแปรสุ่มจำนวนมากที่เกี่ยวข้องและไม่มีตัวห้อยในสัญลักษณ์ค่าที่คาดหวังจะได้รับเมื่อเทียบกับการแจกแจงแบบร่วม: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

เมื่อมีตัวห้อยอยู่ ... ในบางกรณีมันจะบอกให้เราทราบว่าตัวแปรใดที่เราควรแก้ไข ดังนั้น

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... แต่ในกรณีอื่น ๆ มันบอกเราถึงความหนาแน่นที่จะใช้สำหรับ "ค่าเฉลี่ย"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

ฉันจะพูดค่อนข้างสับสน แต่ใครบอกว่าสัญลักษณ์ทางวิทยาศาสตร์ปราศจากความกำกวมหรือการใช้หลายอย่างโดยสิ้นเชิง? คุณควรดูว่าผู้เขียนแต่ละคนกำหนดการใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวอย่างไร

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ฉันมีสองคำถาม 1) ไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องหรือไม่ฉันสามารถตีความความคาดหวังว่าเป็นหนึ่งในสองสมการแรกได้หรือไม่ถ้า X หรือ Y ได้รับการแก้ไขแล้วหรือไม่ 2) คุณสามารถยกตัวอย่างสำหรับ EQ 4 และ EQ 5 ได้หรือไม่? ฉันมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในการตีความพวกเขาและฉันคิดว่าตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมจะช่วยได้ ขอบคุณ!

— แมวเพดาน

@ceiling แมว 1)ถูกต้องเพราะเป็นหลักคุณไม่ได้มีตัวแปรสุ่มสองตัวอีกต่อไป ในทำนองเดียวกันสำหรับการแก้ไขเพื่อx

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling แมว 2) -EQ5: พิจารณาY) เป็นตัวแปรสุ่มไม่เป็นไร (สำหรับการสนับสนุนที่เหมาะสม) จากนั้นใช้ความหมายเฉพาะสำหรับสัญกรณ์มือสั้นโดยที่คือความหนาแน่นของ (อะไรก็ตาม) เห็นได้ชัดว่าไม่ได้ถูกรวมเข้าด้วยกันและมันจะยังคงเหมือนเดิม แต่ผลลัพธ์ที่คุณจะได้รับ ' t เป็นตัวเลข (เหมือนในความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน) แต่เป็นตัวแปรสุ่ม (ฟังก์ชันของ ) เนื่องจากที่นี่ไม่ได้ถูกแก้ไขไม่รวมเข้าด้วยกัน

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat ในทั้งสองกรณีในสองความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน "กลศาสตร์" ของการคำนวณทางคณิตศาสตร์จะเหมือนกัน ผลลัพธ์สุดท้ายมีการตีความที่แตกต่างกัน

— Alecos Papadopoulos

@ceiling แมว 2) -EQ4: พิจารณาเดียวกันตัวแปรสุ่มZค่าคาดหวังตามเงื่อนไขบนคือ (ใช้ความหมายอื่นสำหรับสัญลักษณ์แบบย่อ)x) โปรดทราบว่าที่นี่และไม่ปรากฏโดยตรงใน integrand - พวกเขา "ควบแน่น" ในสัญลักษณ์

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos