มีสามตัวแปรสุ่มเป็น Z ความสัมพันธ์สามประการระหว่างตัวแปรทั้งสามนั้นเหมือนกัน นั่นคือ,
แคบผูกคุณสามารถให้สำหรับคืออะไร ?
มีสามตัวแปรสุ่มเป็น Z ความสัมพันธ์สามประการระหว่างตัวแปรทั้งสามนั้นเหมือนกัน นั่นคือ,
แคบผูกคุณสามารถให้สำหรับคืออะไร ?
คำตอบ:
ความสัมพันธ์ทั่วไปสามารถมีค่า+ 1แต่ไม่- 1 ถ้าρ X , Y = ρ X , Z = - 1แล้วρ Y , Zไม่สามารถที่เท่าเทียมกัน- 1แต่ในความเป็นจริง+ 1 ค่าที่น้อยที่สุดของความสัมพันธ์ทั่วไปของตัวแปรสุ่มสามตัวคือ- 1 . โดยทั่วไปแล้วความสัมพันธ์ขั้นต่ำทั่วไปของตัวแปรสุ่มnคือ-1 เมื่อการยกย่องว่าเป็นพาหะพวกเขาอยู่ที่จุดของเริม (ที่ของมิติn-1) ในnพื้นที่มิติ
พิจารณาความแปรปรวนของผลรวมของที่ ตัวแปรสุ่มหน่วยความแปรปรวนXฉัน เรามี วาร์( n ∑ i = 1 X i ) ที่ ˉ ρเป็นค่าเฉลี่ยของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ แต่เนื่องจากเราได้รับจาก ว่า
ดังนั้นค่าเฉลี่ยของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็น อย่างน้อย {n-1} ถ้าทุกค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์มีเดียวกันค่าแล้วพวกเขายังเฉลี่ยเท่ากับและเพื่อให้เรามีที่ มันเป็นไปได้ที่จะมีตัวแปรสุ่มที่ที่พบความสัมพันธ์ค่าเท่ากับ ? ใช่. สมมติว่ามีuncorrelated หน่วยความแปรปรวนตัวแปรสุ่มและการตั้งค่า {X} จากนั้นในขณะที่ ρρρ≥-1 ρ-1
ที่เป็นไปได้แคบที่ถูกผูกไว้เป็น1 ค่าดังกล่าวทั้งหมดสามารถปรากฏได้จริง - เป็นไปไม่ได้
เพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่มีสิ่งใดที่ลึกหรือลึกลับเป็นพิเศษเกี่ยวกับผลลัพธ์คำตอบนี้นำเสนอวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นอย่างสมบูรณ์โดยต้องการเพียงความจริงที่ชัดเจนว่าความแปรปรวนซึ่งเป็นค่าคาดหวังของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะต้องไม่ใช่เชิงลบ ตามด้วยวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (ซึ่งใช้ข้อเท็จจริงเชิงพีชคณิตที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย)
ความแปรปรวนของการรวมกันเชิงเส้นใด ๆ ของต้องไม่เป็นลบ ปล่อยให้ความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้เป็นและตามลำดับ ทั้งหมดเป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เช่นนั้นความสัมพันธ์บางอย่างจะไม่ถูกกำหนด) การใช้คุณสมบัติพื้นฐานของความแปรปรวนที่เราอาจคำนวณυ 2
สำหรับตัวเลขจริงทั้งหมดแกมมา)
สมมติว่า , การจัดการพีชคณิตเล็กน้อยหมายถึงสิ่งนี้เทียบเท่ากับ
คำ Squared บนด้านขวามือคืออัตราส่วนของสองหมายถึงอำนาจของแกมมา) ประถมศึกษาไม่เท่าเทียมกันพลังงานเฉลี่ย (ที่มีน้ำหนัก ) อ้างว่าอัตราส่วนไม่เกิน (และจะเท่ากับเมื่อ ) พีชคณิตอีกเล็กน้อยจากนั้นก็หมายถึง
ตัวอย่างที่ชัดเจนของด้านล่าง (เกี่ยวข้องกับตัวแปรปกติ trivariate ) แสดงให้เห็นว่าค่าดังกล่าวทั้งหมดคือจริงๆแล้วเกิดขึ้นในลักษณะที่สัมพันธ์กัน ตัวอย่างนี้ใช้เพียงคำจำกัดความของ Normals หลายตัวแปร แต่ไม่ได้เรียกผลลัพธ์ของแคลคูลัสหรือพีชคณิตเชิงเส้น
เมทริกซ์สหสัมพันธ์ใด ๆ คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มมาตรฐานดังนั้นไหน - เหมือนกับเมทริกซ์สหสัมพันธ์ทั้งหมด - มันต้องเป็นค่ากึ่งบวกแน่นอน ค่าลักษณะเฉพาะของมันนั้นไม่เท่ากัน สิ่งนี้กำหนดเงื่อนไขอย่างง่ายใน : ต้องไม่น้อยกว่า (และแน่นอนไม่เกิน ) ในทางกลับกันใด ๆ ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของการแจกแจงแบบวริยาบางส่วนการพิสูจน์ขอบเขตเหล่านี้เป็นไปได้ที่แคบที่สุด
พิจารณาโดยเมทริกซ์ความสัมพันธ์กับค่าปิดเส้นทแยงมุมเท่ากับ(คำถามนี้เกี่ยวข้องกับกรณีแต่การวางนัยทั่วไปนี้ไม่ยากต่อการวิเคราะห์) ลองเรียกมันว่า ตามคำนิยามเป็นค่าเฉพาะของการให้มีอยู่ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์เช่นนั้น
ค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้หาได้ง่ายในกรณีปัจจุบันเพราะ
ให้คำนวณให้
การให้โดยที่มีเฉพาะในสถานที่ (สำหรับ ) คำนวณว่า
เพราะ eigenvectors พบเพื่อให้ห่างไกลครอบคลุมเต็มมิติ (หลักฐาน: ง่ายต่อการแสดงการลดแถวค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยของพวกเขาเท่ากับซึ่งไม่ใช่ศูนย์) พวกเขาเป็นพื้นฐานของทุก eigenvectors ดังนั้นเราจึงพบค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดและพิจารณาว่าเป็นหรือ (หลังที่มี multiplicity ) นอกเหนือจากความไม่เสมอภาคที่รู้จักกันดีพอใจจากสหสัมพันธ์ทั้งหมด
ในขณะที่การปฏิเสธของค่าลักษณะเฉพาะที่สองไม่มีเงื่อนไขใหม่
ความหมายของการทำงานในทั้งสองทิศทาง: ให้เดอะเมทริกซ์เป็น nonnegative - แน่นอนและเป็นความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์สหสัมพันธ์สำหรับการแจกแจงแบบพหุคูณ โดยเฉพาะเขียน
สำหรับการผกผันของเมื่อ ตัวอย่างเช่นเมื่อ
ให้เวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มมีฟังก์ชันการแจกแจง
ที่x_n) ตัวอย่างเช่นเมื่อนี่เท่ากับ
เมทริกซ์สหสัมพันธ์สำหรับตัวแปรสุ่มตัวนี้คือ
ส่วนของฟังก์ชันความหนาแน่น จากซ้ายไปขวา8/10 หมายเหตุวิธีการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นจากการถูกความเข้มข้นใกล้เครื่องบินจะเป็นความเข้มข้นที่อยู่ใกล้เส้น Z
กรณีพิเศษและสามารถรับรู้ได้โดยการแจกแจงที่ลดลง ฉันจะไม่เข้าไปดูรายละเอียดยกเว้นเพื่อชี้ให้เห็นว่าในกรณีก่อนหน้านี้การพิจารณาการแจกจ่ายสามารถพิจารณาได้ในไฮเปอร์เพลนซึ่งเป็นผลรวมของค่าเฉลี่ยที่กระจายตัวเหมือนกัน -แจกแจงแบบปกติในขณะที่ในกรณีหลัง (ความสัมพันธ์เชิงบวกที่สมบูรณ์แบบ) จะได้รับการสนับสนุนในบรรทัดที่สร้างโดยซึ่งมีการกระจายแบบเฉลี่ย-
การทบทวนการวิเคราะห์นี้ทำให้เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์เมทริกซ์มีอันดับของและมีอันดับ จาก (เพราะมีเพียงหนึ่งไอเกนิคเตอร์เท่านั้นที่มีค่าศูนย์ไม่เท่ากัน) สำหรับนี่จะทำให้เมทริกซ์สหสัมพันธ์ลดลงในทั้งสองกรณี มิฉะนั้นการดำรงอยู่ของสิ่งที่ตรงกันข้ามพิสูจน์ได้ว่ามันไม่ได้ถูกสร้าง
เมทริกซ์ความสัมพันธ์ของคุณคือ
เมทริกซ์นั้นเป็นค่าเซมิตีบวกบวกหากผู้เยาว์หลักชั้นนำไม่ได้เป็นลบ ผู้เยาว์หลักเป็นตัวกำหนดของบล็อก "ทางตะวันตกเฉียงเหนือ" ของเมทริกซ์คือ 1 ซึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ
และดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สหสัมพันธ์นั้น
1 เป็นบวกอย่างเห็นได้ชัดผู้เยาว์หลักที่สองคือซึ่งเป็นค่าลบสำหรับความสัมพันธ์ที่ยอมรับใด ๆ[-1,1] ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ทั้งหมดคือ
พล็อตแสดงให้เห็นว่าปัจจัยของการทำงานในช่วงของความสัมพันธ์ที่ยอมรับ[-1,1]
คุณเห็นว่าฟังก์ชั่นนั้นไม่เป็นลบในช่วงที่กำหนดโดย @stochazesthai (ซึ่งคุณสามารถตรวจสอบได้โดยการค้นหารากของสมการดีเทอร์แนนตัล)
มีตัวแปรสุ่ม ,และมีความสัมพันธ์แบบจับคู่ถ้าหากเมทริกซ์สหสัมพันธ์นั้นเป็น semidefinite เชิงบวก นี้เกิดขึ้นเฉพาะสำหรับ1]Y Z ρ X Y = ρ Y Z = ρ X Z = ρ ρ ∈ [ - 1